判别式法

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用判别式法求函数值域的方法

例1求函数y=

122

32

2

2





xx

xx

的值域

解：∵2x2+2x+1=2(x+

2

1

)2+

2

1

>0

∴函数的定义域为R，

将原函数等价变形为（2y-1）x2+(2y+2)x+y+3=0,

我认为在此后应加上：关于

．．

x

．

的方程（

．．．．

2

．

y

．

-

．

1

．

）

．

x

．

2

．+(2y+2)x+y+3=0

．．．．．．．．．．．．．．

有实数解

．．．．

例2求函数y=

6

34

2

2





xx

xx

的值域

解：由x2+x-6≠0得x≠2,x≠-3

∴函数的定义域为{x|x∈R，x≠2,x≠-3}

由原函洗浴中心项目 数变形得：（y-1）x2+(y-4)x-6y-3=0

我认为在此之后应加上：关于

．．

x

．

的方程（

．．．．

y

．

-

．

1

．

）

．

x

．

2

．+(y

．．．

-

．

4)x

．．．

-

．

6y

．．

-

．

3=0

．．．

有实数根且至少

．．．．．．．

有一根不为

．．．．．

2

．

且不为

．．．

-

．

3

．

例1及例2也需要作此修正，本人认为，这些文字说明对于整个题目的解题过程

起着统帅作用

．．．．

，同时也暴露出作者的思维过程，不能略去。

思考之二：对于形如y=

fexdx

cbxax





2

2

中分子分母都有公因式的处理方法

中处理方法是要验证△=0时对应的y值，该文中是这样的说明的：由于函数变

形为方程时不是等价转化，故在考虑判别式的同时，还需对△=0进行检验，若

对应的自变量在函数的定义域内，则y值在值域内，否则舍去。

但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验，得出正确结果，这就使读

者很困惑，究竟什么情况要检验，什么情况不进行检验呢？

我认为有关形如y=

fexdx

cbxax





2

2

中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以

按例2中约去公因式的方法，这已经不是判别式法的范围之内，不在讨论之列，

第二种处理方法仍然用判别式法，只不过在例1的解法基础上稍加改动即可，例

3求函数求函数y=

6

34

2

2





xx

xx

的值域

解：由x2+x-6≠0得x≠2,x≠-3

∴函数的定义域为{x|x∈R，x≠2,x≠-3}

由原函数变形得：（y-1）x2+(y-4)x-6y-3=0

我认为在此之后应加上：关于

．．

x

．

的方程（

．．．．

y

．

-

．

1

．

）

．

x

．

2

．+(y

．．．

-

．

4)x

．．．

-

．

6y

．．

-

．

3科学创造 =0

．．．

有实数根且至少

．．．．．．．

有一根不为

．．．．．

2

．

且不为

．．．

-

．

3

．

（1）当y=1时，代入方程求得x=-3,而x≠-3，因此y≠1

（2）当y≠1时关于x的方程（y-1）x2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程，可以验

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证x=-3为该方程的根，x=2不是该方程的根，因此只有两个根都为-3时不满足

题意，其余都符合题意，因此只需△≠0，即可得出即可得出y≠

5

2

由上可知：原函数的值域为{y|y≠1,y≠

5

2

}

上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况，

例4求函数y=

32

1

2

2





xx

xx

的值域

解：由已知得x≠-1且x≠3,将原函数化为（y-1）x2-(2y-1)x-3y-1=0

由题意得关于x的方程（y-1）x2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3和-1

（1）当y=1时，x=-4，∴y可以取1

（2）当y≠1时，关于x的方程（y-1）x2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程，

显然可以验证x=3和x=-1不是该方程的解

因此只需△≥0即可，以下过程略

思考之三：该方法的适用范围不仅适用于分式形式，对于二次函数

．．．．

同样适用，

如：求函数y=x2-3x+5的值域

解：由已知得关于x的方程x2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即（-3）2-4（5-y）

≥0

∴y≥

4

1世纪用英语怎么说 1

∴所求函数的值域为{y|y≥

4

11

}

练习：求函数

322

1

2

2







xx

xx

y的值域。

错解原式变形为0)13()12()12(2yxyxy（*）

∵Rx，∴0)13)(12(4)12(2yyy，解得

2

1

10

3

y

。

故所求函数的值域是

]

2

1

,

10

3

[unix是什么

分析把

2

1

y

代入方程（*）显然无解，因此

2

1

y

不在函数的值域内。事

实上，

2

1

y

时，方程（*）的二次项系数为0，显然用“”来判定其根的存在

情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项

系数加以讨论。

正解原式变形为0)13()12()12(2yxyxy（*）

（1）当

2

1

y

时，方程（*）无解；

（2）当

2

1

y时，∵Rx，∴0)13)(12(4)12(2yyy，解得

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2

1

10

3

y

。

由（1）、（2）得，此函数的值域为

)

2

1

,

10

3

[

例5求函数1xxy的值域。

错解移项平方得：011222yxyx，

由014)]12([22yy解得

4

3

y

，则原函数的值域是













,

4

3

.

分析由于1xxy平方得011222标准文献 yxyx，这种变形不是等

价变形，实际上扩大了x的取值范围，如果从原函数定义迪士尼游玩攻略 域

1x

，那么

11xxy，显然













,

4

3

y是错误的。

正解令1xt，则t0，得12tx，



4

3

2

1

1

2

2













ttty

，

又

t0，



1

4

3

2

1

01

2

2













tty

，

故原函数的值域为,1y

例6求函数

5

4

2

2







x

x

y

的值域

错解令42xt，则

12



t

t

y

，∴02ytyt，由0412y及

0y得值域为

]

2

1

,0(y

。

分析解法中忽视了新变元t满足条件

2t

。

正解设ytyttf2)(，

0y

，

),2[t

，

























2

2

1

0)2(0)2(

0,0

y

ff

y

或

5

2

0y。故函数得值域为]

5

2

0，（。

当用分子分母有公因式时，不能转化为二次方程再用判别式法，而应先约

去公因式

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例7求函数

1

2

2

2







x

xx

y的值域

错解

1

2

2

2







x

xx

y

)1(x

----------------------①

222xxyyx，即0212yxxy---------②

当

01y

，即

1y

时，由②得

1x

（舍去），



1y

；

当

01y

即

1y

时，02141yy

x

得0322y,



Ry

。

综上可述，原函数的值域为{y|

1y

且

Ry

}。

分析事实上，当

2

3

y

，即

1

2

2

2





x

xx

=

2

3

时，解得

1x

，而当

1x

时原函

数没有意义，故

2

3

y

。错误的原因在于，当1x时，朱熹的名言 212yxxy的值

为零，所以

1x

是方程②的根，但它不属于原函数的定义域，所以方程②与方

程①不同解，故函数

1

2

2

2







x

xx

y不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不

通。

正解原函数可化为y=

)1)(1(

)1)(2(





xx

xx

=

)1(

)2(





x

x

)1(x，即

1

1

1





x

y)1(x,



1

1

x

0，1y且

2

3

y

故原函数的值域为{y|1y且

2

3

y

}。