衔接教材

2020初高中数学衔接教材

爱的新高一的同学们：

祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初

高中衔接问题”。由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在

显得比较突出。面对教学中将存在的问题，我们高一数学组的老师们假期里加班加点，赶制了一份校本衔接

教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家将假期利用起来，一开

学对这篇自学教材的学习将有相应的检测，愿大家为新学期做好准备。

现有初高中数学教材存在以下“脱节”：

1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；

2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；

3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且

对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；

4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用

的解题技巧；

5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；

配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最

值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；

6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题

目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有

专门讲授，因此也脱节；

7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；

8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出

现，是高考必须考的综合题型之一；

9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、

平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；

10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。

另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本

没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。

新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究

新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。

2

目录

第一章数与式...............................................................................................................................................................2

1.1数与式的运算...................................................................................................................................................2

1.2分解因式...........................................................................................................................................................2

第二章二次方程与二次不等式...................................................................................................................................2

2.1一元二次方程...................................................................................................................................................2

2.2二次函数...........................................................................................................................................................2

2.3方程与不等式...................................................................................................................................................2

第三章相似形、三角形、圆.......................................................................................................................................2

练习..................................................................................................................................................................41

教材部分答案.....................................................................................................................................错误!未定义书签。

第一章数与式...................................................................................................................................错误!未定义书签。

第二章二次方程与二次不等式...................................................................................................错误!未定义书签。

第三章三角形与圆.........................................................................................................................错误!未定义书签。

第一章数与式

1.1数与式的运算

1.1.1绝对值

1.1.2乘法公式

1.1.3二次根式

1.1.4分式

1.2分解因式

第二章二次方程与二次不等式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

2.1.2根与系数的关系

2.2二次函数

2.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

2.2.2二次函数的三种表达方式

2.2.3二次函数的应用

2.3方程与不等式

2.3.1二元二次方程组的解法

第三章相似形、三角形、圆

3.1相似形

3.1.1平行线分线段成比例定理

3.1.2相似三角形形的性质与判定

3.2三角形

3.2.1三角形的五心

3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用

3.3圆

3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理

3.3.2点的轨迹

3.3.3四点共圆的性质与判定

3.3.4直线和圆的方程（选学）

3

1.1数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值

仍是零．即

,0,

||0,0,

,0.

aa

aa

aa

















绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离．

例1解不等式：13xx＞4．

练习

1．填空：

（1）若5x，则x=_________；若4x，则x=_________.

（2）如果5ba，且1a，则b＝________；若21c，则c＝________.

2．选择题：

下列叙述正确的是（）

（A）若ab，则ab（B）若ab，则ab

（C）若ab，则ab（D）若ab，则ab

3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式22()()ababab；

（2）完全平方公式222()2abaabb．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式2233()()abaabbab；

（2）立方差公式2233()()abaabbab；

（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac；

（4）两数和立方公式33223()33abaababb；

（5）两数差立方公式33223()33abaababb．

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

4

例1计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx．

例2已知4abc，4abbcac，求222abc

的值．

练习

1．填空：

（1）22

1111

()

9423

abba（）；

（2）(4m22)164(mm)；

(3)2222(2)4(abcabc)．

2．选择题：

（1）若2

1

2

xmxk是一个完全平方式，则k等于（）

（A）2m（B）2

1

4

m（C）2

1

3

m（D）2

1

16

m

（2）不论

a

，b为何实数，22248abab的值（）

（A）总是正数（B）总是负数

（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一般地，形如(0)aa的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式

子称为无理式.例如232aabb，22ab等是无理式，而2

2

21

2

xx，222xxyy，

2a等是有理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要

引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我

们就说这两个代数式互为有理化因式，例如

2

与

2

，3a与a，36与36，

2332与2332，等等．一般地，ax与x，axby与axby，axb与

axb互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而

分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用

公式(0,0)ababab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母

有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并

同类二次根式．

2．二次根式2a的意义

2aa

,0,

,0.

aa

aa











5

例1将下列式子化为最简二次根式：

（1）12b；（2）2(0)aba；（3）64(0)xyx

．

例2计算：3(33)．

例3试比较下列各组数的大小：

（1）1211和1110；（2）

2

64

和226－.

例4化简：20042005(32)(32)．

例5化简：（1）

945

；（2）2

2

1

2(01)xx

x



．

例6已知

3232

,

3232

xy







，求22353xxyy的值．

练习

1．填空：

（1）

13

13





＝_____；

（2）若2(5)(3)(3)5xxxx，则

x

的取值范围是_____；

（3）

4246543962150

_____；

（4）若

5

2

x，则

1111

1111

xxxx

xxxx







________．

2．选择题：

等式

2

2

xx

x

x







成立的条件是（）

（A）2x（B）0x（C）2x（D）02x

3．若

2211

1

aa

b

a







，求ab的值．

4．比较大小：2－35－4（填“＞”，或“＜”）．

6

1.1.４．分式

1．分式的意义

形如

A

B

的式子，若B中含有字母，且0B，则称

A

B

为分式．当M≠0时，分式

A

B

具有下列性质：

AAM

BBM







；

AAM

BBM







．

上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式

像

a

b

cd

，

2

mnp

m

np





这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做临崖勒马 繁分式．

例1若

54

(2)2

xAB

xxxx







，求常数

,AB

的值．

例2（1）试证：

111

(1)1nnnn





（其中n是正整数）；

（2）计算：

111

1223910





；

（3）证明：对任意大于1的正整数n，有

1111

2334(1)2nn





．

7

例3设

c

e

a



，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．

练习

1．填空题：对任意的正整数n，

1

(2)nn





(

11

2nn





)；

2．选择题：

若

22

3

xy

xy







，则

x

y

＝（）

（A）１（B）

5

4

（C）

4

5

（D）

6

5

3．正数,xy满足222xyxy，求

xy

xy





的值．

4．计算

1111

...





．

习题1．1

A组

1．解不等式：

(1)13x；(2)327xx；

(3)116xx．

２．已知1xy，求333xyxy的值．

8

3．填空：

（1）1819(23)(23)＝________；

（2）若22(1)(1)2aa，则a的取值范围是________；

（3）

11111

1223344556





________．

B组

1．填空：

（1）

1

2

a，

1

3

b，则

2

22

3

352

aab

aabb







________；

（2）若2220xxyy，则

22

22

3xxyy

xy







____；

2．已知：

11

,

23

xy，求

yy

xyxy





的值．

C组

1．选择题：

（1）若2ababba，则（）

（A）ab（B）ab（C）0ab（D）0ba

（2）计算

1

a

a



等于（）

（A）

a

（B）

a

（C）

a

（D）

a

2．解方程2

2

11

2()3()10xx

xx

．

3．计算：

1111

132435911





．

9

4．试证：对任意的正整数n，有

111

123234(1)(2)nnn





＜

1

4

．

1.2因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了

解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1分解因式：

（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；

（3）22()xabxyaby；（4）

1xyxy

．

3：公式法

例3分解因式：（1）

164a（2）2223yxyx

4．分组分解法

例4（1）xyxyx332（2）222456xxyyxy．

课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）byaxbayx222222

（2）91264422bababa

10

11

5．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

若关于x的方程20(0)axbxca

的两个实数根是

1

x、

2

x，则二次三项式2(0)axbxca

就可分解为

12

()()axxxx.

例5把下列关于x的二次多项式分解因式：

（1）221xx

；（2）2244xxyy．

练习

1．选择题：

多项式22215xxyy的一个因式为（）

（A）25xy（B）3xy（C）3xy（D）5xy

2．分解因式：

（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；

（3）x2－2x－1；（4）4(1)(2)xyyyx．

3．ABC三边

a

，b，

c

满足222abcabbcca，试判定ABC的形状．

4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．

5.（尝试题）已知abc=1，a+b+c=2，a+b+c=，求

1-cab

1



+

1-abc

1



+

1-bca

1



的值.

12

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，

如求方程的根（1）0322xx(2)0122xx(3)0322xx}

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为

2

2

2

4

()

24

bbac

x

aa



．①

因为a≠0，所以，4a2＞0．于是

（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

x

1，2

＝

24

2

bbac

a



；

（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

x

1

＝x

2

＝－

2

b

a

；

（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()

2

b

x

a

一定大于或等于零，因此，

原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

（1）当＞0时，方程有两个不相等的实数根x

1，2

＝

24

2

bbac

a



；

（2）当＝0时，方程有两个相等的实数根x

1

＝x

2

＝－

2

b

a

；

（3）当＜0时，方程没有实数根．

例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；

（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．

说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，

需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要

的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

2.1.2根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根

2

1

4

2

bbac

x

a





，

2

2

4

2

bbac

x

a





，

则有

13

22

12

442

222

bbacbbacbb

xx

aaaa



；

2222

12

22

44(4)4

2244

bbacbbacbbacacc

xx

aaaaa



．

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x

1

，x

2

，那么x

1

＋x

2

＝

b

a

，x

1

x

2

＝

c

a

．这一关系也被称为韦

达定理．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x

1

，x

2

是其两根，由韦达定理可知

x

1

＋x

2

＝－p，x

1

x

2

＝q，

即p＝－(x

1

＋x

2

)，q＝x

1

x

2

，

所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x

1

＋x

2

)x＋x

1

x

2

＝0，由于x

1

，x

2

是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两

根，所以，x

1

，x

2

也是一元二次方程x2－(x

1

＋x

2

)x＋x

1

x

2

＝0．因此有

以两个数x

1

，x

2

为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x2－(x

1

＋x

2

)x＋x

1

x

2

＝0．

例2已知春晖是什么意思 方程

2560xkx的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根

的积大21，求m的值．

例4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

例5若x

1

和x

2

分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

（1）求|x

1

－x

2

|的值；（2）求

22

12

11

xx

的值；（3）x

1

3＋x

2

3．

说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为

了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设x

1

和x

2

分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则

2

1

4

2

bbac

x

a





，

2

2

4

2

bbac

x

a





，

∴|x

1

－x

2

|＝

2224424

222

bbacbbacbac

aaa





14

24

||||

bac

aa



．

于是有下面的结论：

若x

1

和x

2

分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则|x

1

－x

2

|＝

||a



（其中＝b2－4ac）．

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．

例6若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

练习

1．选择题：

（1）方程222330xkxk的根的情况是（）

（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是

（）

（A）m＜

1

4

（B）m＞－

1

4

（C）m＜

1

4

，且m≠0（D）m＞－

1

4

，且m≠0

2．填空:

（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x

1

和x

2

，则

12

11

xx

＝．

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是．

（3）以－3和1为根的一元二次方程是．

3．已知2816|1|0aab，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？

4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x

1

和x

2

，求(x

1

－3)(x

2

－3)的值．

习题2.1

A组

1．选择题:

若关于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为()

（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）0

2．填空:

（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．

（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．

3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

15

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x

1

和x

2

，如果2(x

1

＋x

2

)＞x

1

x

2

，求实数k的取值范围．

4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x

1

和x

2

．求：

（1）|x

1

－x

2

|和12

2

xx

；（2）x

1

3＋x

2

3．

5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x

1

，x

2

满足|x

1

－x

2

|＝2，求实数m的值．

B组

1．选择题：

（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长

等于（）

（A）3（B）3（C）6（D）9

（2）若x

1

，x

2

是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则12

21

xx

xx

的值为（）

（A）6（B）4（C）3（D）

3

2

（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根，，则＋的取值范围为

（）

（A）＋≥

1

2

（B）＋≤

1

2

（C）＋≥1（D）＋≤1

（4）已知a，b，c是ABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋

4

c

＝0的根的情况是()

（A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根

2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的两根为x

1

，x

2

，且3x

1

＋2x

2

＝18，则m＝．

3．已知x

1

，x

2

是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使(2x

1

－x

2

)(x

1

－2x

2

)＝－

3

2

成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

（2）求使12

21

xx

xx

－2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k＝－2，1

2

x

x

，试求的值．

16

4．已知关于x的方程

2

2(2)0

4

m

xmx．

（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根x

1

，x

2

满足|x

2

|＝|x

1

|＋2，求m的值及相应的x

1

，x

2

．

5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．

2．2二次函数

2.2.1二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝

ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．

问题2函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y

＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，

只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到

函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的

特点．

类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们

图象之间的相互关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；

h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函

数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方

法：

由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋

b

x

a

)＋c＝a(x2＋

b

x

a

＋

2

24

b

a

)＋c－

2

4

b

a

2

2

4

()

24

bbac

ax

aa



，

所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为

24

(,)

24

bacb

aa



，对称轴为直线x＝

－

2

b

a

；当x＜

2

b

a

时，y随着x的增大而减小；当x＞

2

b

a

时，y随着x的增大而增大；当x＝

2

b

a

时，

函数取最小值y＝

24

4

acb

a



．

图2.2-2

x

y

O－1

y＝2x2

y＝2(x＋1)2

y＝2(x＋1)2＋1

17

（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为

24

(,)

24

bacb

aa



，对称轴为直线

x＝－

2

b

a

；当x＜

2

b

a

时，y随着x的增大而增大；当x＞

2

b

a

时，y随着x的增大而减小；当x＝

2

b

a

时，

函数取最大值y＝

24

4

acb

a



．

上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函

数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

例1求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出

当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

函数y＝ax2＋bx＋c图象作图要领：

（1）确定开口方向：由二次项系数a决定

（2）确定对称轴：对称轴方程为

a

b

x

2



（3）确定图象与x轴的交点情况，①若△>0则与x轴有两个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出②

①若△=0则与x轴有一个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出③①若△<0则与x轴有无交点。

（4）确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）

（5）由以上各要素出草图。

练习：作出以下二次函数的草图

（1）62xxy(2)122xxy(3)12xy

2.2.2二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二

次函数政治权利和自由 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．

当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①

并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，

抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的

判别式＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式＝b2－4ac存

在下列关系：

y＝x2y＝2x2

图2.2-1

x

O

y

x

y

O

x＝－

2

b

a

A

24

(,)

24

bacb

aa





图2.2-3

x

y

O

x＝－

2

b

a

A

24

(,)

24

bacb

aa





图2.2-4

18

（1）当＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

与x轴有两个交点，则＞0也成立．

（2）当＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y

＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则＝0也成立．

（3）当＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

与x轴没有交点，则＜0也成立．

于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x

1

，0)，B(x

2

，0)，则x

1

，x

2

是方程ax2＋bx＋c

＝0的两根，所以

x

1

＋x

2

＝

b

a

，x

1

x

2

＝

c

a

，即

b

a

＝－(x

1

＋x

2

)，

c

a

＝x

1

x

2

．

所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2

bc

xx

aa

)=a[x2－(x

1

＋x

2

)x＋x

1

x

2

]＝a(x－x

1

)(x－x

2

)．

由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x

1

，0)，B(x

2

，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－

x

1

)(x－x

2

)(a≠0)．

这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式：y＝a(x－x

1

)(x－x

2

)(a≠0)，其中x

1

，x

2

是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三

种表达形式中的某一形式来解题．

例1已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二

次函数的解析式．

例2已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

例3已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．

2.3一元二次不等式的解法

1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系

2、一元二次不等式的解法步骤

一元二次不等式00022acbxaxcbxax或的解集：

设相应的一元二次方程002acbxax的两根为

2121

xxxx且、，acb42，则不等式的解的

各种情况如下表：

000

19

二次函数

cbxaxy2

（0a）的图象

cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2

一元二次方程

的根0

02





a

cbxax

有两相异实根

)(,

2121

xxxx

有两相等实根

a

b

xx

221

无实根

的解集)0(

02





a

cbxax



21

xxxxx或















a

b

xx

2R

的解集)0(

02





a

cbxax

21

xxxx





例1解不等式：

（1）x2＋2x－3≤0；（2）x－x2＋6＜0；

（3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；

（5）－4＋x－x2＜0．

例2解关于x的不等式

0)1(2aaxx

例3已知不等式20(0)axbxca的解是2,3xx或求不等式20bxaxc的解．

说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．

练习

1．解下列不等式：

（1）3x2－x－4＞0；（2）x2－x－12≤0；

（3）x2＋3x－4＞0；（4）16－8x＋x2≤0．

2.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）．

3．1相似形

我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定

两个直角三角形相似？

例5如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，BACCDB，求证：DACCBD.

证明在OAB与ODC中，

,,AOBDOCOABODC

OAB∽ODC，

OAOB

ODOC

，即

OAOD

OBOC

.

20

又OAD与OBC中，AODBOC，

OAD∽OBC，

DACCBD.

例6如图3.1-12,在直角三角形ABC中，BAC为直角，ADBCD于.

求证：（1）2ABBDBC，2ACCDCB；

（2）2ADBDCD

证明（1）在RtBAC与RtBDA中，BB，

BAC∽BDA，2,.

BABC

ABBDBC

BDBA

即

同理可证得2ACCDCB.

（2）在RtABD与RtCAD中，90oCCADBAD，

RtABD∽RtCAD，2,.

ADDC

ADBDDC

BDAD

即

我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运

算很有用.

例7在ABC中，,,ADBCDDEABEDFACF于于于，求证：AEABAFAC.

例8如图3.1-14，在ABC中，D为边BC的中点，E为边AC上的任意一点，BE交AD于点O.某学生

在研究这一问题时，发现了如下的事实：

（1）当

11

211

AE

AC

时，有

22

321

AO

AD

.（如图3.1-14a）

（2）当

11

312

AE

AC

时，有

22

422

AO

AD

.（如图3.1-14b）

（3）当

11

413

AE

AC

时，有

22

523

AO

AD

.（如图3.1-14c）

在图3.1-14d中，当

1

1

AE

ACn

时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示

AO

AD

的一般结论，并给出证

明（其中n为正整数）.

解：依题意可以猜想：当

1

1

AE

ACn

时，有

2

2

AO

ADn

成立.

证明过点D作DF//BE交AC于点F，

D是BC的中点，F是EC的中点，

由

1

1

AE

ACn

可知

1AE

ECn

，

22

,.

2

AEAE

EFnAFn

.

2

.

2

AOAE

ADAFn

图3.1-11

图3.1-12

图3.1-13

图3.1-14

21

想一想，图3.1-14d中，若

1AO

ADn

，则?

AE

AC

本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜

想，然后加以证明或否定.数学的发展史就是不断探索的历史.

练习2

1．如图3.1-15，D是ABC的边AB上的一点，过D点作DE//BC交AC于E.已知AD：DB=2：

3，则:

ADE

BCDE

SS

四边形

等于（）

A．2:3B．4:9C．4:5D．4:21

2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，

则梯形的上、下底长分别是__________.

3．已知：ABC的三边长分别是3，4，5，与其相似的'''ABC的最大边长是15，求'''ABC的面积

'''ABC

S.

4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的

中点.

（1）请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；

（2）若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？

是正方形？

5．如图3.1-17,点C、D在线段AB上，PCD是等边三角形，

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，ACP∽PDB？

（2）当ACP∽PDB时，求APB的度数.

习题3.1

A组

1．如图3.1-18，ABC中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（）

A．DE=1，BC=7B．DE=2，BC=6

C．DE=3，BC=5D．DE=2，BC=8

2．如图3.1-19，BD、CE是ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则:PQBC等于（）

A．1：3B．1：4

C．1：5D．1：6

3．如图3.1-20，ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：3，

4

BEF

S，求

CDF

S.

图3.1-15

图3.1-16

图3.1-17

图3.1-18

图3.1-19

图3.1-20

22

4．如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BEAC交AC于F，过F作FG//AB交AE于G，求

证：2AGAFFC.

B组

1．如图3.1-22，已知ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则

EFAF

FCFD

的值为（）

A．

1

2

B．1C．

3

2

D．2

2．如图3.1-23，已知ABC周长为1，连结ABC三边的中点构成第二个三角形，再

连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为

（）

A．

1

2002

B．

1

2003

C．

2002

1

2

D．

2003

1

2

3．如图3.1-24，已知M为ABCD的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与ABCD

面积的比是（）

A．

1

3

B．

1

4

C．

1

6

D．

5

12

4．如图3.1-25，梯形ABCD中，AD//BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF//AD.

（1）求证：OE=OF；

（2）求

OEOE

ADBC

的值；

（3）求证：

112

ADBCEF

.

图3.1-22

图3.1-23

图3.1-24

图3.1-25

图3.1-21

23

3.2三角形

3.2.1三角形的“五心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

如图3.2-1，在三角形△ABC中，有三条边

,,ABBCCA

，三个顶点

,,ABC

，在三角形中，

角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，

恰好是每条中线的三等分点.

例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比

为2：1.

已知D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，

求证AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到

三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）

例2已知

ABC

的三边长分别为

,,BCaACbABc

，I为

ABC

的内心，且I在

ABC

的

边BCACAB、、上的射影分别为DEF、、，求证：

2

bca

AEAF

.

证明作

ABC

的内切圆，则

DEF、、

分别为内切圆在三边上的切点，

,AEAF

为圆的从同一点作的两条切线，

AEAF

，

同理，BD=BF，CD=CE.

22

bcaAFBFAECEBDCD

AFAEAFAE

即

2

bca

AEAF

.

图3.2-1

图3.2-2

图3.2-6

图3.2-5

24

3.2.2解斜三角形

一、回顾直角三角形的四个锐角三角函数的概念；

1正弦、余弦、正切、余切2、特殊角的三角函数值

二、直角三角形的边角公式：平方和关系、商的关系、倒数关系

sin2a+cos2a=1tga=

acos

sina

ctga=

asin

cosa

tg2actg2a=1

分别写出变形式：

三、讲授在坐标系内的钝角三角函数。（A为钝角）

sinA=sin(1800-A)cosA=-cos(1800-A)tgA=-tg(1800-A)ctgA=-ctg(1800-A)

画图像举例说明：正弦值为“﹢”，其余为“﹣”

四、正弦定理和余弦定理

正弦定理三角形各边的长度与其对角的正弦值的比相等，且等于它的外接圆的直径

证明（传统证法）在任意斜△ABC当中：

S△ABC=

两边同除以即得：

余弦定理三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦

的积的两倍。

a2=b2+c2-2bccosA变形式：

b2=c2+a2-2accosB变形式：

c2=a2+b2-2abcosC变形式：

五．例题分析

例1在△ABC中，已知a=3，c=33，∠A=30，求∠C及b

分析已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意已知两边和一边的对角所对应的三角

形是不确定的，所以要讨论．

解∵∠A=30，a＜c，csinA=

33

2

＜a，∴此题有两解．

sinC=

csinA

a

=

33

1

2

3

=

3

2

，∴∠C=60，或∠C=120．

∴当∠C=60时，∠B=90，b=a2+b2=6．

当∠C=120时，∠B=30，b=a=3．

点评已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论．

例2在△ABC中，已知acosA=bcosB，判断△ABC的形状．

分析欲判断△ABC的形状，需将已知式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角

函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换．

解方法一：由余弦定理，得a（

b2+c2—a2

2bc

）=b（

a2+c2—b2

2ac

），

∴a2c2－a4－b2c2+b4=0．

∴(a2－b2)(c2－a2－b2)=0．

∴a2－b2=0，或c2－a2－b2=0．

∴a=b，或c2=a2+b2．

AbcBacCabsin

2

1

sin

2

1

sin

2

1



abc

2

1

R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin



25

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

方法二：由acosA=bcosB，得2RsinAcosA=2RsinBcosB．

∴sin2A=sin2B．∴2A=2B，或2A=1800－2B．

∴A=B，或A+B=900．

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．

点评若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后

进行代数或三角恒等变换．

例3已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，

BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．

分析四边形ABCD的面积等于△ABD和△BCD的

面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=可知，只需

求出∠A即可．所以，只需寻找∠A的方程．

解连结BD，则有四边形ABCD的面积

S=S△ABD

+S△CDB

=

1

2

ABADsinA+

1

2

BCCDsinC．

∵A+C=180，∴sinA=sinC．

故S=

1

2

（24+64）sinA=16sinA．

在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2ABADcosA=20－16cosA．

在△CDB中，由余弦定理，得BD2=CB2+CD2－2CBCDcosC=52－48cosC．

∴20－16cosA=52－48cosC．

∵cosC=－cosA，∴64cosA=－32，cosA=－

1

2

．

又∵0＜A＜180，∴A=120．

故S=16sin120=83．

点评注意两个三角形的公用边在解题中的运用．

例4墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线b米，

下端距水平视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使

观察者上、下视角最大．

分析如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB

最大，所以需寻找∠APB的目标函数．由于已知有关边长，

所以考虑运用三角函数解之．

解设观察者距墙壁x米的P处观察，PC⊥AB，AC=b，BC=a(0＜a＜b)，

则∠APB=为视角．

y=tan=tan(∠APC－∠BPC)=

tan∠APC—tan∠BPC

1+tan∠APCtan∠BPC

=

x

a

x

b

x

a

x

b





1

=

b—a

x+

ab

x

≤

b—a

2ab

，当且仅当x=

ab

x

,即x=ab时，y最大．

由∈（0，

2

）且y=tan在（0，

2

）上为增函数，故当且仅当x=ab时视角最大．

点评注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题．

练习

1．△ABC中，tanA+tanB+3=3tanAtanB，sinAcosA=

3

4

，则该三角形是（）

A．等边三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．等边三角形或直角三角形

2．在△ABC中，已知（b+c）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角为（）

A．120B．150C．60D．90

3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13，则cosA=．

A

B

C

D

O

A

P

C

B

b

a

26

5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为．

6．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，s=53，求c的长

度．

7．在△ABC中，sin2A－sin2B+sin2C=sinAsinC，试求角B的大小．

8．半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2，

B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边△ABC，问B

点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最

大面积．

3.3圆

3.3.1圆幂定理及其应用

教学目标

1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解

决有关问题；

2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方

法；

3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的

观点的教育.

教学重点和难点

相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题

是难点.

教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割

线定理的内容.

2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系?

提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，

从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.

(1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PAPB＝PCPD.这便是我们学过的相交弦定理.对于

这个定理有两个特例：

一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定

理当然成立.(如图7-164)

二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PAPB＝PCPD

A

C

B

O

A‘

27

＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165)

(2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一点P，成为两条

割线，则有PAPB＝PCPD，这就是我们学过的切割线定理的推论(割线定理).(图

7-166)

(3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转，使C，D两

点在圆上逐渐靠

近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PAPB＝PCPD＝PC2，这就是

我们学过的切割线定理.(图7-167)

(4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2

＝PB2，可

得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168)

至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和

切线长定理之间有着密切的联系.

3.启发学生理解定理的实质.

经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.

观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R)

在图(1)中，PAPB＝PCPD＝PEPF

＝(R-OP)(R+OP)

＝R2-OP2；

在图(2)中，PAPB＝PT2＝OP2-OT2

＝OP2-R2

在图(3)中，PAPB＝PCPD＝PT2

＝OP2-R2.

教师指出，由于PAPB均等于｜OP2-R2｜，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线

定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.

二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行)

例1如图7-170，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D，E，AB＝12，

AO＝15，AD＝8，求两圆的半径.

分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径OB.求OC也可考虑用上述方法，但AC

未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利用垂径定理便可求出AC，于是问题得解.

(由学生讨论、分析，得出解决)

例2如图7-171，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，

过A，B作小圆的割线AXY和BPQ.

求证：AXAY=BPBQ

分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单的图形组合而成的.

但本题

不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，

28

以此为出

发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.

方法1在图7-172中，过点A，B分别作小圆的切线AC，BD，C，D为切点.这时就出现了切割线定理的

基本图形，于是有

AC2＝AXAY，BD2＝BPBQ.

再连结CO，AO，DO，BO，

易证Rt△AOC≌△Rt△BOD，得出AC＝BD

所以AXAY＝BPBQ.

方法2在图7-173中，作直线XP交大圆于E，F，分别延长AY，BQ，交大

圆于C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有

AX红豆杉的功效 XC＝EXXF，BPPD＝FPPE.

易证AX＝CY，BP＝DQ，EX＝FP.

所以AXXC＝AXAY，BPPD＝BPBQ，EXXF＝FPPE.

所以AXAY＝BPBQ.

方法3如图7-174，由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的特殊割线，作直线AO交小圆于E，F，作

直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本图形.于是有

AXAY＝AEAF，BPBQ＝BCBD.

易证AE＝BC，AF＝BD，

所以AEAF＝BCBD.

从而AXAY＝BPBQ.

通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，

沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此

题?

三、练习

练习1已知P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O交于点B，C，且

PB＝BC.如果OA＝7，PA＝2，求PC的长.

练习2如图7-175，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，

交AB的延长线于N.求证：PN2＝NMNQ.

四、小结

用投影重新打出圆幂定理的基本图形(如图7-176)，让学生观察并说出相应的定

理.

29

教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的.

五、习题

1、求证：相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等。

已知：如图5，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，P为BA延长线上任意一点，且PC、PD与⊙O1和⊙O2分别切于C、D

两点。求证：PC=PD。

2、如图6，过点P作⊙O的切线PA，A为切点，过PA中点B作割线交⊙O于C、D，连结PC并延长交⊙O于E，

连结PD，交⊙O于F。求证：EF∥PA。

3、如图7，已知PBD是⊙O的割线，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，求证：

（1）PAAB=PBAD；

（2）；

（3）ADBC=ABDC。

30

提示：（1）要证PAAB=PBAD，只要证得就可以了。而PA、AD、PB、AB分别是△

PAD和△PBA的两条边，因此只根证得这两个三角形相似即可。显然∠APD=∠BPA，∠ADP=∠BAP，

因此△PAD∽△PBA。

（2）由问题（1）可知，因此要证，只需证。而PA2=PBPD，

故有。

（3）要证ADBC=ABDC，只需证得即可。由问题（1）可知，类似问题

（1）可证得。因PA=PC，故。因此有。

3.3.2点的轨迹：三点的轨迹

［教学目标］

1.了解点的轨迹的定义。

2.掌握五种基本轨迹（即轨迹定理1、2、3、4、5）。

3.学会利用定理1、2、3、4、5求简单轨迹。

4.初步学会交轨法作图。

二.重点、难点：

1.重点：有关轨迹的5个定理及轨迹在研究点的运动和作图方面的应用。

2.难点：

（1）如何利用轨迹作图，轨迹的探求方法。

（2）如何把运动问题，作图问题归结为点的轨迹问题来解决。

例1.求下列点的轨迹。

（1）当的斜边AB固定时，求直角顶点C的轨迹。

（2）已知⊙O及弦AB，求与AB平行的弦的中点的轨迹。

解：（1）如图，设O为AB的中点，连结CO，则。因为AB固定，所以O为定点，CO为定长。

31

由定理“到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆”，得所求轨迹是以AB为直

径的圆。

由于圆上A，B两点不能作为以AB为斜边的直角三角形的直角顶点，故应除去。

（2）如图，动点是与AB平行的弦的中点，不变量是⊙O的弦AB，根据垂径定理，弦中点到A、B的距离

相等，由定理2，所求中点的轨迹是与弦AB垂直的直径（除去两端点及AB的中点）

精析：求适合某个条件的点的轨迹的基本思路是把题设中的条件转化为课本中某一个轨迹定理的条件，

从而根据轨迹定理的结论得出所求轨迹。在求出轨迹后，要检查所得的图形中是否包含了某些不合题意的点，

如果有，则应当将它们除去。

例2.求下列点的轨迹，并画出图。

（1）在半径为5cm的圆中，长为6cm的动弦的中点的轨迹。

（2）与相交于A、B两点的等圆都外切的动圆圆心的轨迹。

解：（1）如图，连结OC、OA，其中C为弦AB的中点，根据垂径定理得：OC⊥AB。

所以，所以

所以以长为6cm的已知线段为弦，且在半径为5cm的圆中运动所得的弦的中点的轨迹是以点O为圆心、

半径为4cm的一个圆。

（2）设P是所求轨迹上的任意一点，连结，则

又因为，所以AB垂直平分

而线段AB上的任意一点都不可能是和⊙O1，⊙O2都外切的动圆圆心

所以所求轨迹是的中垂线AB，并除去线段AB，如图所示。

32

精析：在分析求点的轨迹的思路时，可以设出一种有代表性的情况，并画出图形（如本例第（1）小题中，

设AB是半径为5cm的⊙O中的一条长为6cm的弦，C是AB的中点，然后分析当AB运动时，中点C如何变化。）

这样便于借助图形，找出能反映动点运动特征的位置关系和数量关系，并使之转化为某个轨迹定理中的条件。

在检验求出的轨迹时，有时要剔除的不只是某几个点，而可能是一条线段，或一段圆弧等。如本例中第（2）

小题。

例3.求以4cm长的已知线段AB为一边，且面积为的三角形的第三个顶点C的轨迹。

解：因为AB的长为4cm，三角形面积为，则三角形AB边上的高线长

所以三角形的第三个顶点C到对边AB所在直线的距离为6cm

因此所求轨迹是与线段AB所在直线平行，且到这条直线的距离等于6cm的两条平行直线（如图所示）

精析：求点的轨迹的一般步骤：

（1）描出一些适合的点（画出草图）；

（2）研究并总结这些点具有的共同特点与已知条件的关系，从而根据五个轨迹定理中的一个确定所求的

轨迹是什么图形；

（3）根据题意考虑是否有需要排除的特殊点（或线段、圆弧），然后用文字叙述完整。

例4.如图所示，已知∠EOF，点A和点B，求作一点P，使点P同时满足：

（1）到∠EOF的两边距离相等；

（2）到点A、B的距离相等。

解：点P到∠EOF两边的距离相等，则点P在∠EOF的平分线上，故作∠EOF的平分线。

33

点P到A、B两点的距离相等，则点P在线段AB的中垂线上，故作线段AB的中垂线。

两线的交点为P，则点P即为所求。

精析：当所求作的点同时满足两个（或多个）条件时，应单一地考虑每一个条件，确定所求作点各是什

么轨迹上的点，并作出每一个轨迹，则这两个（或多个）轨迹的交点就是所求作的点，这种作图方法称为交

轨法作图。

例5.已知⊙O和定长r，点A是圆内的一点，求作一个半径为r的圆，使它经过点A，并且与⊙O内切。

解：以O为圆心，以⊙O的半径减去定长r的差为半径画圆

以点A为圆心，以定长r为半径画圆，两圆相交于点

则以或为圆心，定长r为半径画圆，所得⊙或⊙就是所求作的圆。（如图所示）

精析：本例用交轨法作图，由于所求作圆的半径为已知线段r，故作图的关键是找圆心，由已知

条件，就是到定点O的距离为定长（⊙O的半径与r之差）的点的轨迹和到定点A的距离为定长r的

点的轨迹的交点。

练习

1.到定点P的距离等于6cm的点的轨迹是_____________。

2.以线段AB为底边的等腰三角形ABC的顶点C的轨迹是_____________。

3.已知⊙O'与半径是4cm的⊙O外切，且⊙O'的半径为2cm，则点O'的轨迹是__________。

4.已知动点P到直线的距离为5cm，则点P的轨迹是____________。

5.半径等于2cm，与直线相切的圆的圆心的轨迹是______________。

6.如图所示，中，∠C＝Rt∠，BC边在上，点A在上，。已知

进行平行移动，那么AB边的中点Q的轨迹是____________。

7.与正方形ABCD的AB、AD两边（不延长）都相切的圆的圆心的轨迹是________。

8.到半径为r的定圆O的切线长等于定长a的点的轨迹是___________。

9.一动点P绕定点O，且到定点O的距离为4cm旋转半周，那么点P运动所经过的路程是_________cm。

10.如图所示，半径为3cm的弹子沿着半径为8cm的圆形钢圈内壁滚动3周，那么弹子圆心P随之运动所

34

经过的路程是________cm。

二.选择题。

11.到已知角两边所在直线的距离相等的点的轨迹是（）

A.这个角的平分线

B.这个角的平分线所在直线

C.这个角和它的邻补角的平分线所在的直线

D.这个角和它的邻补角的平分线

12.已知线段AB，切AB中点E的动圆圆心的轨迹是（）

A.线段AB的中垂线

的垂线（除去E点）

C.线段AB的垂线

D.线段AB的中垂线（除去E点）

13.已知两条平行线之间的距离为6cm，和这两条平行线都相切的动圆圆心的轨迹是（）

A.和这两条直线平行，且距离等于6cm的一条直线

B.和这两条直线平行，且距离等于3cm的两条直线

C.和这两条直线平行，且距离都等于3cm的一条直线

D.和这两条直线平行，且距离等于3cm的三条直线

14.点P（x，y）在直角坐标系内运动，且满足，则点P的轨迹是（）

A.平分第I象限角的一条射线

B.平分第II象限角的一条射线

C.平分第III象限角的一条射线

D.平分第I、第III象限角的一条直线

15.已知抛物线的对称轴是到A（-3，0）和B（5，0）的距离相等的点的轨迹，则b的值

是（）

A.-4B.4C.-2D.2

三.解答题。

16.如图所示，已知⊙O和⊙O上一点A，求以点A为一端点的弦的中点的轨迹，并画出图形。

35

17.如图所示，已知∠EAF，B是AE上一点，求作一个，使AB边上高线为2cm，点C到AE，AF的

距离相等。

18.如图所示，一根小木棒两端A、B紧靠钢圈上，现小木棒A、B两端紧靠钢圈按逆时针方向滑动到A'B'

位置上，使得A与B'重合，B与A'重合，且AB//A'B'，已知小木棒长为8cm，钢圈半径为5cm，求木棒中点P

随之运动所经过的路程。

19、在三角形ABC中BC=6AC=5AB=4过点A且与BC边相切的圆分别与AB、AC交于点DE求线段

DE长度的最小值

3.3.3证明四点共圆的基本方法

1、利用圆的定义

根据圆的定义可以知道，平面上到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这个

圆是以定点为圆心，以定点到这几个点中任一点的距离为半径。

2、利用三角形的关系

(1)同斜边的直角三角形的各顶点共圆；

(2)同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。

已知C、D在线段AB的同侧，且∠ACB=∠ADB。

求证：A，B，C，D

四点共圆。

证明：如图7-39，过

A，B，C三点作⊙O。

D



图7-40

O

A

B

C

D

图7-41

O

A

B

C

D

E

图7-42

O

A

B

C

D

D



图7-39

O

A

B

C

D

36

(1)如果D点在⊙O内部，则延长BD交⊙O于D



，连AD



。

∵∠D



=∠C，且∠ADB＞∠D



。∴∠ADB＜∠C，这与∠ADB=∠ACB矛盾。

因此D点不可能在⊙O的内部。

(2)如图7-40，如果D点在⊙O的外部，连AD，BD。则必有一条线段与⊙O相交，设BD与⊙O交于D



，

连AD



。

∵∠AD



B=∠ACB，且∠D＜∠AD



B。

∴∠D＜∠ACB，这与∠ADB=∠ACB矛盾。

因此，D点不可能在⊙O的外部。

综上所述，D点必在⊙O上。

3、利用四边形的关系

(1)如果四边形的一组对角互补，那么它的两个顶点共圆(图7-41)；

(2)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆(7-42)

4、利用线段的乘积式的关系

(1)线段AB，CD相交于P，且PAPB=PCPD，则A，B，C，D四点共圆。

证明：如图7-43，连AD，BC，AC。

在△APD和△BPC中，∵PAPB=PCPD，∴

PB

PD

PC

PA

。

又∠APD=∠BPC，∴△APD∽△BPC。∴∠B=∠D，又B，D在线段AC同侧。

因此，A，C，B，D四点共圆。

(2)两线段AB，CD的延长线相交于P，且PAPB=PCPD，则A，B，C，D四点共圆

(图7-44)。

例1、过正方形ABCD对角线BD上任一点P作边的平行线。其交点分别为E，F，G，

H，证明这些交点在以对角线的交点O为圆心的圆上。

分析：由于P点选取的任意性及正方形ABCD顶点，对角线交点的固定性，应通过三

角形全等证明OE=OF=OG=OH，根据圆的定义证明四点共圆。

证明：如图7-45，连OE、OF、OG、OH。

∵OA=OB=OC，∠OAH=∠OBE=∠OBF=∠OCG=45，AH=BE=BF=CG。

∴△OAH≌△OBE≌△OBF≌△OCG。

∴OH=OE=OF=OG。

因此，E，F，G，H四点共圆。

例2、从一定点P向各同心圆作切线，求证各切点共圆。

分析：由于切线垂直于过切点的半径，因此条件中存在较多的垂直关系。可以考虑

使用“同斜边的直角三角形的各顶点共圆”进行证明。

证明：如图7-46，连OPBOOBAOOA,,,,



。

∵∠OAP=∠OA



P=∠OBP=∠OB



P=90，且都以OP为斜边，

∴A，B，B



，A



共圆。

例3、已知AB，CD是⊙O的弦，且AB∥CD，M为AB的中点，DM交⊙O于E，求证E，M，O，C四点共圆。

分析：注意“同斜边的直角三角形的各顶点共圆”与“同底同侧张等角的三角形的

各顶点共圆”的区别与联系。前者的直角可在斜边两侧，而后者的等角必须在同底的同侧。

本题应使用后者进行证明。

证明：连OE，OM，OC，MC，反向延长OM与CD交于N，如图7-47所示。

图7-44

O

P

C

D

B

A

图7-45

P

F

B

EA

H

O

C

G

D

B



A



图7-46

P

O

B

A

图7-47

M

O

N

DC

B

E

A

P

图7-43

O

A

B

C

D

37

∵AB∥CD，AM=BM，∴MC=MD，∠MCD=∠MDC。

又∠CME=∠MCD+∠MDC=2∠MDC，而∠COE=2∠MDC，∴∠CME=∠COE，且M，C在线段CE同侧。

因此E，M，O，C四点共圆。

例4、两圆交于A，B过B的直线交两圆于C，E，在BA的延长线上任取一点P，连PC，PE，交两圆于D，

F。求证：P，D，A，F四点共圆。

分析：涉及到四边形时，可以考虑使用“如果四边形的一组对角互补，那么

它的四个顶点共圆”，也可以考虑使用“如果四边的一个外角等于它的内对角，那

么它的四个顶点共圆”。

证法1：如图7-48，由∠PDA=∠ABC，∠PFA=∠ABE，并且∠ABC+∠ABE=180，

所以∠PDA+∠PFA=180。

因此P，D，A，F四点共圆。

证法2：由∠PDA=∠ABC，∠ABC=∠AFE，所以∠AFE=∠PDA。

因此P，D，A，F四点共圆。

例5、从⊙O外一点A作切线AB，AC过BC的中点M作弦PQ。求证：Q，P，A，

Q四点共圆。

分析：使用相交弦定理的逆定理及割线定理的逆定理证明四点共圆较为困

难。本题可以使用相交弦定理的逆定理进行证明。

证明：如图7-49连OB，则OB⊥AB，又BC⊥OA，所以根据射影定理，有

2BMAMOM。

根据相交弦定理，有PMQM=BMCM=2BM。

∴AMOM=PMQM。

根据相交弦定理的逆定理，有O，P，A，Q四点共圆。

例1、两个角的边交于点A、B、C、D(如图5-18)，已知这两角的平分线互相

垂直。求证：A、B、C、D四点共圆。

证明：由题意可设∠AEM=∠MEB=



，∠NMF=∠AME=，∠DAB是△EAM的外角，

所以∠DAB=。因为EN⊥NF，所以∠EPN=90－



，∠NFM=90－=∠PFC。

又∠EPN与∠CPF是对顶角，∴∠CPF=∠EPN=90－



。∠BCD是△PCF的外角，

∴∠BCD=∠PEC+∠CPF=(90－)+(90－



)=180。

于是∠DAB+∠BCD=)180()(=180。

∴A、B、C、D四点共圆。

例2、O为△ABC内一点，BO、CO分别交AC、AB于D、E。如果BEBA+CDCA=2BC。

求证：A、D、O、E共圆。

证明：∵BEBA+CDCA=2BC，∴BEBA∠2BC。①

故在线段BC上存在一点F(如图5-19)，使BEBA=BFBC。②

由①，得CDCA=2BC－BEBA=(BF+中国最高的人是谁 FC)BC－BFBC，

即CDCA=FCBC。③

连AF，由②知A、C、F、E四点共圆。∴∠1=∠2。

又由③知A、B、F、D四点共圆。∴∠3=∠4。

∴∠BAC=∠1+∠3=∠2+∠4=COD。∴A、D、O、E四点共圆。

例3、如图5-20，设AD、BE、CF为△ABC的高，垂心为H，N、S、P分别为

三边中点，G、T、M分别为AH、BH、CH的中点。求证：D、E、F、G、T、M、N、S、

P九点共圆。

分析：对于多点共圆问题，要归结为四点共圆问题加以解决。所以，欲证九

点共圆，可先证其中四点共圆。再证余下五点都在此圆周上。

证明：∵PS∥TM∥

2

1

BC(PS=TM=

2

1

BC)，

PT∥SM∥

2

1

AH(PT=SM=

2

1

AH)，又AD⊥BC，∴PTMS的矩形。

同理证TNSG也为矩形。故TS、NG、PM是同一个圆的三条直径。

又∠GDN=90，∴D在此圆上。同理，E、F也在此圆上。故结论成立。

说明：本题是著名的“九点圆定理”，即：任意三角形三条高的垂足、三

图7-48

E

B

C

F

A

D

P

图7-49

G

C

M

P

O

B

A

4

3

2

1

O

F

E

D

C

B

A

图5-19

T

S

M

N

H

P

F

E

D

C

B

A

图5-20

图5-21

F

E

D

C

B

A









90

90E

P

F

NM

D

C

B

A

图5-18

38

边的中点、以及垂心与三顶点连线的中点，这九个点共圆。其证明方法很多，上述是用四点共圆给以证明的。

例4、如果在凸五边形ABCDE中，∠ABC=∠ADE且∠AEC=∠ADB。求证：∠BAC=∠DAE。

分析：欲证∠BAC=∠DAE，如图5-21，在△ABC与△ADE中，已知∠CBA=∠ADE，故只须证明∠BCA=∠DEA

即可。

证明：∵∠AEC=∠ADB，∴A、F、D、E四点共圆。

∴∠AFE=∠ADE，而∠ADE=∠ABC。∴∠AFE=∠ABC。∴A、B、C、F四点共圆。

于是，得∠BCA=∠BFA=∠DEA。

在△BCA与△DEA中，∵∠ABC=∠ADE，∠BCA=∠DEA，∴∠BAC=∠DAE。

例5、设⊙

1

O、⊙

2

O、⊙

3

O两两外切，M是⊙

1

O、⊙

2

O的切点，R、S分别是⊙

1

O、⊙

2

O与⊙

3

O的

切点，连心线

1

O

2

O交⊙

1

O于P，交⊙

2

O于Q。求证：P、Q、R、S四点共圆。分析：如图5-22，连结MR、

PR，则∠PRM=90，欲证P、Q、R、S四点共圆，设法证明∠PRS与∠Q互补即可。

证明：连结RM、PR、RS、SQ，并作切线RN，则在四边形PQSR中，∠Q=

2

1

∠

1

O

2

O

3

O，

∠PRS=∠PRM+∠MRN+∠NRS=90+∠P+

2

1

∠

3

O

=90+

2

1

∠

2

O

1

O

3

O+

2

1

∠

3

O，

∴∠Q+∠PRS=90+

2

1

(∠

1

O

2

O

3

O+∠

2

O

1

O

3

O+∠

3

O)=90+90=180

∴P、Q、R、S四点共圆。

例5、若凸四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，试证：该四边形四个顶点共

圆。

分析：若题目中直接指明需证某四点共圆，则一般采用直接寻找共圆条件，以证得

结果。

证：如图7－5，在四边形ABCD中引AE，BE使得∠1=∠2，∠3=∠4。

则△ABE∽△ACD，所以

CD

BE

AC

AB



即BEACCDAB①

连结ED，由∠BAC=∠EAD及

AD

AE

AC

AB

得△BAC∽△EAD，

因此

ED

BC

AD

AC



即EDACBDAD②

①+②得)(EDBEACBCADCDAB

但由题设BDACBCADCDAB可知BDEDEF，故B，E，D三点共线，所以∠ABD=∠ACD。

于是A，B，C，D四点共圆。

例2设△ADE内接于圆O，弦BC分别交AD，AE边于F，G，且

ABAC

(图3-35)。求证：GEDF,,,

四点共圆。

分析欲证F，D，E，G四点共圆，由于已知条件中交弦较多，因此，用圆幂定理的逆定理，若能证出

AFAD=AGAE成立，则F，D，E，G必共圆．

证：作BCAM交圆O于N，因为

ABAC

，则AN必为⊙O的直径，所以

∠FDN=∠FMN=90，

所以F，D，N，M四点共圆，所以ADAF=ANAM．

同理，AGAE=ANAM，所以ADAF=AGAE，

所以F，D，E，G四点共圆．

多点共圆问题

这里所说的多点共圆是指四点及四点以上的诸多点共圆问题，而其中四点共圆是基

本技能，应立于善于将其灵活运用于解题实践之中；后者也很重要，其方法主要是先证

其中四点共圆，然后证明其余各点均在这个圆上，另外，定义有时也能起到很大的作用。

3

O

1

O

2

O

N

S

R

M

Q

P

图5-22

E

D

CB

A

4

3

2

1

N

3-55

F

M

O

D

E

C

B

A

39

例1、如图14-5所示，在△ABC的边AB、BC、CA上分别用黑点标出C1，A1和B1，它们都不是这些边的

端点，现知有

AB

CB

CA

BA

BC

AC

1

1

1

1

1

1

及∠BAC=∠B1A1C1，证明：黑点为顶点的三角形相似于△ABC。

分析、要证两三角形相似，已有∠BAC=∠B1A1C1，再设法找出另一对角相等即可。

证明：过C1作C1M∥AC，如图，连B1M，则

AB

CB

BC

AC

MB

CM

1

1

1

1

，从而B1M

∥AB。故四边形AC1MB1为平行四边形，∠B1A1C1=∠A=∠B1MC1。于是A1，C1、B、

M四点共圆，∠A1B1C1=∠A1MC1。又C1M∥AC，故∠C=∠A1MC1=∠A1B1C1。因此△

A1B1C1∽△ABC。

例2、如图14-6所示，ABCD是⊙O的内接四边形，延长AB和DC相交于E，

延长AD和BC相交于F，EP和FQ分别切⊙O于P、Q。求证：EP2+FQ2=EF2。

分析、对于在解题中需证明某四点共圆的问题，是一个较难掌握的问题，一

般只能按结论逐步推理。此例所要证明的结论中EP、FQ均在切线，此我们不妨从

割线定理着手。证明：过B、C、E作⊙O1，交EF于G，连CG，因为∠FDC=∠ABC=

∠CGE，故F、D、C、G四点共圆。于是可反复使用切割线定理，有

EP2=(EG+GF)EF=EGEF+GFEF=ECED+FCFB

=EP2+FQ2，即EF2=EP2+FQ2。

例3、如图14-7所示，设A为⊙O外一点，AB、AC和⊙O分别切于B、C，APQ为⊙O的

一条割线。过B作BR∥AQ交⊙O于R，连CR交AQ于M，试证：A、B、C、O、M五点共圆。

分析、将五点共圆问题转化为四点共圆问题。

证明：连接OB、OC、BC，则OB⊥AB，OC⊥AC，故A、B、O、C四高三生活 点共圆。由于BR∥AQ，

故∠GRB=∠BAQ。而∠GBR=∠BCR，故∠BAQ=∠BCR。即∠BAM=∠BCM。于是A、B、M、C四点

共圆。

但过A、B、C三点只能作一个圆，因此，A、B、C、O、M五点共圆。

例4、AB为一圆O中的定弦，作⊙O的弦C1D1，C2D2，…，C1998D1998，对其中每个i(i=1，

2，…，1998)CiDi都被弦AB平分于M，过Ci，Di作⊙O的切线，两切线交于点PI。求证：P1，

P2，…，P1998在同一个圆周上。

分析、如图14-8所示，这是证明1998个点的共圆问题，不便考察，先取定一点PI，看它与三个定点A、

B、O存在什么关系。

证明：先取一条弦CIDI(I=1，2，…，1998)来研究。

因A、B、CI、DI在⊙O上，且MI为AB与CIDI的交点，故有

CIMIDIMI=AMIBMI，①

又因PICI、PIDI为⊙O的切线，易证O，CI，PI，DI四点共圆，且OPI与CIDI也交于MI，故有

CIMIDIMI=OMIPIMI。②

由①、②得AMIBMI=OMIPIMI。

于是PI，O，A、B四点共圆，即PI在△OAB的外接圆上，亦即点P1，P2，…，P1998在△OAB的外接圆

上。

例7、如图5-24，AB、CD是圆的两条弦，延长AC、BD交于P。求证：△PAB与△PCD的外心，垂心四点

共圆。

分析：易知△PAB∽△PDC。设△PAB的垂心为

1

H，外心为

1

O，△

PCD的垂心为

2

H，外心为

2

O，于是有P

1

H∶P

2

H=P

1

O∶P

2

O，因此

只需证明P、

1

O、

2

H共线及P、

2

O、

1

H共线，命题就可获证。

证明：如上所设

1

H是△PAB的垂心，

2

O是△DPC的外心。

∴∠

1

HPA+∠BAP=90，∠

2

OPC+

2

1

∠C

2

OP=90。

而∠CDP=

2

1

C

2

OP，∴∠

2

OPC+CDP=90。又∵CDP=BAP，∴

1

HPA=

∠

2

OPC。

∴

1

H、

2

O、P三点共线。同理，

1

O、

2

H、P三点共线。

又∵△PAB∽△PDC，∴

2

1

2

1

PO

PO

PH

PH



，

1221

POPHPOPH。

∴

1

O、

2

O、

1

H、

2

H四点共圆。

图14-6

D

O1

C

O

B

P

Q

G

F

E

A

图14-8

B

MI

O

A

CI

PI

DI

图14-7

R

Q

M

O

P

C

A

B

G

1

O

1

H

2

O

2

H

P

D

C

B

A

图5-24

40

例8、设AB为定⊙O中的定弦，作⊙O的弦

1

,,DCDCDC，对其中每一i(i=1，2，…，1988)，

ii

DC都被AB平分于

i

M，过

ii

DC,分别作⊙O的切线，两切线交于点

i

P。求证：

198821

,,,PPP共圆。

证明：对每个i(i=1，2，…，1988)，连结ODiOCi,。如图5-25。

∵CiDi均被AB平分于Mi，∴MiBAMiDiMiCiMi。

又

iiii

DPCP,分别切⊙O于

ii

DC,，∴O、Ci、Pi、Di四点共圆，且O

i

P过Mi。

∴

iiiiiii

OMMPMDMC。故BMAMPMOM

iiiii

。

∴Pi和O、A、B共圆。

而O、A、B为定点，所以

i

P在△ABO的外接圆上，即

198821

,,,PPP共圆。

多圆共点问题

所谓多圆共点问题，就是证几个圆同时过某一点。证明多圆共点问题通常有以下两种方法：

(1)先证两圆相交(切)于某点，然后证此点在其它圆上，即把这类问题转化为多点共圆的情形。

(2)找出某一定点，然后证明该点在这多个圆上，这里定点一般为特殊点。

例1、四边形ABCD重组dna技术 的两组对边延长线分别交于E、F两点，求证：所成的四个三

角形：△ABF、△ADE、△CDF、△BCE的外接圆共点。

分析、如图14-9所示，两个较大的三角形的外接圆交于A、P两点；显然两个较

小的三角形的外接圆不能过点A。故应设法证明四个外接圆过点P。

证明：设P是△ABF与△ADE外接圆的另一交点，连结PA、PB、PE。

因A、B、P、F四点共圆，故∠PBF=∠PAF。

又因A、E、P、D四点共圆，故∠DEP=∠PAF。从而∠PBF=∠DEP，E、B、C、P四

点共圆，即P在△BCE的外接圆上。同理，P在△CDF的外接圆上。因此，△ABF、△

ADE、△CDF、△BCE的外接圆共点P。

证明若干个圆共点常用的方法主要有以下二个：

(1)先证其中两圆相交(或相切)于某点，然后证明此点在其它圆上，即把圆共点的问题转化为共圆点问题。

(2)找出某一定点，然后证明该点在诸所设圆上(这定点一般为特殊点)。

例8、如图7－8，在△ABC的各边上向外各作一个正三角形BCD，CAE，ABF。证明：这三个正三角形的外

接圆共点。

证：设△CAE与△ABF的外接圆交于O点，连接AO，BO，CO。因为∠AOC+∠E=180，

∠AOB+∠F=180，∠E=∠F=60，所以∠AOC=360－∠AOC－∠AOB=120，∠D=60，

故∠BOC+∠D=180，

因此，O，B，D，C四点共圆，即△BCD的外接圆通过O点。于是△BCD，△CAE，

△ABF的外接圆共点。

例9、如图7－9，I为△ABC的内心，过B作圆

1

O与直线CI相切于I点，又

过C作圆

2

O与直线BI相切于I点，求证：所作两圆与△ABC的外接圆共点。

证：因为)180(

2

1

180)(

2

1

180ACBBIC，

180

2

1

90A

所以⊙

1

O和⊙

2

O的另一个交点D必在∠BIC内部。连接DI，DB，DC。

由于IBDCIDICDBID,

所以)(360ICDIBDBICBDCBIC2360













A

2

1

902360A180，

即180BDCA。

因此，A，B，D，C四点共圆。故△ABC的外接圆通过D点，于是，所说的三圆共点。

图14-9

B

C

D

F

P

E

A

C

O

D

F

E

B

A

1

Q

I

2

Q

D

C

B

A

i

P

i

M

i

D

i

C

图5-25

O

B

A

41

练习

1．设梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别在腰AD和BC上，若A，B，F，E四点共圆，

则C，D，E，F也必四点共圆．

2．四边形EFGH的顶点顺次在四边形ABCD的各边上，并且AE=AH，BE=BF，CF=CG，

DG=DH．求证：E，F，G，H四点共圆．

1、设△ABC为正三角形，BC、AC上分别有一点D、E，且BD=

2

1

CD，CE=

2

1

AE，BE、

AD相交于P。求证：P、D、C、E四点共圆，且AP⊥CP。

2、设△ABC的BC边的垂直平分线与∠BAC的平分线相交于D，求证：A、B、C、D

四点共圆。

3、如图，两圆相交，过一交点A引两圆的直径AB、AC，交两圆于E、F，过B、E及C、F的直线交两圆

于P、Q、R、S。求证：P、S、Q、R四点共圆。

4、在△ABC中，过B、C分别作∠BAC的平分线为垂线，E、F的垂足，AD⊥BC于D，M为BC中点。求证：

M、E、D、F四点共圆。

5、如图，D是△ABC的BC边上的一点，

1

O

2

O和

3

O分别为△ABC、△ADB和△ADC

外接圆的圆心。求证：A、

2

O、

1

O、

3

O四点共圆。

6、在Rt△ABC中，∠BAC=90，AH⊥BC于H，S为AH的中点，过S点作各边的平

行线与三边交于P、Q、K、L、M、N，如图。求证：P、Q、K、L、M、N六点共圆。

7、设ABCD为平行四边形，∠ABC＞90，O为其对角线交点，自点D作对对角线AC的垂线，垂足为B



，

自点D作AB边垂线，垂足为C



，自点D作BC边的垂线。垂足为A



。求证：O、A



、B



、C



共圆。

8、已知四边形ABCD的对角线AC⊥BD，且

ABCD

S

四边形

2=ABCD+BCAD。求证：A、B、C、D四点共圆。

3

O2

O

1

O

第5题

D

C

B

A

R

P

E

H

F

Q

S

C

B

A

第3题

第6题

S

Q

P

M

N

L

H

K

C

B

A