分量线

1

共线问题

1、[例4]如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，

求AP：PM的值．

[解析]设BM

→

＝e

1

，CN

→

＝e

2

，则AM

→

＝AC

→

＋CM

→

＝－3e

2

－e

1

，BN

→

＝2e

1

＋e

2

∵A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在实数、使AP

→

＝AM

→

＝－e

1

－3e

2

，

BP

→

＝BN

→

＝2e

1

＋e

2

，故BA

→

＝BP

→

－AP

→

＝(＋2)e

1

＋(3＋)e

2

.

而BA

→

＝BC

→

＋CA

→

＝2e

1

＋3e

2

由平面向量基本定理，得









＋2＝2

3＋＝3

，解得





＝

4

5

＝

3

5

，

故AP

→

＝

4

5

AM

→

，故APPM＝41.

2、13．如图，E是平行四边形ABCD的边AD上一点，且AE

→

＝

1

4

AD

→

，F为BE与AC的交点．设AB

→

＝a，

BC

→

＝b，若BF

→

＝kBE

→

，AF

→

＝hAC

→

，则k＝________，h＝________.

[答案]

4

5

1

5

[解析]∵AC

→

＝AB

→

＋BC

→

＝a＋b，∴AF

→

＝hAC

→

＝ha＋hb，BF

→

＝BA

→

＋AF

→

＝－a＋ha＋hb＝(h－1)a＋hb，

又BF

→

＝kBE

→

＝k(BA

→

＋AE

→

)＝k(－a＋

1

4

b)＝－ka＋

k

4

b，

显然a与b不共线，∴









h－1＝－k

h＝

k

4

，解得





k＝

4

5

h＝

1

5

.

3、15．在▱ABCD中，设边AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，设DF与AG、EG的交点分别为H、

K，设AB

→

＝a，BC

→

＝b，试用a、b表示GK

→

、AH

→

.

[解析]如图所示，GF

→

＝CF

→

－CG

→

＝－

1

2

b＋

1

2

a，因为K为DF的中点，所以GK

→

＝

1

2

(GD

→

＋GF

→

)

＝

1

2







－

1

2

a－

1

2

b＋

1

2

a

＝－

1

4

→

＝CF

→

－CD

→

＝－

1

2

b＋a.

因为A、H、G三点共线，所以存在实数m，使AH

→

＝mAG

→

＝m









b＋

1

2

a

；

又D、H、F三点共线，所以存在实数n，使DH

→

＝nDF

→

＝n









a－

1

2

b

因为AD

→

＋DH

→

＝AH

→

，所以









1－

n

2

b＋na＝mb＋

m

2

a

因为a、b不共线，所以





1－

n

2

＝m

n＝

m

2

，解得m＝

4

5

，即AH

→

＝

4

5







b＋

1

2

a

＝

2

5

(a＋2b)．

4、16．如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使

DB＝

1

3

OB，DC与OA交于点E，设OA

→

＝a，OB

→

＝b，用a，b表示向量OC

→

，DC

→

.

2

[分析]将待求向量用已知向量、或与已知向量共线的向量、或能用已知向量表示的向量线性表示，逐

步化去过渡的中间向量．

如待求OC

→

，已知OA

→

、OB

→

，即知BA

→

，因为BC

→

可用BA

→

线性表示，故可用OB

→

和BC

→

来表示OC

→

.

[解析]因为A是BC的中点，所以OA

→

＝

1

2

(OB

→

＋OC

→

)，即OC

→

＝2OA

→

－OB

→

＝2a－b.

DC

→

＝OC

→

－OD

→

＝OC

→

－

2

3

OB

→

＝2a－b－

2

3

b＝2a－

5

3

b.

5、18．在△OAB中，OC

→

＝

1

4

OA

→

，OD

→

＝

1

2

OB

→

，AD与BC交于点M，设OA

→

＝a，OB

→

＝b，以a、b为基底

表示OM

→

.

[分析]显然a、b不共线，故可设OM

→

＝ma＋nb，由A、M、D三点共线及

B、M、C三点共线利用向量共线条件求解．

[解析]设OM

→

＝ma＋nb(m，n∈R)，则AM

→

＝OM

→

－OA

→

＝(m－1)a＋nb，

AD

→

＝OD

→

－OA

→

＝

1

2

b－a因为A、M、D三点共线，所以

m－1

－1

＝

n

1

2

，即m＋2n＝1

又CM

→

＝OM

→

－OC

→

＝









m－

1

4

a＋nb，CB

→

＝OB

→

－OC

→

＝－

1

4

a＋b，

因为C、M、B三点共线，所以

m－

1

4

－

1

4

＝

n

1

，即4m＋n＝1，

由









m＋2n＝1

4m＋n＝1

，解得





m＝

1

7

n＝

3

7

，所以OM

→

＝

1

7

a＋

3

7

b.

6、19．(本题满分12分)在▱ABCD中，点M在AB上，且AM＝3MB，点N在BD上，且BN

→

＝BD

→

，C、

M、N三点共线，求的值．

[解析]设AB

→

＝e

1

，AD

→

＝e

2

，则BD

→

＝e

2

－e

1

，

BN

→

＝BD

→

＝(e

2

－e

1

)，MB

→

＝

1

4

AB

→

＝

1

4

e

1

，BC

→

＝AD

→

＝e

2

，

∴MC

→

＝MB

→

＋BC

→

＝

1

4

e

1

＋e

2

，MN

→

＝MB

→

＋BN

→

＝

1

4

e

1

＋(e

2

－e

1

)＝e

2

＋









1

4

－

e

1

，

∵M、N、C共线，∴MN

→

与MC

→

共线，∵e

1

与e

2

不共线，∴

1

4

－

1

4

＝

1

，∴＝

1

5

.

(2010合肥市)如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设AB

→

＝a，AC

→

＝b，AF

→

＝xa＋

yb，则(x，y)为()

3

A.









1

2

，

1

2

B.









2

3

，

2

3

C.









1

3

，

1

3

D.









2

3

，

1

2

[答案]C

[解析]设CF

→

＝CD

→

，∵E、D分别为AC、AB的中点，∴BE

→

＝BA

→

＋

AE

→

＝－a＋

1

2

b，BF

→

＝BC

→

＋CF

→

＝(b－a)＋(

1

2

a－b)＝









1

2

－1

a＋(1－)b，

∵BE

→

与BF

→

共线，∴

1

2

－1

－1

＝

1－

1

2

，∴＝

2

3

，∴AF

→

＝AC

→

＋CF

→

＝b＋

2

3

CD

→

＝b＋

2

3







1

2

a－b

＝

1

3

a＋

1

3

b，故x＝

1

3

，y＝

1

3

.

7、8．已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB

→

＝PA

→

＋PB

→

，其中∈R，则点P一定在()

A．△ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上

[答案]B

[解析]由CB

→

＝PA

→

＋PB

→

得CB

→

－PB

→

＝PA

→

，∴CP

→

＝PA

→

.则CP

→

与PA

→

为共线向量，又CP

→

与PA

→

有一个公共点P，

∴C、P、A三点共线，即点P在直线AC上．故选B.

8、9．G为△ABC内一点，且满足GA

→

＋GB

→

＋GC

→

＝0，则G为△ABC的()

A．外心B．内心C．垂心D．重心

[答案]D

[解析]由于GA

→

＋GB

→

＋GC

→

＝0，所以GA

→

＝－(GB

→

＋GC

→

)，即GA

→

是与GB

→

＋GC

→

方向相

反，长度相等的向量．如图，以GB

→

，GC

→

为相邻的两边作▱BGCD，则GD

→

＝GB

→

＋GC

→

，所

以GD

→

＝－GA

→

，在▱BGCD中，设BC与GD交于点E，则BE

→

＝EC

→

，GE

→

＝ED马步芳简介

→

，故AE是

△ABC中BC边上的中线且|GA

→

|＝2|GE

→

|.从而点G是△ABC的重心．选D.

9、10．(2010河北唐山)已知P、A、B、C是平面内四个不同的点，且PA

→

＋PB

→

＋PC

→

＝AC

→

，则()

A．A、B、C三点共线B．A、B、P三点共线

C．A、C、P三点共线D．B、C、P三点共线

[答案]B

[解析]∵AC

→

＝PC

→

－PA

→

，∴原条件式变形为：PB

→

＝－2PA

→

，∴PB

→

∥PA

→

，∴A、B、P三点共线．

10、4．(2010湖南长沙)已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OP

→

＝OA

→

＋(AB

→

＋AC

→

)，∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()

A．外心B．垂心C．内心D．重心

[答案]D

[解析]设AB

→

＋AC

→

＝AD

→

，则可知四边形BACD是平行四边形，而AP

→

＝AD

→

表明A、P、D三点共线．又

D在BC的中线所在直线上，于是点P的轨迹一定通过△ABC的重心．

4

11、5．P是△ABC所在平面上一点，若PA

→

PB

→

＝PB

→

PC

→

＝PC

→

PA

→

，则P是△ABC的()

A．外心B．内心C．重心D．垂心

[答案]D

[解析]由PA

→

PB

→

＝PB

→

PC

→

得PB

→

(PA

→

－PC

→

)＝0，即PB

→

CA

→

＝0，∴PB⊥CA.

同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．

12、6．已知△ABC中，若AB2

→

＝AB

→

AC

→

＋BA

→

BC

→

＋CA

→

CB

→

，则△ABC是()

A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形

[答案]C

[解析]由AB2

→

－AB

→

AC

→

＝BA

→

BC

→

＋CA

→

CB

→

，得AB

→

(AB

→

－AC

→

)＝BC

→

(BA

→

－CA

→

)，

即AB

→

CB

→

＝BC

→

BC

→

，∴AB

→

BC

→

＋BC

→

BC

→

＝0，∴BC

→

(AB

→

＋BC

→

)＝0，则BC

→

AC

→

＝0，即BC

→

⊥AC

→

，

所以△ABC是直角三角形，故选C.

13、7．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(OB

→

－OC

→

)(OB

→

＋OC

→

－2OA

→

)＝0，则△ABC的形状为()

A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．A、B、C均不是

[答案]C

[解析]由(OB

→

－OC

→

)(OB

→

＋OC

→

－2OA

→

)＝0，得

CB

→

(AB

→

＋AC

→

)＝0，又∵CB

→

＝AB

→

－AC

→

，∴(AB

→

－AC

→

)(AB

→

＋AC

→

)＝0，即|AB

→

|2－|AC

→

|2＝0.

∴|AB

→

|＝|AC

→

|.∴△ABC为等腰三角形．

[点评]若设BC中点为D，则有AB

→

＋AC

→

＝2AD

→

，故由CB

→

(AB

→

＋AC

→

)＝0得CB

→

AD

→

＝0，

∴CB⊥AD，∴AC＝BC.

14、5．点O是△ABC所在平面内的一点，满足OA

→

OB

→

＝OB

→

OC

→

＝OC

→

OA

→

，则点O是△ABC的()

A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点D．三条高线的交点

[答案]D

[解析]由OA

→

OB

→

＝OB

→

OC

→

，得OA

→

OB

→

－OB

→

OC

→

＝0，

∴OB

→

(OA

→

－OC

→

)＝0，即OB

→

CA

→

＝0.∴OB

→

⊥CA

→

.同理可证OA

→

⊥CB

→

，OC

→

⊥AB

→

.

∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的三条高线的交点．

15、1．(2013烟台模拟)若M为△ABC所在平面内一点，且满足(MB

→

－MC

→

)(MB

→

＋MC

→

－2MA

→

)＝0，则△

ABC为()

A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形

[答案]B

5

[解析]由(MB

→

－MC

→

)(MB

→

＋MC

→

－2MA

→

)＝0，可知CB

→

(AB

→

＋AC

→

)＝0，

设BC的中点为D，则AB

→

＋AC

→

＝2AD

→

，故CB

→

AD

→

＝0，所以CB

→

⊥AD

→

.

又D为BC中点，故△ABC为等腰三角形．

1．(2013济南一模)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP

→工作祝福语

＝

1

3





1

2

OA

→

＋

1

2

OB

→

＋





2OC

→

，则点P一定为三角形ABC的()．

A．天津创业 达雅克人 AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点

解析设AB的中点为M，则

1

2

OA

→

＋

1

2

OB

→

＝OM

→

，∴OP

→

＝

1

3

(OM

→

＋2OC

→

)＝

1

3

OM

→

＋

2

3

OC

→

，即3OP

→

＝OM

→

＋2OC

→

，也

就是MP

→

＝2PC

→

，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．答案B

2．在△ABC中，点O在线段什么龟好养又好看 BC的延长线上，且与点C不重合，若AO

→

＝xAB

→

＋(1－x)AC

→

，则实数x的取值

范围是()．

A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(0,1)

解析设BO

→

＝BC

→

(＞1)，则AO

→

＝AB

→

＋BO

→

＝AB

→鼻子里面疼

＋BC

→

＝(1－)AB

→

＋AC

→

，又AO

→

＝xAB

→

＋(1－x)AC

→

，所以

xAB

→

＋(1－x)AC

→

＝(1－)AB

→

＋AC

→

.所以＝1－x＞1，得x＜0.答案A

3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB

→

－OC

→

|＝|OB

→

＋OC

→

－2OA

→

|，则△ABC的形状为________．

解析OB

→

＋OC

→

－2OA

→

＝OB

→

－OA

→

＋OC

→

－OA

→

＝AB

→

＋AC

→

，OB

→

－OC

→

＝CB

→

＝AB

→

－AC

→

，∴|AB

→

＋AC

→

|＝|AB

→

－AC

→

|.

故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案直角三角形

4.在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB

→

＝a，AC

→

＝

b，试用a，b表示AG

→

.

解AG

→

＝AB

→

＋BG

→

＝AB

→

＋BE

→

＝AB

→

＋

2

(BA

→

＋BC

→

)＝









1－

2

AB

→

＋

2

(AC

→

－AB

→

)＝(1－)AB

→

＋

2

AC

→

＝(1－)a＋

2

b.

又AG

→

＝AC

→

＋CG

→

＝AC

→

＋mCF

→

＝AC

→

＋

m

2

(CA

→

＋CB

→

)＝(1－m)AC

→

＋

m

2

AB

→

＝

m

2

a＋(1－m)b，

∴





1－＝

m

2

，

1－m＝

2

，

解得＝m＝

2

3

，∴AG

→

＝

1

3

a＋

1

3

b.