三角式

第三讲同角三角函数基本关系

【学习目标】

1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式:

大哥小弟



tan

cos

sin

,1cossin22，掌握已知一个

角的三角函数值求其他三角函数值的方法；

2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。

【要点梳理】

要点一：同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：22sincos1

(2)商数关系：

sin

tan

cos









(3)倒数关系：tancot1，sincsc1，cosc1

要点诠释：

(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关

系式韩式汗蒸 都成立；

(2)2sin是2(sin)的简写；

(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。

要点二：同角三角函数基本关系式的变形

1．平方关系式的变形：

2222sin1coscos1sin，，212sincos(sincos)

2．商数关系式的变形

sin

sincostancos

tan







，。

【典型例题】

类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值

例1．若

4

sin

5

，且是第三象限角，求cos，tan的值。

【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中

如果角



所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角



所在象限不确定，则应分类讨论，有两种

结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就



所在象限讨论。

举一反三：

【变式1】已知

3

sin

5

，求cos，tan的值。

类型二：利用同角关系求值

例2．已知：tancot2,求：

（1）阿胶块怎么吃 sincos的值；（2）sincos的值；

（3）sincos的值；（4）sin及cos的值

【总结升华】本题给出了sincos,sincos及sincos三者之间的关系，三者知一求二，在

求解的过程中关键是利用了22sincos1这个隐含条件。

举一反三：

【变式1】已知sincos2，求下列各式的值：

（1）tan+cot；（2）sin3－cos3。

例3．已知：

1

tan

2

，求：

（1）

sincos

sin3cos









；

（2）

22

12sincos

sincos









；

（3）222sin3sincos5cos。

【总结升华】已知tan



的值，求关于sin



、cos



的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos



≠

0，所以可用cosn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从

而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如asin2+bsincos+ccos2的值，注意将分母的1化为

1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。

举一反三：

【变式1】已知

tan

1

tan1

A

A





，求下列各式的值.

(1)

sin3cos

;

sin9cos

AA

AA





(2)2sinsincos2AAA

类型三：利用同角关系化简三角函数式

例4．化简：

（1）

2

12sin10cos10

sin101sin10





；

（2）若

3

2

2



，化简

1cos1cos

1cos1cos











。

【总结升华】解答此题目常用的方法有：

（1）化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化成正弦函数、余弦函数，从而减少函数名称，达到化

简的目的。

（2）对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的。

（3）哭泣图片 对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2+cos2=1，以降低函数次

数，达到化简的目的。

举一反三：

【变式1】化简

（1）

12sincos

,2,2

sincos2

kkkZ



















；

（2）221sin21cos2；

类型四：利用同角关系证明三角恒等式

例5．求证：（1）

111

sin(1tan)cos(1)

tansincos





；

（2）

cossin2(cossin)

1sin1cos1sincos











。

【总结升华】（1）在三角式的化简中，常常“化切为弦”，以减少函数种类。

（2）三角恒等式的证明方法灵活多变，因题而异，要细心观察两边的差异，灵活运用所学知识，本

题也可从右到左证明。

举一反三：

【变式】求证：

cos1sin

1sincos

xx

xx







.

【解析】证法一：由题意知cos0x，所以1sin0,1sin0xx.

∴左边=

2

cos(1sin)cos(1sin)

(1sin)(1sin)cos

xxxx

xxx







1sin

cos

x

x



右边.

∴原式成立.

证法二：由题意知cos0x，所以1sin0,1sin0xx.

又∵22(1sin)(1sin)1sincoscoscosxxxxxx，

∴

cos1sin

1sincos

xx

xx







.

证法三：由题意知cos0x，所以1sin0,1sin0xx.

cos1sin

1sincos

xx

xx







coscos(1sin)(1sin)

(1sin)cos

xxxx

xx







22cos1sin

0

(1sin)cos

xx

xx







，

∴

cos1sin

1sincos

xx

xx







.

【巩固练习】

1.下面四个命题中可能成立的一个是（）

A.

2

1

cos

2

1

sin且=0且cos=－1

=1且cos=－1D.在第二象限时，tan=





cos

sin



2．若

3

sin

5

m

m









，

42

cos

5

m

m









，则m的值为（）

A．0B．8C．0或8D．3＜m＜9

3．若220x，则使xx2cos2sin12成立的x的取值范围是()

A、)

4

,0(



B、),

4

3

(C、)

4

5

,

4

(



D、]

4

,0[



],

4

3

[

4．若

4

sin

5

，且是第二象限角，则tan的值等于（）

A．

4

3

B．

3

4

C．

3

4

D．

4

3

5．若tan=2，则

2sincos

sin2cos









的值为（）

A．0B．

3

4

C．1D．

5

4

6．已知sincos=

1

8

,则cos－sin的值等于（）

A．

3

4

B．

2

3

C．

2

3

D．－

2

3

7．若

1sin1

cos2

x

x



，则

cos

sin1

x

x

的值是（）

A．

1

2

B．

1

2

C．2D．－2

8．若cos,sin是方程

0242mmxx

的两根，则

m

的值为（）

A．

51

B．

51

C．

51

D．

51

9．若15tan，则

cos

；sin．

10．化简：

11

(1cos)

sintan













________．

11．化简：sin6+cos6+3sin2+cos2=________．

12．若

4

sin

5

，tan＞0，则cos=________．

13．已知

1

sincos

5

，∈（0，），求

1

tan

的值．

14．已知33sincos1，求cossin和44cossin的值.

第四讲三角函数的诱导公式

【学习目标】

1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(



,

2

的正弦、余弦、正切)；

2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式.

【要点梳理】

要点一：诱导公式

诱导公式一：

sin(2)sink，

cos(2)cosk，

tan(2)tank，其中kZ

诱导公式二：

sin()sin，

cos()cos，

tan()tan，其中kZ

诱导公式三：

sin[((21)]sink，

cos[(21)]cosk，

tan[(21)]tank，其中kZ

诱导公式四：

sincos

2













，cossin

2













。

sincos

2













，cossin

2













，其中kZ

要点诠释：

(1)要化的角的形式为90k

(k为常整数)；(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；

(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；

(4)sincoscos

444

xxx









中国十大名牌马桶 

；cossin

44

xx











.

要点二：诱导公式的记忆

诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的

三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符

号．

诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦

变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数内容用英语怎么说 的余名三角函数．“符号看象限”同上．

因为任意一个角都可以表示为k90+（||<45）的形式，所以这六组诱导公式也可以统

一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角

90ko

(

k

为常整数)的三角函数值：当

k

为

奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当

k

为偶数时，函数名不变，然后



的三角函数值前面加上当视



为

锐角时原函数值的符号.

要点三：三角函数的三类基本题型

(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值.

①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；

②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定

这个角所在的象限，然后分不同情况求解；

③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.

求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时

符号的选取.

(2)化简题型：化简三角函数式的搞笑的歌曲 一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；胡萝卜的英文 化简后的

式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.

(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.

化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式.

【典型例题】

类型一：利用诱导公式求值

例1．求下列各三角函数的值好看的名片 ：

（1）

10

sin

3











；（2）

31

cos

6

；（3）tan（－855）．

举一反三：

【变式1】求sin(―1200)cos1290+cos(―1020)sin(―1050)+tan945的值．

例2．（1）已知

3

cos

63













，求2

5

cossin

66













的值．

（2）已知

1

cos(75)

3

，且为第四象限角，求sin(105+)的值．

【总结升华】注意观察角，若角的绝对值大于2，可先利用2k+转化为0～2之间的角，然后

利用、2－等形式转化为锐角求值，这是利用诱导公式化简求值的一般步骤．

举一反三：

【变式1】已知

1

cos(75)

3

，其中为第三象限角，求cos(105―)+sin(―105)的值．

【总结升华】解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用

诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75+



=180－(105－



)或105－



=180－

(75+)等．

类型二：利用诱导公式化简

例3．化简

(1)

sin(180)sin()tan(360)

tan(180)cos()cos(180)









oo

oo

；

(2)

cos

sin(5)cos(8)

2

cos(3)sin(3)sin(4)























.

举一反三：

【变式1】（1）

sincos(3)tan()

2

coscos()

2

























；

（2）

12sin290cos430

sin250cos790





；

类型三：利用诱导公式进行证明

例4．求证：

tan(2)sin(2)cos(6)

tan

33

sincos插入文本框

22





















．

【巩固练习】

1

．对于诱导公式中的角，下列说法正确的是（）

A

．一定是锐角

B

．

0

≤＜

2

C．一定是正角D．是使公式有意义的任意角

2．已知sin()0，cos()0，则下列不等式关系中必定成立的是（）

A．sin＜0，cos＞0B．sin＞0，cos＜0

C．sin＞0，cos＞0D．sin＜0，cos＜0

3．sin300o的值为（）

A．

1

2

B．

1

2

C．

3

2

D．

3

2

4．若

1

sin

3

A，则sin(6)A的值为（）

A．

1

3

B．

1

3

C．

22

3

D．

22

3

5．若

1

sin()

2

，则cos的值为（）

A．

1

2

B．

1

2

C．

3

2

D．

3

2



6．在直角坐标系，若与的终边关于y轴对称，则下列等式恒成立的是（）

A．sin()sinB．sin()sin

C．sin(2)sinD．sin()sin

7．sin

3

4

cos

6

25

tan

4

5

的值是（）

A．－

4

3

B．

4

3

C．－

4

3

D．

4

3

8．

)2cos()2sin(21

等于（）

A．sin2－cos2B．cos2－sin2C．（sin2－cos2）D．sin2+cos2

9．tan2010的值为．

10．已知

5

3

sin，且是第四象限的角，则)2cos(的值是．

11．sin315―cos135+2sin570的值是________。

12．已知

3

cos

22













，则||

2



，则tan________。

13.若

2

2

tan(4)cos()sin(3)1

5

2

tan(3)cos

2



















，求tan的值。

14．已知

1tan(720)

322

1tan(360)











，

求22

2

1

[cos()sin()cos()2sin()]

cos(2)









的值。

15．在△ABC中，若sin(2)2sin()AB，3cos2cos()AB，求△ABC的三个内

角。