2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系
夯实基础
1．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为()
A．5B．－1
C．2D．－5
【答案】B
【解析】设方程的另一个根为x
0
，则－2＋x
0
＝－3，即x
0
＝－1.
2．若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为()
A．－1B．1
C．－2或2D．－3或1
【答案】A
【解析】由x(x＋1)＋ax＝0，得
x2＋(1＋a)x＝0.
因为方程有两个相等的实数根，
所以判别式＝0.
所以a＝－1.
3．若，是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两个根，则
＋
的值是()
A.
4
27
B．－
4
27
C．－
58
27
D.
58
27
【答案】C
【解析】由题知＋＝－
2
3
，＝－3，
所以
＋
＝
（＋）2－2
＝－
58
27
.
4．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋
m
4
＝0有两个不相等的实数根x
1
，x
2
.若
1
x
1
＋
1
x
2
＝4m，则
m的值是()
A．2B．－1
C．2或－1D．不存在
【答案】A
【解析】由题知
m≠0，
＝（m＋2）2－4m
m
4
>0，
解得m>－1且m≠0.
因为x
1
＋x
2
＝
m＋2
m
，x
1
x
2
＝
1
4
，
所以
1
x
1
＋
1
x
2
＝
x
1
＋x
2
x
1
x
2
＝
m＋2
m
1
4
＝4m，
所以m＝2或－1.
因为m>－1，所以m＝2.
5．若a，b，c为△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程(c－b)x2＋22(b－a)x＋2(a－b)＝0有两个
相等的实数根，则这个三角形是()
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．不等边三角形
【答案】A
【解析】根据题意，得c－b≠0，
＝[22(b－a)]2－4(c－b)2(a－b)＝0，
(a－b)(乌鸦天赋 a－b－c＋b)＝0，
所以a－b＝0或a－c＝0，
所以a＝b或a＝c，
所以这个三角形为等腰三角形．
6．已知x
1
，x
2
是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x2
1
－x2
2
＝10，则a＝________.
【答案】
21
4
【解析】由题知x
1
＋x
2
＝5，x
1
x
2
＝a.
因为x2
1
－x2
2
＝(x
1
＋x
2
)(x
1
－x
2
)＝10，
所以x
1
－x
2
＝2，
所以(x
1
－x
2
)2＝(x
1
＋x
2
)2－4x
1
x
2
＝25－4a＝4，
所以a＝
21
4
.
7．设，是方程(x＋山猪肉怎么做好吃 1)(x－4)＝－5的两个实数根，则
3
＋
3
＝________.
【答案】47
【解析童话作文300字 】由题意，香港回归歌曲 得＋＝3，＝1，
所以2＋2＝(＋)2－2＝7，
4＋4＝(2＋2)2－222＝47，
所以
3
＋
3
＝
4＋4
＝47.
8．已知x
1
，x
2
是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则
1
2x
1
＋1
＋
1
2x
2
＋1
的值是________．
【答案】6
【解析】由题知x
1
＋x
2
＝2，x
1
x
2
＝－1，
x2
1
＝2x
1
＋1，x2
2
＝2x
2
＋1，
故原式＝
1
x2
1
＋
1
x2
2
＝
x2
1
＋x2
2
（x
1
x
2
）2
＝
（x
1
＋x
2
）2－2x
1
x
2
（x
1
x
2
）2
＝
22－2（－1）
（－1）2
＝6.
9．设x
1
，x
2
是方程2x2－6x＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
(1)x2
1
x
2
＋x
1
x2
2
；
(2)(x
1
－x
2
)2；
(3)
x
1
＋
1
x
2
x
2
＋
1
x
1
；
(4)
1
x2
1
＋
1
x2
2
.
【答案】见解析
【解析】
x
1
＋x
2
＝3
x
1
x
2
＝
3
2
，
(1)原式＝x
1
x
2
(x
1
＋x
2
)＝
3
2
3＝
9
2
；
(2)原式＝(x
1
＋x
2
)2－4x
1
x
2
＝9－4
3
2
＝3；
(3)原式＝x
1
x
2
＋
1
x
1
x
2
＋2＝
3
2
＋
2
3
＋2＝
25
6
；
(4)原式＝
（x
1
＋x
2
）2－2x
1
x
2
（x
1
x
2
）2
＝
9－3
9
4
＝
8
3
.
10．已知关于x的方程(k－1)x2＋(2k－3)x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根x
1
，x
2
.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使方程的两个实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）k<
13
12
且k≠1；（2）不存在
【解析】(1)
k－1≠0
＝（2k－3）2－4（k－1）（k＋1）>0
⇒
k≠1
k<
13
12
，
所以k<
13
12
且k≠1.
(2)若x
1
＋x
2
＝0，即－
2k－3
k－1
＝0，k＝
3
2
，
由(1)可知这样的k不存在．
能力提升
11．已知m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0，且mn≠1，则
mn＋n＋1
n
的值为________．
【答案】3
【解析】由题知n≠0，则1＋
2
n
－
1
n2
＝0，即
1
n2
－
2
n
－1＝0.
又m2－2m－1＝0，且mn≠1，即m≠
1
n
，
故m，
1
n
是方程酱肘子的家常做法 x金的四字成语 2－2x－1＝0的两个根，
则m＋
1
n
＝2.
故
mn＋n＋1
n
＝m＋1＋
1
n
＝2＋1＝3.
12．已知方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差为1，则k的值为________．
【答案】－3或9
【解析】设x
1
，x
2
为方程的两个根，则
x
1
＋x
2
＝
k＋1
2
x
1
x
2
＝
k＋3
2
，
|x
1
－x
2
|＝1，
k＋1
2
2
－2(k＋3)＝1，k＝9或k＝－3.
检验当k＝9或k＝－3时，＞0成立．
13．已知关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0.
(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程两根为x
1
，x
2
且满足
1
x
1
＋
1
x
2
＝－
1
2
，求m的值．
【答案】m＝－
1
2
【解析】(1)证明：＝(4m＋1)2－4(2m－1)＝16m2＋5>0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
(2)因为x
1
＋x
2
＝－(4m＋1)，x
1
x
2
＝2m－1，
1
x
1
＋
1
x
2
＝
x
1
＋x
2
x
1
x
2
＝－
1
2
，即
－（4m＋1）
2m－1
＝－
1
2
，所以m＝－
1
2
.
14．若x
1
，x
2
是关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2写事作文300字 －1＝0的两个实数根，且x
1
，x
2
都大于1.
(1)求实数k的取值范围；
(2)若
x
1
x
2
＝
1
2
，求k的值．
【答案】（1）k＞1＋2；（2）k＝4＋33或k＝4－33
【解析】(1)
≥0
x
1
＞1
x
2
＞1
⇒
[－（2k＋1）]2－4（k2－1）≥0
x
1
＋x
2
－2＞0
x
1
x
2
－（x
1
＋x
2
）＋1＞0
⇒
4k＋5≥0
2k＋1－2＞0
k2－1－（2k＋1）＋1＞0
⇒
k≥－
5
4
k＞
1
2
k＞1＋2或k＜1－2
，
所以k＞1＋2.
(2)
>0
x
1
＋x
2
＝2k＋1①
x
1
x
2
＝k2－1②
x
2
＝2x
1
③
由①③得
x
1
＝
2k＋1
3
x
2
＝
2
3
（2k＋1）
.
所以
2
9
(2k＋1)2＝k2－1，
k2－8k－11＝0，k＝4＋33或k＝4－33，满足>0.
学科素养
15．已知x
1
，x
2
是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数k，使(2x
1
－x
2
)(x
1
－2x
2
)＝
3
2
成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
(2)求使
x
1
x
2
＋
x
2
x
1
－2的值为整数的实数k的整数值中国的军校 ．
【答案】（1）k＝－
9
7
；（2）k＝－2或k＝－3或k＝－5
【解析】＝(－4k)2－44k(k＋1)＝－16k(k≠0)，≥0，k<0(因为k≠0)，
(1)存在，x
1
＋x
2
＝1，x
1
x
2
＝
k＋1
4k
，由(2x
1
－x
2
)(x
1
－2x
2
)＝
3
2
得：2(x
1
＋x
2
)2－9x
1
x
2
＝
3
2
.
2－9
k＋1
4k
＝
3
2
，所以k＝－
9
7
.
(2)
x2
1
＋x2
2
x
1
x
2
－2＝
（x
1
＋x
2
）2－2x
1
x
2
x
1
x
2
－2＝
1
k＋1
4k
－4＝
4k
k＋1
－4＝－
4
k＋1
.因为－
4
k＋1
的值为整数，
所以k＋1＝1，k＋1＝2，k＋1＝4，
所以k＝0或k＝－2或k＝1或k＝－3或k＝3或k＝－5，
因为k<0，所以k＝－2或k＝－3或k＝－5.
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