大连莲花山

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2022年辽宁省大连市中考数学试卷人像头

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项正确）

1．（3分）﹣2的绝对值是（）

A．2B．C．﹣D．﹣2

2．（3分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）

A．B．

C．D．

3．（3分）下列计算正确的是（）

A．＝2B．＝﹣3C．2+3＝5D．（+1）

2

＝3

4．（3分）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝70，则

∠EGF的度数是（）

A．35B．55C．70D．110

5．（3分）六边形内角和的度数是（）

A．180B．360C．540D．720

6．（3分）不等式4x＜3x+2的解集是（）

A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜2

7．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20双，各种尺码鞋的销售量如表所示．则

所销售的女鞋尺码的众数是（）

尺码/cm

22.52323.52424.5

2/31

销售量/双

14681

A．23.5cmB．23.6cmC．24cmD．24.5cm

8．（3分）若关于x的一元二次方程x

2

+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）

A．36B．9C．6D．﹣9

9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长

为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接

CD，若AB＝3，则CD的长是（）

A．6B．3C．1.5D．1

10．（3分）汽车油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行

驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤300时，y与x

的函数解析式是（）

A．y＝0.1xB．y＝﹣0.1x+30

C．y＝D．y＝﹣0.1x

2

+30x

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）方程＝1的解是．

12．（3分）不透明袋子中装有2个黑球、3个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子

中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是．

13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个

单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是．

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14．（3分）如图，正方形ABCD的边长是，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的

度数，点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是（结果保留）．

15．（3分）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，

盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100

钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为．

16．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再

一次折叠纸片，使点A的对应点A'落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，连接

MF，若MF⊥BM，AB＝6cm，则AD的长是cm．

三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）

17．（9分）计算：﹣．

18．（10分）为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教

育的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每

周劳动时间t（单位：h），并对数据进行整理、描述和分析．以下是根据调查结果绘制的

统计图表的一部分．

平均每周劳动时间频数统计表

4/31

平均每周劳动时电脑怎么修改密码 间t/h频数频率

1≤t＜2

3

2≤t＜3

a0.12

3≤t＜4

37b

4≤t＜5

0.35

5≤t＜6

合计

c

根据以上信息，回答下列问题：

（1）填空：a＝，b＝，c＝；

（2）若该校有1000名学生，请估计平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生人数．

19．（10分）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：

CE＝CF．

20．（10分）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知

购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具

和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？

四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）

21．（9分）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m

3

）变化时，气

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体的密度（单位：kg/m

3

）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图

象如图所示，当V＝5m

3

时，＝1.98kg/m

3

．

（1幼儿园小班班务计划 ）求密度关于体积V的函数解析式；

（2）若3≤V≤9，求二氧化碳密度的变化范围．

22．（10分）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，

索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白

塔底部B的仰角约为30，测得白塔顶部C的仰角约为37，索道车从A处运行到B

处所用时间约为5分钟．

（1）索道车从A处运行到B处的距离约为米；

（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）

（参考数据．sin37≈0.60，cos37≈0.80，tan37≈0.75，≈1.73）

23．（10分）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切

线，与DO的延长线相交于点E．

（1）如图1，求证∠B＝∠E；

（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．

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五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）

24．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，

AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，

与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．

（1）求AC的长；

（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．

25．（11分）综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：

如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC＝∠ACB．求证∠ACD＝∠ABC．

独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．

实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，

请你解答．

“如图2，延长CA至点E，使CE＝BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别

在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”

问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC＝90

时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小

组提出下面的问题，请你解答．

“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC＝90，AB＝4，AC＝2，求BH的长．”

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26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x

2

﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点

B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．

（1）求点B，点C的坐标；

（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，

OE＝OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S

1

，△BEF的面积为S

2

，S＝S

1

+S

2

，

当S取最大值时，求m的值；

（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与

BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不

存在，请说明理由．

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2022年辽宁省大连市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项正确）

1．（3分）﹣2的绝对值是（）

A．2B．C．﹣D．﹣2

【分析】根据绝对值是数轴上的点到原点的距离，可得答案．

【解答】解：﹣2的绝对值是2．

故选：A．

【点评】本题考查了绝对值，正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；

0的绝对值等于0．

2．（3分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）

A．B．

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C．D．

【分析】根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．

【解答】解：A．圆锥的主视图是等腰三角形，因此选项A不符合题意；

B．三棱柱的主视图是矩形，因此选项B不符合题意；

C．圆柱的主视图是矩形，因此选项C不符合题意；

D．球的主视图是圆，因此选项D符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握各种几何体的三视图的

形状是正确判断的前提．

3．（3分）下列计算正确的是（）

A．＝2B．＝﹣3C．2+3＝5D．（+1）

2

＝3

【分析】根据二次根式的加法，算术平方根，立方根，完全平方公式，进行计算逐一判

断即可解答．

【解答】解：A、＝﹣2，故A不符合题意；

B、＝3，故B不符合题意；

C、2+3＝5，故C符合题意；

D、（+1）

2

＝3+2，故D不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的加法，算术平方根，立方根，准

确熟练地进行计算是解题的关键．

4．（3分）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝70，则

∠EGF的度数是（）

10/31

A．35B．55C．70D．110

【分析】先根据角平分线的定义求出∠GFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．

【解答】解：∵FG平分∠EFD，∠EFD＝70，

∴∠GFD＝∠EFD＝70＝35，

∵AB∥CD，

∴∠EGF＝∠GFD＝35．

故选：A．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为；两直线平行，内错角相等．

5．（3分）六边形内角和的度数是（）

A．180B．360C．540D．720

【分析】根据多边形的内角和公式可得答案．

【解答】解：六边形的内角和的度数是（6﹣2）180＝720．

故选：D．

【点评】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．

6．（3分）不等式4x＜3x+2的解集是（）

A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜2

【分析】根据不等式的计算方法计算即可．

【解答】解：4x＜3x+2，

移项，得x＜2．

故选：D．

【点评】本题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法，细心计算即可．

7．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20双，各种尺码鞋的销售量如表所示．则

所销售的女鞋尺码的众数是（）

尺码/cm

22.52323.52424地锅鸡的做法 .5

销售量/双

14681

A．23.5cmB．23.6cmC．24cmD．24.5cm

【分析】根据众数的意义解答即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

【解答】解：∵众数是在一组数据中出现次数最多的数，24cm出现的次数最多，

∴众数是24cm．

11/31

故选：C．

【点评】本题考查众数，熟练掌握众数的求法是解题关键．

8．（3分）若关于x的一元二次方程x

2

+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）

A．36B．9C．6D．﹣9

【分析】根据根的判别式的意义得到＝6

2

﹣4c＝0，然后解一次方程即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x

2

+6x+c＝0有两个相等的实数根，

∴＝6

2

﹣4c＝0，

解得c＝9，

故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程ax

2

+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b

2

﹣4ac：当

＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方

程没有实数根．

9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长

为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接

CD，若AB＝3，则CD的长是（）

A．6B．3C．1.5D．1

【分析】根据题意可知：MN是线段AC的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点

D为AB的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD的长．

【解答】解：由已知可得，

MN是线段AC的垂直平分线，

设AC与MN的交点为E，

∵∠ACB＝90，MN垂直平分AC，

∴∠AED＝∠ACB＝90，AE＝CE，

∴ED∥CB，

12/31

∴△AED∽△ACB，

∴，

∴，

∴AD＝AB，

∴点D为AB的中点，

∵AB＝3，∠ACB＝90，

∴CD＝AB＝1.5，

故选：C．

【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判

定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

10．（3分）汽车油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行

驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤300时，y与x

的函数解析式是（）

A．y＝0.1xB．y＝﹣0.1x+30

C．y＝D．y＝﹣0.1x

2

+30x

【分析】直接利用油箱中的油量y＝总油量﹣耗油量，进而得出函数关系式，即可得出答

案．

【解答】解：由题意可得：y＝30﹣0.1x，（0≤x≤300）．

故选：B．

【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，正确得出函数关系式是解题

关键．

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

13/31

11．（3分）方程＝1的解是x＝5．

【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．

【解答】解：＝1，

2＝x﹣3，

解得：x＝5，

检验：当x＝5时，x﹣3≠0，

∴x＝5是原方程的根，

故答案为：x＝5．

【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．

12．（3分）不透明袋子中装有2个黑球、3个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子

中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是．

【分析】一共有5个球，2黑3白，黑球占总数的，因此可求出随机摸出1个球，“摸

出黑球”的概率．

【解答】解：袋子中装有2个黑球、3个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中

随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是＝，

故答案为：．

【点评】本题考查概率公式，理解概率的定义是正确解答的关键．

13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个

单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是（5，2）．

【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．

【解答】解：将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标

是（1+4，2），即（5，2），

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故答案为：（5，2）．

【点评】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：

横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．

14．（3分）如图，正方形ABCD的边长是，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的

度数，点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是（结果保留）．

【分析】先根据正方形的性质得到∠CAD＝45，AC＝AB＝＝2，然后利用

弧长公式计算的长度．

【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠CAD＝45，AC＝AB＝＝2，

∵对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，

∴的长度为＝．

故答案为：．

【点评】本题考查了弧长的计算：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也

考查了正方形的性质．

15．（3分）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，

盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100

钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为100x﹣90x＝

100．

【分析】先根据每人出90钱，恰好合适，用x表示出猪价，再根据“每人出100钱，则

会多出100钱”，即可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论．

【解答】解：∵每人出90钱，恰好合适，

∴猪价为90x钱，

根据题意，可列方程为100x﹣90x＝100．

故答案为：100x﹣90x＝100．

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【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一

次方程是解题的关键．

16．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再

一次折叠纸片，使点A的对应点A'落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，连接

MF，若MF⊥BM，AB＝6cm，则AD的长是5cm．

【分析】由矩形性质和折叠性质可得BE＝3，A′B＝AB＝6cm，∠A＝∠A′EB＝90，

∠ABM＝∠A′BM，可得∠BA′E＝30，从而可得∠A′BE＝60，可得∠ABM＝30，

从而可得AM＝2cm，∠DMF＝30，DF＝3cm，即可求解DM，进而求出AD的长．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，

∴∠A＝90，

由折叠性质可得：

BE＝DF＝3cm，A′B＝AB＝6cm，∠A′EB＝90，∠ABM＝∠A′BM，

在Rt△A′BE中，A′B＝2BE，

∴∠BA′E＝30，

∴∠A′BE＝60，

∴∠ABM＝30，∠AMB＝60，

∴AM＝tan30•AB＝＝2cm，

∵MF⊥BM，

∴∠BMF＝90，

∴∠DMF＝30，

∴∠DFM＝60，

在Rt△DMF中，MD＝tan60•DF＝cm，

∴AD＝AM+DM＝2cm．

故答案为：5．

【点评】本题考查折叠性质，长方形的性质，30角的直角三角形等知识点，解题的关

16/31

键是利用边之间的关系推出∠BA′E＝30．

三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）

17．（9分）计算：﹣．

【分析】先算除法，后算减法，即可解答．

【解答】解：﹣

＝•﹣

＝﹣

＝．

【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．

18．（10分）为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教

育的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每

周劳动时间t（单位：h），并对数据进行整理、描述和分析．以下是根据调查结果绘制的

统计图表的一部分．

平均每周劳动时间频数统计表

平均每周劳动时间t/h频数频率

1≤t＜2

3

2≤t＜3

a0.12

3≤t＜4

37b

4≤t＜5

0.35

5≤t＜6

合计

c

根据以上信息，回答下列问题：

（1）填空：a＝12，b＝0.37，c＝100；

（2）若该校有1000名学生，请估计平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生人数．

17/31

【分析】（1）由统计图可知，a＝12，根据频率＝可求出调查人数，进而求出相应

的频数或频率，确定a、b、c的值；

（2）求出平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生所占的百分比，即可求出相应的人

数．

【解答】解：（1）由频数分布直方图可知，a＝12，

调查人数为：120.12＝100（人），即c＝100，

b＝37100＝0.37，

故答案为：12，0.37，100；

（2）平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生所占的百分比为0.37+0.35＝0.72，

1000（0.37+0.35）＝720（人），

答：该校1000名学生中平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的大约有720人．

【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表，掌握频率＝是正确解答的前提．

19．（10分）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：

CE＝CF．

【分析】连接AC，由菱形的性质得∠EAC＝∠FAC，再由SAS证△ACE≌△ACF，即可

得出结论．

【解答】证明：如图，连接AC，

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∵四边形ABCD是菱形，

∴∠EAC＝∠FAC，

在△ACE和△ACF中，

，

∴△ACE≌△ACF（SAS）

∴CE＝CF．

【点评】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握菱形的性质，

证得△ACE≌△ACF是解题的关键．

20．（10分）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知

购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具

和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？

【分析】设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，由总价＝单

价数量，结合“购买1个冰墩墩和2个雪容融毛绒玩具需400元；购买3个冰墩墩和4

个雪容融毛绒玩具需1000元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解二元一次方程

组即可得出结果．

【解答】解：设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，

依题意得：，

解得：，

答：冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组

是解题的关键．

四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）

21．（9分）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m

3

）变化时，气

体的密度（单位：kg/m

3

）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图

19/31

象如图所示，当V＝5m

3

时，＝1.98kg/m

3

．

（1）求密度关于体积V的函数解析式；

（2）若3≤V≤9，求二氧化碳密度的变化范围少年说梁启超 ．

【分析】（1）设密度关于体积V的函数解析式为＝（k≠0），利用反比例函数图象

上点的坐标特征，即可求出k值，进而可得出密度关于体积V的函数解析式；

（2）由k＝9.9＞0，利用反比例函数的性质可得出当V＞0时随V的增大而减小，结

合V的取值范围，即可求出二氧化碳密度的变化范围．

【解答】解：（1）设密度关于体积V的函数解析式为＝（k≠0）．

∵当V＝5m

3

时，＝1.98kg/m

3

，

∴1.98＝，

∴k＝9.9，

∴密度关于体积V的函数解析式为＝（V＞0）．

（2）∵k＝9.9＞0，

∴当V＞0时，随V的增大而减小，

∴当3≤V≤9时，≤≤，

即二氧化碳密度的变化范围为1.1≤≤3.3．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关

键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出k值；（2）利用反比例函数的性

质及反比例函数图象上点的坐标特征，找出的变化范围．

22．（10分）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，

索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白

塔底部B的仰角约为30，测得白塔顶部C的仰角约为37，索道车从A处运行到B

处所用时间约为5分钟．

20/31

（1）索道车从A处运行到B处的距离约为300米；

（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）

（参考数据．sin37≈0.60，cos37≈0.80，tan37≈0.75，≈1.73）

【分析】（1）根据路程＝速度时间，进行计算即可解答；

（2）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△ACD中，

利用锐角三角函数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．

【解答】解：（1）由题意得：

5分钟＝300秒，

∴1300＝300（米），

∴索道车从A处运行到B处的距离约为300米，

故答案为：300；

（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30，

∴BD＝AB＝150（米），

AD＝BD＝150（米），

在Rt△ACD中，∠CAD＝37，

∴CD＝AD•tan37≈1500.75≈194.6（米），

∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣150≈45（米），

∴白塔BC的高度约为45米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定

义是解题的关键．

23．（10分）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切

线，与DO的延长线相交于点E．

（1）如图1，求证∠B＝∠E；

（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．

21/31

【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；

（2）利用勾股定理求出AE，再利用相似三角形的性质求BD，根据垂径定理和勾股定理

即可求出AD．

【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A

∴AB⊥AE，

∴∠A＝90，

∵OD⊥BC，

∴∠BDO＝∠A＝90，

∵∠BOD＝∠AOE，

∴∠B＝∠E．

（2）如图2，连接AC，

∵OA＝2，OE＝3，

∴根据勾股定理得AE＝，

∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠EOA电脑屏幕翻转 ，

∴△BOD∽△EOA，

∴＝，

∴＝，

22/31

∴BD＝，

∴CD＝BD＝，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠C＝90，

在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC＝，

在Rt△ACD中，根据勾股定理得AD＝

＝

＝．

【点评】本题考查相似三角形，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题，属于中考常考题型．

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）

24．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，

AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，

与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．

（1）求AC的长；

（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．

【分析】（1）根据勾股定理可求出BD，根据AD＝BD进而求出AC，

（2）分两种情况进行解答，即点P在点D的左侧或右侧，分别画出相应的图形，根据

相似三角形的判定和性质分别用含有x的代数式表示PD、PE、PQ，由三角形面积之间

的关系可得答案．

【解答】解：（1）在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝3，

∴BD＝＝5，

23/31

又∵AD＝BD，

∴AC＝AD+CD＝5+3＝8；

（2）当点P在点D的左侧时，即0＜x＜5，如图1，此时阴影部分的面积就是△PQD的

面积，

∵PQ⊥AC，BC⊥AC，

∴PQ∥BC，

∴△ABC∽△AQP，

∴＝＝＝2，

设AP＝x，则PQ＝x，PD＝AD﹣AP＝5﹣x，

∴S

阴影部分

＝S

△PQD

＝（5﹣x）x

＝﹣x

2

+x；

当点P在点D的右侧时，即5＜x＜8，如图2，

由（1）得，AP＝x，PQ＝x，则PD＝x﹣5，

∵PQ∥BC，

∴△DPE∽△DCB，

∴＝＝，

∴PE＝（x﹣5），

∴S

阴影部分

＝S

△PQD

﹣S

△DPE

＝（x﹣5）x﹣（x﹣5）（x﹣5）

＝﹣x

2

+x﹣；

答：S关于x的函数解析式为：当0＜x＜5时，S＝﹣x

2

+x；当5＜x＜8时，S＝﹣

x

2

+x﹣．

24/31

【点评】本题考查勾股定理，函数关系式以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角

形的判定和性质，求出相关三角形的边长是解决问题的关键．

25．（11分）综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：

如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC＝∠ACB．求证∠ACD＝∠ABC．

独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．

实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，

请你解答．

“如图2，延长CA至点E，使CE＝BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别

在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”

问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC＝90

时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小

组提出下面的问题，请你解答．

“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC＝90，AB＝4，AC＝2，求BH的长．”

25/31

【分析】（1）利用三角形的外角的性质证明即可；

（2）结论：BH＝EF．如图2中，在CB上取一点T，使得GH＝CT．证明△BGH≌△

DCT（SAS），推出BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，再证明△CEF≌△BDT（AAS），推出EF

＝DT，可得结论；

（3）如图3中，过点E作EM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，过点F作FQ

⊥BC于点Q．解直角三角形求出EF，可得结论．

【解答】（1）证明：如图1中，

∵∠ADC＝∠ACB，

∴∠B+∠DCB＝∠DCB+∠ACD，

∴∠ACD＝∠B；

（2）解：结论：BH＝EF．

理由：如图2中，在CB上取一点T，使得GH＝CT．

26/31

在△BGH和△DCT中，

，

∴△BGH≌△DCT（SAS），

∴BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，

∵∠CDT+∠FDT＝180，

∴∠GBH+∠FDT＝180，

∴∠BFD+∠BTD＝180，

∵∠CFE+∠BFD＝180，

∴∠CFE＝∠BTD，

在△CEF和△BDT中，

，

∴△CEF≌△BDT李茂电视剧 （AAS），

∴EF＝DT，

∴EF＝BH；

（3）解：如图3中，过点E作EM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，过点F作

FQ⊥BC于点Q．

27/31

∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，

∴△ACD∽△ABC，

∴＝，

∵AC＝2，AB＝4，

∴AD＝1，BD＝CE＝3，

∴AE＝1，BE＝＝＝，

∵∠CAB＝90，

∴BC＝＝＝2，

∵S

△CEB

＝•CE•BA＝•EM•CB．

∴EM＝，

∴CM＝＝＝，

∴BM＝BC﹣CM＝2﹣＝，

∵S

△BCD

+S△ADC

＝S

△ACB

，

∴2DN+12＝24，

∴DN＝，BN＝，CN＝CB﹣BN＝2﹣＝，

设BF＝k，

∵FQ∥EM，

∴＝＝，

∴＝＝，

28/31

∴BQ＝k，FQ＝k，

∵DN∥FQ，

∴＝，

∴＝，

∴CQ＝k，

∵BQ+CQ＝2，

∴k+k＝2，

∴k＝，

∴EF＝BE﹣BF＝﹣＝，

∴BH＝EF＝．

【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解决问题，属于

中考压轴题．

26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x

2

﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点

B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．

（1）求点B，点C的坐标；

（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，

OE＝OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S

1

，△BEF的面积为S

2

，S＝S

1

+S

2

，

当S取最大值时，求m的值；

（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与

BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不

存在，请说明理由．

29/31

【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点B，C的坐标；

（2）由点A，B，C的坐标可得出OA，OB，OC的长度，由预备的意思 点E的坐标及OE＝OF，可

得出OF，BE，CF的长，利用三角形的面积计算公式，即可找出S关于m的函数关系式，

再利用二次函数的性质，即可找出当S取最大值时m的值；

（3）存在，设点P的坐标为（n，n

2

﹣2n﹣3），连接BD，过点Q作QM⊥x轴于点M，

过点D作DN∥x轴，过点P作PN∥y轴交DN于点N，通过角的计算，可找出∠DPN

＝∠ACO，结合∠AOC＝∠DNP＝90，可得出△AOC∽△DNP，利用相似三角形的性

质可求出n的值，进而可得出点P的坐标．

【解答】解：（1）当y＝0时，x

2

﹣2x﹣3＝0，

解得：x

1

＝﹣1，x

2

＝3，

∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）；

当x＝0时，y＝0

2

﹣20﹣3＝﹣3，

∴点C的坐标为（0，﹣3）．

（2）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），

∴OA＝1，OB＝OC＝3．

∵点E的坐标为（m，0），OE＝OF，

∴OE＝OF＝m，BE＝CF＝3﹣m，

∴S＝S

1

+S

2

30/31

＝•CF•OA+•BE•OF

＝（3﹣m）1+（3﹣m）m

＝﹣m

2

+m+

＝﹣（m﹣1）

2

+2．

∵﹣＜0，

∴当m＝1时，S取得最大值，

即当S取最大值时，m的值为1．

（3）存在，设点P的坐标为（n，n

2

﹣2n﹣3）．

在图（2）中，连接BD，过点Q作QM⊥x轴于点M，过点D作DN∥x轴，过点P作

PN∥y轴交DN于点N．

∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90，

∴△BOC为等腰直角三角形，

∴∠OCB＝45，BC＝3．

∵抛物线的顶点为D，

∴点D的坐标为（1，﹣4），

∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），

∴BD＝＝2，CD＝＝，

∵BC

2

+CD

2

＝（3）

2

+（）

2

＝20＝BD

2

，

∴∠BCD＝90，

∴∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝45+90＝135．

∵QM∥OC，

∴∠CQM＝180﹣∠OCB＝180﹣45＝135．

∵∠PQC＝∠ACD，∠PQC＝∠PQM+∠CQM，∠ACD＝∠ACO+∠OCD，

∴∠PQM＝∠ACO．

又∵QM∥PN，

∴∠DPN＝∠PQM＝∠ACO．

又∵∠AOC＝∠DNP＝90，

∴△AOC∽△DNP，

31/31

∴＝，即＝，

解得：n

1

＝1（不合题意，舍去），n

2

＝4，

∴点P的坐标为（4，5）．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、

勾股定理的逆定理、两点间的距离公式以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）

利用二次函数图象上点的坐标特征，求出各点的坐标；（2）利用三角形的面积计算公式，

找出S关于m的函数关系式；（3）构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出点P的

横坐标．