上楼梯

1

上楼梯问题

楼梯每个人都走过，但是楼梯中也有数学问题，这你想过吗?例如家住在六楼，每层楼

梯有l6级，每次回家共要走多少级楼梯?叉如一个台阶共有5级，从下面走到最上面，每次只

能走1级或2级，共有多少种芡实的食用方法 不同的走法?这一讲向大家介绍这方面知识。

例1、小明家住在6楼，小华家住在4楼，每层楼之间楼梯的级数都相同。小华回家共要走48

级楼梯，问小明明回家要走多少级楼梯?

分析由于楼房中的一楼不必走楼梯，所以小华回家只要走4-1=3(层)楼梯。再根据小华

共走了48级楼梯;可知每一层楼梯级数为483=16(级)，小明家住在6楼，他只需要走

6-1=5(层)楼梯，所以小明回家要走16X5=80(级)楼梯。

例2、甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4层时，乙恰好跑到6层，如果两人跑楼梯的速度保持

不变，那么当甲跑到10层时，乙跑到了几层?

分析从条件可知道当甲跑了3层楼梯的时间;乙可跑5层楼梯，甲、乙两人跑楼梯的速度

之比为3:5，那么甲跑到10层楼时，甲跑了10-1=9(层)楼梯，乙可跑楼梯的层数为:

3

915

5

，所以这立春有什么讲究 时乙巳跑到了l5+l=l6(层)

随堂练习：

(1)有一高楼，每上一层需要2分钟，每下一层需要1分钟30秒。小张于12点开始不停留地从

底层往上走，到了最高层后立即往下次序的意思 走(中途没有停留)，13点零3分返回底层，这座高楼一

共有多少层?

(2)佳佳从一幢高楼的底层开始登楼，他从第一层到第15层用了7分钟，他又往上登了几层后，

感到很累就往下走，当他走到第5层时共用了30分钟，如果佳佳上下楼梯的速度相同，(楼梯

转弯走过道的时间忽略不计)问:佳佳走到第几层开始往下走的?

2

例3、有一幢28层的高楼，这幢楼的每两层之间有18级楼梯，张欣住在这幢楼内，他到自

己家要走全部楼梯的

7

9

，张欣住在几层楼？

分析这幢高楼共有楼梯18(28-l)=486(级)，张欣到自己的家要走486

7

9

=378(级)楼

梯。因为37818=21，因此可知张欣住在21+1=22(炎帝姓什么 层)楼

列综合算式解答:18(28-1)

7

9

﹣18+1=22(层)

例4、有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火材有多少种不同的取

法?

分析可以先把问题转化，将12根火柴看作l2级台阶，把规定每次取1～3根，看作每次

只能登上1～3级台阶，这样就把此间题转化成上楼梯问题。

由于登台阶每次只能跨一级、两级或三级，若要登上第n级台阶，只能分别从n-1级台

阶、n-2级台阶、n-3级台阶上去，因此登上第n级台阶的情况与登上第n-l级台阶、第n-2

级台阶和第n-3级台阶有关。

我们把登上第n级台阶的走法记为an，登上第n-1级台阶的走法记为叫an-1，登上第n-2

级台阶的走法记为叫an-2，登上第n-3级台阶的走法记为叫an-3，这样登上打级台阶的走法

有an=an-1+an-2+an-3。

由于登上第一级台阶只有1种走法，即a=l，登上第二级台阶有2种走法，即a2=2，登

上第三级台阶有4种走法，即a3=4。

所以登上台阶罗马帝国时代 方法数依次为:

1、2、4、7、13、24、44、81、149、274、504、927

这样取完12根火柴共有927种不同的取法

随堂练习

(1)哥哥沿着向上移动的自动扶梯向下走到底，共走了l00级，此时妹妹正沿着自动扶梯从底

向上走到顶，共走了50级。如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静

止时，自动扶梯能看到的部分有多少级?

(2)李英和黄明比赛走楼梯，李英走3级楼梯时，黄明能走5级，这幢楼每两层之间有20级楼

梯，那么当黄明走到6层楼时，李英走到几层楼?

3

例5、商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯

上，男孩每秒钟向上走2梯级，女孩每2秒钟向上走3梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用

50秒钟到达。问当该扶梯静止时，扶梯可看到的梯级共有多少级?

分析两个孩子从下走到上，他们各自走过的梯级加上自动扶梯在他们各自需要的时间

内上升的梯级数都等于扶梯的长度。

设每秒钟自动扶梯上升a级，那么扶梯的长度等于男孩在40秒钟走过的(40X2=)80级

加上自动扶梯上升的40a级，也等于女孩50秒钟走过的

5023（）

75级加上自动扶梯上

升的50a级，所以有下面等式:

402+40a=5023+50a.

解得

a=0.5

所以当扶梯静止时，扶梯可看见的梯级共有

402+40a=80+400.5=100(级)

例6、商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下

往上走，男孩由上往下走。结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩

单位时间内走的楼梯级数是女孩的2倍。问当该扶梯静止时，扶梯可看到的梯级共有多少级？

分析两个孩子走楼梯的方向不同，这样增加了解题的难度。但是从条件中可知，男孩

走楼梯的速度是女孩的2倍，男孩走了80级正好是女孩走了40级的2倍，这样两人走完此楼梯

的时间相同。

设两人在这相同的时间内自动扶梯上升a级，那么扶梯的长度等于男孩在这段时间走的

80级减去自动扶梯上升的a级，也等于女孩在这段相同的时间内走的40级加上自动扶梯上升

的a级。所以有下面等式:

80-a=40+a

解得

a=20

所以当扶梯静止时，扶梯可看见的梯级共有

40+a=40+20=60(级)

随堂练习

(1)某人沿着向上移动的自动扶梯从顶朝下走到底用了7分30秒，而他沿着自动扶梯从底朝

上走只用1分30秒，如果此人不走，那么乘扶梯从底到顶需要多少时间?如果停电，那

么此人沿着扶梯走到顶需要多少时间(假定此人上、下扶梯的行走游子吟诗 速度相同)？

4

课后练习：

1.小明回家每上一层要走l6级台阶，他走了48级台阶到家。小明家住在儿楼?

2.小张从1楼上到5楼要36秒，照这样计算，他从2楼上到7楼要用多少秒?

3.小明与小英同住一幢楼，小明住在十七楼，小英住在六楼，小明每天回家要走240级楼

梯，大楼内相邻两层之间楼梯的级数相等。小英回家要走多少级楼梯?

4.某人到十层大楼的第十层办事，不巧停电，电梯停开。如果从第一层走到第五层要68秒，

那么以同样的速度走到第十层，共用了多少时间？

5.王华到丽光大厦的最高一层楼去办事，需要10分钟时间，这幢大厦的电梯每上一层用3秒

钟，每下一层用2秒钟，王华是上午9:00到大厦底层，乘电梯上楼办事，办完事下楼后一看

手表是9:12，这幢大厦最高是儿层楼?

6.甲、乙两人比赛爬楼梯，甲的速度是乙的2倍，当甲跑到第9层时，乙跑到第几层基度山伯爵 ?

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7.佳佳从一幢高楼的底层开始登楼，她从第l层到第9层用了4分钟，她又往上登了几层后，

感到很累就往下走，当她走到第3层时共用了l0分钟。如果佳佳上下楼梯的速度相同，(楼梯

转弯走过道的时间忽略不计)间:佳佳又向上走了几层楼梯?

8.商场大门前有6级台阶，如果每步只能登上1级、2级或3级，那么从下面走到上面共有

多少种不同的走法?

9.王红正在走一幢13层楼高的楼梯，现在还没走完的楼梯级数比己经走完的多

2

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，现在她

在第几层?

10.自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩子同时从自动扶梯向上走，男孩的速

度是女孩子速度的2倍。已知男孩走了27级到达顶部，而女孩子走了18级到达顶部。问当

自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级?