直接开平方法

1．（2010•三明）（1）请从三个代数式4x2

﹣y

2

，2xy+y

2

，4x

2+4xy+y2

中，任选两个构造一个

分式，并化简该分式；

（2）解方程：（x﹣1）

2+2x﹣3=0．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；分式的混合运算；分式的化简求值。

分析：（1）根据所给代数式的特点，三个代数式分解因式后都有公因式，因而可以任意进行

组合．

（2）对方程进行变形后，再应用直接开平方法解答表示思念的诗句 ．

解答：解：（1）本题答案不唯一．

（2分）

=（6分）

=（8分）

②=；

③=；

④；

⑤；

⑥．

（2）x

2

﹣2x+1+2x﹣3=0（3分）

x2

﹣2=0

x2=2（6分）

∴x

1

=，x

2

=﹣．（8分）

点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x

2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且

a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，

右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

2．（2010•鞍山）解方程：

（1）（2x+3）

2

﹣25=0

（2）3x

2

﹣5x+5=7．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法。

分析：（1）把常数项25移到方程的右边，运用直接开平方法解方程，注意把2x+3看作一

个整体；

（2）可以运用因式分解法解方程．

解答：解：（1）（2x+3）

2=25，

2x+3=5，

2x=5﹣3，

x

1

=1，x

2

=﹣4．

（2）3x

2

﹣5x﹣2=0

（x﹣2）（3x+1）=0，

x

1

=2，x

2

=﹣．

点评：此题考查了运用直接开平方法解方程和运用因式分解法解方程的方法．

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x

2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；

（x+a）

2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．

法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程

解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

3．（2009•定西）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b=a2

﹣b

2

，求方程（4⊕3）⊕x=24

的解．

考点：解一元二次方程-直接开平方法。

专题：新定义。

分析：此题是新定义题型，应该严格按照题中给出的计算法则进行运算，其中有小括号的要

先算小括号．

解答：解：∵传承红色精神 a⊕b=a

2

﹣b

2

，

∴（4⊕3）⊕x=（42

﹣3

2

）⊕x=7⊕x=7

2

﹣x

2

∴72

﹣x

2=24

∴x2=25．

∴x=5．

点评：考查了学生的数学应用能力和解题技能，这是典型的新定义题型，解这类题应该严格

按照题中给出的计算法则进行运算．易错点是要把小括号里算出的代数式看做是整体代入下

一步骤中计算．

4．（2008•长春）解方程：x2

﹣6x+9=（5﹣2x）

2

考点：解一元二次方程-直接开平方法。

专题：计算题。

分析：把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相

等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．

解答：解：∵（x﹣3）

2=（5﹣2x）2

，

∴x﹣3=5﹣2x或x﹣3=2x﹣5

解之得：x

1

=2，x

2

=．

点评：解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．

5．（2005•济南）解一元二次方程：（x﹣1）2=4．

考点：解一元二次方程-直接开平方法。

专题：计算题。

分析：方程左边为完全平方的形式，开方直接解答便可得出x﹣1的值，进而求x．

解答：解：（x﹣1）

2=4，x﹣1=2，x=3或x=﹣1．

点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x

2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且

a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，

右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

6．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则是a※b=a2

﹣b

2

，根据这个规则，求方程（x+2）

※5=0的解．

考点：解一元二次方程-直接开平方法。

专题：新定义。

分析：本题可根据所给的条件，将（x+2）※5=0变形，再对方程左边进行因式分解得到两

个相乘的式子，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．

解答：解：∵a※b=a

2

﹣b

2

∴（x+2）※5=（x+2）2

﹣25，

原方程转化为（x+2）

2

﹣25=0，即（x+2）

2=25

∴x+2=5或x+2=﹣5

x

1

=﹣7，x

2

=3

点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方

法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解

法．

7．解方程：64（1+x）2=100

考点：解一元二次方程-直接开平方法。

分析：先把方程系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．

解答：解：原式可化为（1+x）

2=

解得：x

1

=，x

2

=﹣．

点评：解这类问题要移项，把所含未知数的项移盐酸的密度 到等号的左边，把常数项移项等号的右边，

化成x

2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x

2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；

（x+a）

2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a花洒哪个品牌好 ，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常

数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

8．解方程：

（1）（x+1）

2=9；

（2）2x

2+5x﹣3=0．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法。

分析：先观察再确定各方程的解法；（1）用直接开平方法，（2）用因式分解法解方程．

解答：解：（1）直接开平方，得：x+1=3，

解得：x

1

=2，x

2

=﹣4；

（2）因式分解，得：（x+3）（2x﹣1）=0，

x+3=0或2x﹣1=0，

解得：x

1

=﹣3，x

2

=．

点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方

法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

9．已知方程x2+（m﹣1）x+m﹣10=0的一个根是3，求m的值及方程的另一个根．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；一元二次方程的解。

专题：计算题。

分析：一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知

数所得式子仍然成立；将x=3代入原方程即可求得m及另一根的值．

解答：解：∵方程x

2+（m﹣1）x+m﹣10=0的一个根是3，

∴方程9+3（m﹣1）+m﹣10=0，

即4m﹣4=0，

解得m=1；

有方程x

2

﹣9=0，

解得x=3，

所以另一根为﹣3．

点评：本题考查的是一元二次方程的根的定义．

10．解方程：（3y﹣1）2=（y﹣3）2

．

考点：解一元二次方程-直接开平方法。

专题：计算题。

分析：由于方程两边都是完全平方式，这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个

一元一次方程，即可求解．

解答：解：∵（3y﹣1）

2=（y﹣3）2∴3y﹣1=（y﹣3），

解得y

1

=1，y

2

=﹣1．

点评：此题主要考查了直接开平方法，解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程

转化为一元一次方程，从而求解．

11．解方程16（x﹣2）2=64．

考点：解一元二次方程-直接开平方法。

专题：计算题。

分析：将系数化为1后方程左边为完全平方式，然后利用数的开方来解答．

解答：解：∵（x﹣2）

2=4，

∴x﹣2=2或﹣2，

∴x

1

=4，x

2

=0．

点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x

2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且

a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，

右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

12．解方程：

（1）（x﹣1）

2=4

（2）（x+2）（x﹣1）=0

（3）x

2

﹣2x﹣3=0

（4）x

2+4x+2=0．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解

法。

分析：（1）运用直接开平方法解方程；

（2）（3）运用因式分解法解方程；

（4）运用公式法解方程．

解答：解：（1）开方得x﹣1=2

即x﹣1=2或x﹣1=﹣2．

解得x

1

=3，x

2

=﹣1．

（2）∵（x+2）（x﹣1）=0

∴x+2=0或x﹣1=0

∴x

1

=﹣2，x

2

=1．

（3）∵x

2

﹣2x﹣3=0

∴（x+1）（x﹣3）=0，即x+1=0或x﹣3=0

解得x

1

=﹣1，x

2

=3．

（4）∵a=1，b=4，c=2

∴b2

﹣4ac=16﹣8=8．

∴x=

即x

1

=﹣2+，x

2

=﹣2﹣．

点评：针对不同的方程的特点，选择合适的解方程的方法，可以简化计算．

13．用适当的方法解方程：

（1）（3x﹣1）

2=49；

（2）．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法。

专题：计算题。

分析：（1）把3x﹣1看作整体直接开方即可求解．

（2）移项以后，提公因式2x﹣3，利用提公因式法可以把等号左边的式子分解，即可利用

因式分解法解方程．

解答：解：（1）3x﹣1=7

3x﹣1=7或3x﹣1=﹣7

∴x

1

=，x

2

=﹣2；

（2）（2x﹣3）

2

﹣（2x﹣3）=0

（2x﹣3）（2x﹣3﹣）=0

2x﹣3=0或2x﹣3﹣=0

∴x

1

=，x

2

=．

点评：主要考查直接开平方法和因式分解法解方程．

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x

2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；

（x+a）

2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．

法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程

解”．

14．请从以下一元二次方程中任选3个，并用适当的方法解这3个方程，

（1）x

2

﹣3x﹣3=0；

（2）（y+2）

2=5；

（3）4（x+1）

2=x+1；

（4）y（y﹣2）=2．

你选择的是第（1）（2）（3）小题．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；

解一元二次方程-因式分解法。

分析：（1）是一元二次方程的一般形式，可用公式法求解；

（2）方程左边为完全平方式，右边为非负数，可用直接开平方法求解；

（3）方程两边都含有公因式（x+1），先移项，再用提取公因式法求解．

解答：解：（1）用公式法：a=1，b=﹣3，c=﹣3，

∵△=b2

﹣4ac=21

∴x=，

即，；

（2）用直接开平方法，

由（y+2）

2=5开平方，得

y+2=

解得：y

1

=﹣2+，y

2

=﹣2﹣；

（3）用因式分解法，

原方程移项，得4（x+1）

2

﹣（x+1）=0

提公因式，得（x+1）[4（x+1）﹣1]=0

解得x

1

=﹣1，x

2

=．

点评：本题考查了解一元二次方程常用的几种方法，需要根据方程的特点，选择合理的方法；

熟练掌握各种解题方法的步骤．

15．①电脑硬盘怎么看 计算

②解方程：4x2

﹣9=0

考点：解一元二次方程-直接开平方法；实数的运算。

分析：①根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方带姓氏的网名 数相同的二次根式

进行合并，即合并同类项；

②用直接开平方法解一元二次方程．

解答：解：①原式=﹣（﹣2）

=+2

=；

②由原方程，得

4x2=9，即x2=，

∴，即．

点评：同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式；

二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；合并

同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．

16．解方程

（1）x

2=49

（2）3x

2

﹣7x=0

（3）（2x﹣1）

2=9（直接开平方法）

（4）x

2+3x﹣4=0（用配方法）

（5）（x+4）

2=5（x+4）（因式分解法）

（6）（x+1）

2=4x．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解

法。

专题：计算题。

分析：要灵活运用解方程的方法．

（1）（3）（6）可用直接开平方法；

（2）（5）运用因式分解法；

（4）配方法．

解答：解：（1）x

2=49，解得x=7．

（2）3x

2

﹣7x=0，提取公因式x（3x﹣7）=0，解得x

1

=0，x

2

=．

（3）（2x﹣1）

2=9，2x﹣1=3，则x=2或，﹣1．

（4）x

2+3x﹣4=0利用配方法得x2+3x+=4+，（x+）2=，x+=，解得x=﹣4或1．

（5）方程（x+4）

2=5（x+4）提取公因式得（x+4）（x+4﹣5）=0，解得x=﹣4或1．

（6）方程（x+1）

2=4x可转化为x2+2x+1﹣4x=0，即（x﹣1）2=0，解得x=1．

点评：（1）用直接开平方求解时，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，

它们互为相反数；

（2）用配方法解方程“方程的两边都加上一次项系数一半的平方”是配方法的关键，“二次项

系数化为1”是进行这一关键步骤的重要前提；

（3）将多项式分解成两个因式的积，每个因式分别等于零，将方程降为两个一元一次方程

为求解．

17．解方程：（3x﹣2）2=9（2x+1）2

考点：解一元二次方程-直接开平方法。

专题：计算题。

分析：本题两边都是完全平方式，所以用直接开平方再移项合并即可解答．

解答：解：∵（3x﹣2）

2=9（2x+1）2∴3x﹣2=3（2x+1），

解之得：．

点评：此题主要考查了直接开平方，解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转

化为一元一次方程，从而求解．本题难易程度适中．

18．解方程：

①（2x﹣1）2=9（直接开平方法）

②x2+3x﹣4=0（用配方法）

③x2

﹣2x﹣8=0（用因式分解法）

④（x+4）2=5（x+4）

⑤（x+1）2=4x

⑥（x+1）（x+2）=2x+4

⑦2x2

﹣10x=3

⑧（x﹣2）（x﹣5）=﹣2

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；

解一元二次方程-因式分解法。

专题：计算题。

分析：要根据方程形式的不同灵活运用不同的方法来解方程：（1）直接开平方法；（2）用配

方法；（3）用因式分解法；（4）提取公因式；（5）（6）（7）（8）去括号，移项化为一般形式，

进而求解．

解答：解：①2x﹣1=3，

∴x

1

=2，x

2

=﹣1；

②，

∴x+=，∴x

1

=1，x

2

=﹣4；

③（x+2）（x﹣4）=0，

∴x

1

=﹣2，x

2

=4；

④（x+4）2

﹣5（x+4）=0，

∴（x+4）（x+4﹣5）=0，

∴x

1

=﹣4，x

2

=1；

⑤x2+2x+1﹣4x=0，

∴x2

﹣2x+1=0

（x﹣1）

2=0，

∴x

1

=x

2

=1；

⑥x2+x﹣2=0，

∴（x﹣1）（x+2）=0，

∴x

1

=1，x

2

=﹣2；

⑦2x2

﹣10x﹣3=0，

∴，

∴x

1

=，x

2

=；

⑧x2

﹣7x+12=0，

∴（x﹣3）（x﹣4）=0，

∴x

1

=3，x

2

=4．

点评：（1）用直接开平方求解时，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，

它们互为相反数；

（2）用配方法解方程“方程的两边都加上一次项系数一半的平方”是配方法的关键，“二次项

系数化为1”是进行这一关键步骤的重要前提；

（3）将多项式分解成两个因式的积，每个因式分别等于零，将方程降为两个一元一次方程

为求解．

19．用恰当的方法解方程（3x﹣2）2=（x+4）2

考点：解一元二次方程-直接开平方法。

专题：计算题。

分析：本题左右两边都是完全平方式，所以可用直接开平方法进行解答．

解答：解：∵（3x﹣2）

2=（x+4）2

∴3x﹣2=x+4或3x﹣2=﹣x﹣4，

解之得x

1

=﹣，x

2

=3．

点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，难易程度适中．

20．用指定的方法解方程

（1）（x+2）

2

﹣25=0（直接开平方法）

（2）x

2+4x﹣5=0（配方法）

（3）（x+2）

2

﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）

（4）2x

2

﹣7x+3=0（公式法）

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；

解一元二次方程-因式分解法。

专题：计算题。

分析：（1）首先移项变形为（x+2）

2=25的形式，根据平方根的定义即可求解；

（2）首先移项，把常数项移到等号的右边，方程两边同时加上一次项系数的一半，则左边

是完全平方的形式，右边是常数，再利用直接开平方法即可求解；

（3）把x+2当作一个整体，则方程左边就是一个完全平方式，即可利用因式分解法求解；

（4）首先确定a，b，c的值，再检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．

解答：解：（1）（x+2）

2

﹣25=0（直接开平方法）

x+2=5

∴x

1

=3，x

2

=﹣7．

（2）x

2+4x﹣5=0（配方法）

（x+2）

2=9

x+2=3

∴x

1

=﹣5，x

2

=1；

（3）（x+2）

2

﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）

（x+2﹣5）（x+2﹣5）=0

∴x

1

=x

2

=3；

（4）2x

2

﹣7x+3=0（公式法）

x=

x

1

=+，x

2

=﹣．

点评：本题考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，

要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元

二次方程．

21．计算：

（1）（2x﹣1）

2

﹣16=0；

（2）．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解二元一次方程组。

分析：（1）先移项，再运用直接开平方法解方程；

（2）可用代入消元法解这个二元一次方程组．

解答：解：（1）移项，得：（2x﹣1）

2=16，

直接开平方，得：2x﹣1=4，

解得：x

1

=，x

2

=﹣；

（2）将②代入①得：2x﹣（﹣x﹣5）﹣2=0，解得：x=﹣1；

当x=﹣1时，y=﹣x﹣5=1﹣5=﹣4；

故原方程组的解为：．

点评：此题主要考查了一元二次方程的解法，以及用代入消元法解二元一次方程组的方法．

22．已知实数a、b满足b=+﹣1，解方程ax2+b=0．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；二次根式有意义的条件。

分析：根据二次根式有意义的条件，即可求得a的值，进而可以求得b的值，则方程的解即

可求得．

解答：解：根据题意得：

解得：a=，

则b=﹣1．

方程是：x

2

﹣1=0

解得：x=．

点评：本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确求得a、b的值是解决本题的关键．

23．附加题．

（1）计算：=7；

（2）已知方程：x

2

﹣1=0，则x=1．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；二次根式的加减法。

分析：（1）根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式

进行合并；

（2）移项后直接开方．

解答：解：（1）原式=7

（2）x

2

﹣1=0

x2=1

x=1．

点评：（1）合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变；

（2）利用了直接开方法解方程，就是依据平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，

这两个互为相反数．

24．已知关于x的方程（a2

﹣4a+5）x

2+2ax+4=0

（1）当a=2时，解这个方程；

（2）试证明：无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；一元二次方程的定义。

专题：计算题；证明题。

分析：该题在解析的过程中应理解一元二次方程的定义和一般形式，主要考查二次项系数不

为零，由这个条件即可解出．

解答：解：（1）当a=2时，原方程化简为：x

2+4x+4=0

解得：x

1

=x

2

=﹣2（4分）

（2）∵a

2

﹣4a+5=（a﹣2）

2+1≥1＞0

∴a2

﹣4a+5≠0

故这个方程都是一元二次方程（4分）

点评：要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，方程就不是一元二次方程了．也要

注意不等式的解析过程．

25．用适当的方法解下列方程：

（1）（y﹣3）

2

﹣5=0；

（2）3（x﹣3）

2+x（x﹣3）=0．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法。

分析：（1）先移项，然后用直接开平方法解方程；

（2）方程左边含有公因式（x﹣3），可先提取公因式，然后再分解因式求解．

解答：解：（1）移项，得：（y﹣3）

2=5，

y﹣3=或y﹣3=﹣；

解得：y

1

=3+，y

2

=3﹣；

（2）因式分解，得：（x﹣3）（3x﹣9+x）=0，

x﹣3=0或4x﹣9=0，

解得：x

1

=3，x

2

=．

点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方

法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

26．解下列方程（组）：

（1）．

（2）4x

2=（x﹣1）2

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解二元一次方程组。

专题：计算题。

分析：（1）先把方程组化简后再用加减法或代入法求解；

（2）4x

2

可以看作（2x）

2

，因而这个方程表示两个式子的平方相等，则这两个式子相等或

互为相反数，这样就可把方程转化为一元一次方程，即可求解．

解答：解：（1）原方程组可化为

①﹣②，得

﹣4x+28=0，解得x=7，

代入①，得

7﹣3y+8=0，即y=5．

原方程组的解为．（4分）

（2）原式可化为（2x）

2=（x﹣1）2

解得2x=x﹣1，

x=﹣1，

或2x=1﹣x，

x=．

原方程的解为x

1

=﹣1，x

2

=．

点评：解答此类题目的关键是先把方程组中的方程去括号、移项、合并同类项后用相应的方

法求解；能直接开平方的用直接开方法即可．

27．用直接开平方法解下列方程：

（1）（x+）

2=（1﹣）2

（2）（t﹣2）

2+（t+2）2=10

（3）（y﹣2）

2+（2y+1）2=25

（4）（ax+b）

2=c（a≠0，c≥0，且a，b，c是常数）

考点：解一元二次方程-直接开平方法。

专题：计算题。

分析：由于（1）、（4）左边为完全平方的形式，直接开平方即可；（2）、（3）先将左边化成

完全平方的形式，再开方运算．

解答：（1）解：（x+）

2=（1﹣）2

，

x+=（1﹣），

∴x

1

=﹣1，x

2

=1﹣2．

（2）解：（t﹣2）

2+（t+2）2=10

原方程可化为：

t2+4﹣4t+t2+4+4t=10，

t2=1，

∴t

1

=1，t

2

=﹣1．

（3）解：（y﹣2）

2+（2y+1）2=25

原方程可化为：

y2+4﹣4y+4y2+1+4y=25，

5y2=20，

y2=4，

∴y

1

=2，y

2

=﹣2．

（4）解：（ax+b）

2=c（a≠0，c≥0，且a，b，c是常数）

开方得：ax+b=，

移项得：ax=﹣b，

系数化为1得：x=，

即x

1

=，x

2

=．

点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x

2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且

a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，

右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

28．计算或解方程：

（1）x

2+8x=﹣16；

（2）（

2

﹣（﹣）（+）．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；实数的运算。

专题：计算题。

分析：（1）先移项再利用完全平方公式计算，然后开方即可；

（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．

解答：解：（1）移项得，x

2+8x+16=0

即（x+4）

2=0

∴x

1

=x

2

=﹣4．

（2）原式=6﹣12+18+1=25﹣12．

点评：这两道题主要考查了学生的完全平方公式和平方差公式及学生的开平方能力．

29．用适当方法解下列方程

（1）（2y﹣1）

2=

（2）x﹣=5x（﹣x）

（3）（x﹣3）

2+（x+4）2

﹣（x﹣5）

2=17x+24

（4）（2x+1）

2+3（2x+1）﹣4=0

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法；换元法解一元二次方

程。

专题：计算题。

分析：要根据方程的本题，灵活运用解方程的方法：（1）直接开平方法，移项后可以变形为

（2y﹣1）

2=，利用直接开平方法即可求解；

（2）移项把方程右边变成0，提取公因式，即可变形为左边是整式相乘，右边是0的形式，

根据两个式子的积是0，两个中至少有一个是0，转化为两个一元一次方程求解；

（3）去括号、移项、合并同类项，把方程化为一般形式，利用因式分解法即可；

（4）把2x+1当作一个整体，即可利用换元法求解．

解答：解：（1）方程原式两边同乘以2得（2y﹣1）

2=，

∴2y﹣1=，

y=；

（2）移项、提取公因式得（x﹣）（5x+1）=0，

解得x

1

=，x

2

=﹣；

（3）去括号、移项、合并同类项得（x+3）（x﹣8）=0，

解得x

1

=﹣3，x

2

=8；

（4）解方程（2x+1）

2+3（2x+1）﹣4=0可以用换元法和配方法，

设2x+1为y，得y

2+3y﹣4=0，

利用配方法得（y+）

2=4+，

y+=，

得y=1或﹣4，

设2x+1为y，

则x

1

=0，x

2

=﹣．

点评：（1）用直接开平方求解时，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，

它们互为相反数；

（2）用配方法解方程“方程的两边都加上一次项系数一半的平方”是配方法的关键，“二次项

系数化为1”是进行这一关键步骤的重要前提；

（3）将多项式分解成两个因式的积，每个因式分别等于零，将方程降为两个一元一次方程

为求解．

30．设方程x2+kx﹣2=0和方程2x2+7kx+3=0有一个根互为倒数，求k的值及两个方程的根．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；一元二次方程的解。

专题：分类讨论。

分析：先设出方程的一个根为a，则另一个方程的根就是它的倒数，然后代入计算求得a的

值，再求k的值，然后再分情况讨论两个方程的根．

解答：解：设a是方程x

2+kx﹣2=0的根，则是方程2x2+7kx+3=0的根，

∴①a2+ka﹣2=0，②+3=0，

由②，得3a

2+7ka+2=0，③

由①，得ka=2﹣a

2

，代入③，得

3a2+7（2﹣a2

）+2=0，

∴4a2=16，∴a=2．

代入①，得，或．

当时，方程①变为x

2

﹣x﹣2=0，根为2和﹣1，方程②变为2x

2

﹣7x+3=0，根为和

3；

当时，方程①变为x

2+x﹣2=0，根为﹣2和1，方程②变为2x2+7x+3=0，根为﹣

和﹣3．

点评：做这类题的关键是要先设出方程的一个根，根据题意得出另一方程的根，然后代入分

情况讨论根的情况．

31．解方程：

（1）（x﹣1）

2

﹣25=0（2）2（x+1）

2=x2

﹣1

（3）2x

2+6x+1=0（用配方法解）（4）（x+5）2

﹣2（x+5）﹣8=0．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解

法。

分析：（1）利用直接开平方法解方程；

（2）利用因式分解法解方程；

（3）配方法解方程；

（4）因式分解法解方程．

解答：解：（1）由原方程，移项，得

（x﹣1）

2=25，

开平方，得

x﹣1=5，

∴x=15，

∴x

1

=6x

2

=﹣4；

（2）由原方程，得

2x2+4x+2=x2

﹣1，即x

2+4x+3=0，

∴（x+1）（x+3）=0，

∴x+1=0或x+3=0，

解得，x

1

=﹣1，x

2

=﹣3；

（3）化二次项系数为1，得

x2+3x+=0，

移项，得

x2+3x=﹣，

等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得

x2+3x+=﹣，

∴（x+）2=，

∴x=﹣，

解得，x

1

=，x

2

=；

（4）由原方程，得

（x+5+2）（x+5﹣4）=0，即（x+7）（x+1）=0，

∴x+7=0，或x+1=0，

解得，x

1

=﹣1，x

2

=﹣7．

点评：本题考查了配方法、因式分解法、直接开平法解方程．对于解方程的方法的选择，应

该根据方程的特点选择不同的方法．

32．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．如

．

（1）计算：；

（2）如果=6，求x的值．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；二次根式的混合运算。

专题：新定义。

分析：（1）根据二阶行列式直接列出关系式解答即可；

（2）由二阶行列式直接列出关于x的方程，然后解方程即可．

解答：解：（1）根据题意得：

原式=﹣2，

=﹣2，

=4﹣2，

=；

（2）根据题意得：（x+1）

2

﹣（x﹣1）（1﹣x）=6，

∴（x2+2x+1）+（x2

﹣2x+1）=6，

2x2=4

∴．

点评：本题主要考查了二阶行列式的实际应用以及根据二阶行列式列出方程，再解方程．

33．解方程：

（1）x

2

﹣5=0（2）x

2+2=3（x+2）

（3）x

2+4x﹣1=0（4）（x﹣2）2

﹣3（x﹣2）=0．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解

法。

分析：（1）利用直接开平方法求出一元二次方程的根即可；

（2）运用因式分解法将原式分解因式，得出（x﹣4）（x+1）=0，即可得出答案，

（3）原因配方法得出（x+2）

2=5，进而得出方程的根；

（4）运用因式分解法将原式分解因式，得出（x﹣2）（x﹣5）=0，，即可得出答案，

解答：解：（1）x

2

﹣5=0，

x2=5，

x

1

=，x

2

=﹣；

（2）x

2+2=3（x+2），

x2

﹣3x﹣4=0，

（x﹣4）（x+1）=0，

x

1

=4，x

2

=﹣1；

（3）x

2+4x﹣1=0，

（x+2）

2=5，

x

1

=﹣2+，x

2

=﹣2﹣；

（4）（x﹣2）

2

﹣3（x﹣2）=0，

（x﹣2）（x﹣5）=0，

x

1

=2，x

2

=5；

点评：此题主要考查了配方法、因式分解法解一元二次方程，运用因式分解法时，根据已知

将原始分解为两式相乘等于0是解决问题的关键．

34．解方程（1）（2x﹣1）2

﹣16=0；（2）x

2

﹣2x+1=0（用配方法解）

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法。

分析：（1）将16转化为完全平方形式，然后通过移项、直接开平方解方程即可；

（2）利用配方法解方程．

解答：解：（1）由原方程，移项得

（2x﹣1）

2=42

，

直接开平方，得

2x﹣1=4，

解得，（4分）

（2）化二次项系数为1，得

x2

﹣6x+3=0，

移项，得

x2

﹣6x=﹣3，

等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得

x2

﹣6x+9=6，即（x﹣3）

2=6，

∴x﹣3=

解得，（4分）

点评：本题考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移

到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x

2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求

解．

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x

2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；

（x+a）

2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常

数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

35．解下列方程：

（1）用直接开平方法解方程：2x

2

﹣24=0

（2）用配方法解方程：x

2+4x+1=0

（3）解方程：．

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法。

分析：（1）先移项，然后直接开平方．

（2）此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；

③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

（3）根据求根公式x=先确定a，b，c的值，代入公式即可求解．

解答：解：（1）2x

2

﹣24=0，

移项得：2x

2=24，

x=2，

解得x

1=2

，x

2

=﹣2．

（2）∵x

2+4x+1=0，

∴x2+4x=﹣1，

∴x2+4x+4=﹣1+4，

∴（x+2）2=3，

∴x

1

=﹣2，x

2

=﹣﹣2；

（3）．

根据公式法得：

a=1，b=﹣，c=；

b2

﹣4ac=2﹣4=0；

x=；

点评：解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，

化成x

2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x

2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；

（x+a）

2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常

数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

36．解方程：①3x2=12x②2x2

﹣5x+1=0③（x﹣1）

2+4（x﹣1）+4=0

④x2

﹣（2a+1）x+2a=0（a为常数）

考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法。

分析：①、④利用因式分解法解方程；

②利用求根公式x=解方程；

③利用配方法解方程．

解答：解：①由原方程，得

x2

﹣4x=0，

∴x（x﹣4）=0，

∴x=0或x﹣4=0，

解得，x

1

=0，x

2

=4；

②∵方程2x2

﹣5x+1=0的二次项系数a=2，一次项系数b=﹣5，常数项c=1，

∴x==，

解得，x

1

=，x

2

=；

③由原方程，得

（x﹣1+2）

2=0，即（x+1），+=0，

解得，x

1

=x

2

=﹣1；

④由原方程，得

（x﹣1）（x﹣2a）=0，

∴x﹣1=0或x﹣2a=0，

解得，x

1

=1，x

2

=2a．

点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法．用直

接开方法求一元二次方程的解的类型有：x

2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b

（b≥0）；a（x+b）

2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系

数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

37．已知一元二次方程x2

﹣4x+1+m=5请你选取一个适当的m的值，使方程能用直接开平

方法求解，并解这个方程．

（1）你选的m的值是8；

（2）解这个方程．

考点：解一元二次方程-直接开平方法。

专题：计算题；开放型。

分析：先选择m的值，再利用直接开平方法解方程即可．答案不唯一

解答：解：令m=8，则x

2

﹣4x+1+8=5，

即x

2

﹣4x+4=0，

（x﹣2）

2=0，

开方得x﹣2=0，

即x=2．

点评：本题是一道开放性的题目，考查了用直接开平方法解一元二次方程．