河北满城

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（）

A

．6B

．5C

．4D

．3

2．二次函数

y=ax2+bx+c

（

a≠0

）的图象如图所示，下列说法：

①2a+b=0

，

②当﹣1≤x≤3

时，

y

＜

0

；

③3a+c=0

；

④若

（

x

1，

y

1）（

x

2、

y

2）在函数图象上，当

0

＜

x

1＜

x

2时，

y

1＜

y

2，其中正确的是（）

A

．①②④

B

．①③

C

．①②③

D

．①③④

3．为丰富学生课外活动，某校积极开展社团活动，开设的体育社团有：

A

：篮球，

B

：排球，

C

：足球，

D

：羽毛球，

E

：乒乓球．学生可根据自己的爱好选择一项，李老师对八年级同学选择体育社团情况进行调查统计，制成了两幅不

完整的统计图（如图），则以下结论不正确的是（）

A

．选科目

E

的有

5

人

B

．选科目

A

的扇形圆心角是

120°

C

．选科目

D

的人数占体育社团人数的

1

5

D

．据此估计全校

1000

名八年级同学，选择科目

B

的有

140

人

4．如图所示的几何体的俯视图是（）

A

．

B

．

C

．

D

．

5．去年某市

7

月

1

日到

7

日的每一天最高气温变化如折线图所示，则关于这组数据的描述正确的是

()

A

．最低温度是

32℃B

．众数是

35℃C

．中位数是

34℃D

．平均数是

33℃

6．如图，在

△ABC

中，

DE∥BC

交

AB

于

D

，交

AC

于

E

，错误的结论是（）．

A

．

ADAE

DBEC

B

．

ABAC

ADAE

C

．

ACEC

ABDB

D

．

ADDE

DBBC



7．有下列四种说法：

①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；

③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．

其中，错误的说法有（）

A

．

1

种

B

．

2

种

C

．

3

种

D

．

4

种

8．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）

A

．

x2+6x+9=0B

．

x2=xC

．

x2+3=2xD

．（

x

﹣

1

）2+1=0

9．如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第

1

个图案由

1

个黑子组成，第

2

个图案由

1

个黑子和

6

个白子组成，第

3

个图案由

13

个黑子和

6

个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第

8

个图案中共有（）和黑子．

A

．

37B

．

42C

．

73D

．

121

10．如图，在矩形

ABCD

中，

AB=2

，

AD=3

，点

E

是

BC

边上靠近点

B

的三等分点，动点

P

从点

A

出发，沿路径

A→D→C→E

运动，则

△APE

的面积

y

与点

P

经过的路径长

x

之间的函数关系用图象表示大致是（）

A

．

B

．

C

．

D

．

11．下列命题中假命题是（）

A

．正六边形的外角和等于

B

．位似图形必定相似

C

．样本方差越大，数据波动越小

D

．方程无实数根

12．若关于

x

的分式方程

21

22

xa

x







的解为非负数，则

a

的取值范围是（）

A

．

a≥1B

．

a

＞

1C

．

a≥1

且

a≠4D

．

a

＞

1

且

a≠4

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如图，在

△

ABC

中，∠

ACB

＝

90°

，点

D

是

CB

边上一点，过点

D

作

DE

⊥

AB

于点

E

，点

F

是

AD

的中点，连结

EF

、

FC

、

CE

．若

AD

＝

2

，∠

CFE

＝

90°

，则

CE

＝

_____

．

14．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差

s2：

甲乙丙丁

平均数（

cm

）

561560561560

方差

s2（

cm2）

3.53.515.516.5

根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择

_____

．

15．抛物线

y=2x2+4x

﹣

2

的顶点坐标是

_______________

．

16．分解因式：

2

a4﹣

4

a2+2

＝

_____

．

17．2的相反数是

______

，2的倒数是

______

．

18．计算（

a3）2÷

（

a2）3的结果等于

________

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，

AB

是⊙

O

的直径，点

C

为⊙

O

上一点，经过

C

作

CD⊥AB

于点

D

，

CF

是⊙

O

的切线，过点

A

作

AE⊥CF

于

E

，连接

AC

．

（

1

）求证：

AE=AD

．

（

2

）若

AE=3

，

CD=4

，求

AB

的长．

20．（6分）如图，在

▱ABCD

中，

AB=4

，

AD=5

，

tanA=

4

3

，点

P

从点

A

出发，沿折线

AB

﹣

BC

以每秒

1

个单位

长度的速度向中点

C

运动，过点

P

作

PQ⊥AB

，交折线

AD

﹣

DC

于点

Q

，将线段

PQ

绕点

P

顺时针旋转

90°

，得

到线段

PR

，连接

QR

．设

△PQR

与

▱ABCD

重叠部分图形的面积为

S

（平方单位），点

P

运动的时间为

t

（秒）．

（

1

）当点

R

与点

B

重合时，求

t

的值；

（

2

）当点

P

在

BC

边上运动时，求线段

PQ

的长（用含有

t

的代数式表示）；

（

3

）当点

R

落在

▱ABCD

的外部时，求

S

与

t

的函数关系式；

（

4

）直接写出点

P

运动过程中，

△PCD

是等腰三角形时所有的

t

值．

21．（6分）如图，

AB

是⊙

O

的直径，

CD

与⊙

O

相切于点

C

，与

AB

的延长线交于

D

．

（

1

）求证：

△ADC∽△CDB

；

（

2

）若

AC

＝

2

，

AB

＝

3

2

CD

，求⊙

O

半径．

22．（8分）菱形ABCD的边长为

5

，两条对角线AC、BD相交于O点，且AO，BO的长分别是关于

x

的方程

22(21)30xmxm的两根，求

m

的值．

23．（8分）在平面直角坐标系

xOy

中，已知两点

A

（

0

，

3

），

B

（

1

，

0

），现将线段

AB

绕点

B

按顺时针方向旋转

90°

得到线段

BC

，抛物线

y=ax2+bx+c

经过点

C

．

（

1

）如图

1

，若抛物线经过点

A

和

D

（﹣

2

，

0

）．

①求点C

的坐标及该抛物线解析式；

②在抛物线上是否存在点P

，使得∠

POB=∠BAO

，若存在，请求出所有满足条件的点

P

的坐标，若不存在，请说明

理由；

（

2

）如图

2

，若该抛物线

y=ax2+bx+c

（

a

＜

0

）经过点

E

（

2

，

1

），点

Q

在抛物线上，且满足∠

QOB=∠BAO

，若符合

条件的

Q

点恰好有

2

个，请直接写出

a

的取值范围．

24．（10分）为了贯彻

“

减负增效

”

精神，掌握九年级

600

名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级

的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图

1

，图

2

），请根据统

计图中的信息回答下列问题：

（

1

）本次调查的学生人数是人；

（

2

）图

2

中

α

是度，并将图

1

条形统计图补充完整；

（

3

）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于

1.5

小时有人；

（

4

）老师想从学习效果较好的

4

位同学（分别记为

A

、

B

、

C

、

D

，其中

A

为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，

用列表法或树状图的方法求出选中小亮

A

的概率．

25．（10分）如图，

AB∥CD

，∠

1

＝∠

2

，求证：

AM∥CN

26．（12分）某商场以每件

30

元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量

m(

件

)

与每件的销售价

x(

元

)

满足一次函数关系

m

＝

162

﹣

3x

．请写出商场卖这种商品每天的销售利润

y(

元

)

与每件销售价

x(

元

)

之间的函数关系式．商

场每天销售这种商品的销售利润能否达到

500

元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．

27．（12分）数学活动小组的小颖、小明和小华利用皮尺和自制的两个直角三角板测量学校旗杆

MN

的高度，如示意

图，

△ABC

和

△A′B′C′

是他们自制的直角三角板，且

△ABC≌△A′B′C′

，小颖和小明分别站在旗杆的左右两侧，小颖

将

△ABC

的直角边

AC

平行于地面，眼睛通过斜边

AB

观察，一边观察一边走动，使得

A

、

B

、

M

共线，此时，小华

测量小颖距离旗杆的距离

DN=19

米，小明将

△A′B′C′

的直角边

B′C′

平行于地面，眼睛通过斜边

B′A′

观察，一边观察

一边走动，使得

B′

、

A′

、

M

共线，此时，小华测量小明距离旗杆的距离

EN=5

米，经测量，小颖和小明的眼睛与地面

的距离

AD=1

米，

B′E=1.5

米，（他们的眼睛与直角三角板顶点

A

，

B′

的距离均忽略不计），且

AD

、

MN

、

B′E

均与地

面垂直，请你根据测量的数据，计算旗杆

MN

的高度

.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、

B

【解析】

主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．

【详解】

综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个

数最少是5个．

故选：

B

．

【点睛】

此题考查由三视图判断几何体，解题关键在于识别图形

2、

B

【解析】

∵函数图象的对称轴为：x=-

2

b

a

=

13

2



=1

，∴

b=

﹣

2a

，即

2a+b=0

，①正确；

由图象可知，当﹣

1

＜

x

＜

3

时，

y

＜

0

，②错误；

由图象可知，当

x=1

时，

y=0

，∴

a

﹣

b+c=0

，

∵b=

﹣

2a

，∴

3a+c=0

，③正确；

∵抛物线的对称轴为x=1

，开口方向向上，

∴若（x

1，

y

1）、（

x

2，

y

2）在函数图象上，当

1

＜

x

1＜

x

2时，

y

1＜

y

2；当

x

1＜

x

2＜

1

时，

y

1＞

y

2；

故④错误；

故选

B

．

点睛：本题主要考查二次函数的相关知识，解题的关键是：由抛物线的开口方向判断

a

与

0

的关系，由抛物线与

y

轴

的交点判断

c

与

0

的关系，然后根据对称轴及抛物线与

x

轴交点情况进行推理．

3、

B

【解析】

A

选项先求出调查的学生人数，再求选科目

E

的人数来判定，

B

选项先求出

A

科目人数，再利用

A科目人数

总人数

×360°

判定即可，

C

选项中由

D

的人数及总人数即可判定，

D

选项利用总人数乘以样本中

B

人数所占比例即可判定．

【详解】

解：调查的学生人数为：

12÷24%=50

（人），选科目

E

的人数为：

50×10%=5

（人），故

A

选项正确，

选科目

A

的人数为

50

﹣（

7+12+10+5

）

=16

人，选科目

A

的扇形圆心角是

16

50

×360°=115.2°

，故

B

选项错误，

选科目

D

的人数为

10

，总人数为

50

人，所以选科目

D

的人数占体育社团人数的

1

5

，故

C

选项正确，

估计全校

1000

名八年级同学，选择科目

B

的有

1000×

7

5

=140

人，故

D

选项正确；

故选

B

．

【点睛】

本题主要考查了条形统计图及扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中找到准确信息．

4、

B

【解析】

根据俯视图是从上往下看得到的图形解答即可

.

【详解】

从上往下看得到的图形是：

故选

B.

【点睛】

本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形

.

从正面看到的图是正视图，从上面看到的

图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线

5、

D

【解析】

分析：将数据从小到大排列，由中位数及众数、平均数的定义，可得出答案．

详解：由折线统计图知这

7

天的气温从低到高排列为：

31

、

32

、

33

、

33

、

33

、

34

、

35

，所以最低气温为

31℃，

众数为

33℃，中位数为33℃，平均数是

31323333435

7



=33℃．

故选

D

．

点睛：本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是由折线统计图得到最高气温的

7

个数据．

6、

D

【解析】

根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质进行分析可得出结论

.

【详解】

由

DE∥BC

，可得

△ADE∽△ABC

，并可得：

ADAE

DBEC



，

ABAC

ADAE



，

ACEC

ABDB



，故

A

，

B

，

C

正确；

D

错误；

故选

D

．

【点睛】

考点：

1.

平行线分线段成比例；

2.

相似三角形的判定与性质．

7、

B

【解析】

根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．

【详解】

解：圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；

直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；

弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；

④半圆是弧，

但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但

比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．

其中错误说法的是①③两个．

故选

B

．

【点睛】

本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混淆．

8、

B

【解析】

分析：根据一元二次方程根的判别式判断即可．

详解：

A

、

x2+6x+9=0.

△=62-4×9=36-36=0

，

方程有两个相等实数根；

B

、

x2=x.

x2-x=0.

△=

（

-1

）2-4×1×0=1

＞

0.

方程有两个不相等实数根；

C

、

x2+3=2x.

x2-2x+3=0.

△=

（

-2

）2-4×1×3=-8

＜

0

，

方程无实根；

D

、（

x-1

）2+1=0.

（

x-1

）2=-1

，

则方程无实根；

故选

B

．

点睛：本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程

ax2+bx+c=0

（

a≠0

）的根与

△=b2-4ac

有如下关系：①当

△

＞

0

时，方程有两个不相等的实数根；②当

△=0

时，方程有两个相等的实数根；③当

△

＜

0

时，方程无实数根．

9、

C

【解析】

解：第

1

、

2

图案中黑子有

1

个，第

3

、

4

图案中黑子有

1+2×6=13

个，第

5

、

6

图案中黑子有

1+2×6+4×6=37

个，第

7

、

8

图案中黑子有

1+2×6+4×6+6×6=73

个．故选

C

．

点睛：本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后

推广到一般情况．

10、

B

【解析】

由题意可知，

当03x时，

11

2

22

yAPABxx；

当35x时，

ABEADPEPC

ABCD

ySSSS





矩形

111

23123325

222

xx

19

22

x；

当57x时，

11

277

22

yABEPxx.∵3x时，

3y

；5x时，

2y

.∴结合函数解析式，

可知选项

B

正确

.

【点睛】

考点：

1

．动点问题的函数图象

;2

．三角形的面积．

11、

C

【解析】

试题解析：

A

、正六边形的外角和等于

360°

，是真命题；

B

、位似图形必定相似，是真命题；

C

、样本方差越大，数据波动越小，是假命题；

D

、方程

x2+x+1=0

无实数根，是真命题；

故选：

C

．

考点：命题与定理．

12、

C

【解析】

试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为

1

求出

a

的

范围即可．

解：去分母得：

2

（

2

x

﹣

a

）

=

x

﹣

2

，

解得：

x

=

22

3

a

，

由题意得：

22

3

a

≥1

且

22

3

a

≠2

，

解得：

a

≥1

且

a

≠4

，

故选

C

．

点睛：此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为

1

．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、2

【解析】

根据直角三角形的中点性质结合勾股定理解答即可

.

【详解】

解：ACB90＝，点

F

是

AD

的中点，

1

1

2

90

1

1

2

CFAD

DEAB

AED

EFAD











2222

90

112

CFEF

CFE

CECFEF









.

故答案为：2.

【点睛】

此题重点考查学生对勾股定理的理解。熟练掌握勾股定理是解题的关键

.

14、甲

【解析】

首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．

【详解】

∵==xxxx

甲乙丁

丙

＞，

∴从甲和丙中选择一人参加比赛，

∵22SS

甲

丙

＜，

∴选择甲参赛，

故答案为甲．

【点睛】

此题考查了平均数和方差，关键是根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

15、（﹣

1

，﹣

1

）

【解析】

利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标．

【详解】

x=-

4

22

=-1

，

把

x=-1

代入得：

y=2-1-2=-1

．

则顶点的坐标是（

-1

，

-1

）．

故答案是：（

-1

，

-1

）．

【点睛】

本题考查了二次函数的顶点坐标的求解方法，可以利用配方法求解，也可以利用公式法求解．

16、

1

（

a

+1

）1（

a

﹣

1

）1．

【解析】

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【详解】

解：原式＝

1

（

a4﹣

1

a1+1

）＝

1

（

a1﹣

1

）1＝

1

（

a

+1

）1（

a

﹣

1

）1，

故答案为：

1

（

a

+1

）1（

a

﹣

1

）1

【点睛】

本题主要考查提取公因式与公式法的综合运用，关键要掌握提取公因式之后，根据多项式的项数来选择方法继续因式

分解，如果多项式是两项，则考虑用平方差公式；如果是三项，则考虑用完全平方公式．

17、

2

，

1

2



【解析】

试题分析：根据相反数和倒数的定义分别进行求解，﹣

2

的相反数是

2

，

﹣

2

的倒数是

1

2

.

考点：倒数；相反数．

18、

1

【解析】

根据幂的乘方

,

底数不变

,

指数相乘

;

同底数幂的除法

,

底数不变

,

指数相减进行计算即可

.

【详解】

解：原式

=6601aaa

【点睛】

本题主要考查幂的乘方和同底数幂的除法

,

熟记法则是解决本题的关键

,

在计算中不要与其他法则相混淆

.

幂的乘方

,

底数不变

,

指数相乘

;

同底数幂的除法

,

底数不变

,

指数相减

.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（

1

）证明见解析（

2

）

25

3

【解析】

（

1

）连接

OC

，根据垂直定义和切线性质定理证出

△CAE≌△CAD

（

AAS

），得

AE=AD

；（

2

）连接

CB

，由（

1

）得

AD=AE=3

，根据勾股定理得：

AC=5

，由

cos∠EAC=

，

cos∠CAB==

，∠

EAC=∠CAB

，得

=.

【详解】

（

1

）证明：连接

OC

，如图所示，

∵CD⊥AB

，

AE⊥CF

，

∴∠AEC=∠ADC=90°

，

∵CF

是圆

O

的切线，

∴CO⊥CF

，即∠

ECO=90°

，

∴AE∥OC

，

∴∠EAC=∠ACO

，

∵OA=OC

，

∴∠CAO=∠ACO

，

∴∠EAC=∠CAO

，

在

△CAE

和

△CAD

中，

，

∴△CAE≌△CAD

（

AAS

），

∴AE=AD

；

（

2

）解：连接

CB

，如图所示，

∵△CAE≌△CAD

，

AE=3

，

∴AD=AE=3

，

∴在Rt△ACD

中，

AD=3

，

CD=4

，

根据勾股定理得：

AC=5

，

在

Rt△AEC

中，

cos∠EAC==

，

∵AB

为直径，

∴∠ACB=90°

，

∴cos∠CAB==

，

∵∠EAC=∠CAB

，

∴=

，即

AB=

．

【点睛】

本题考核知识点：切线性质，锐角三角函数的应用

.

解题关键点：由全等三角形性质得到线段相等，根据直角三角形

性质得到相应等式

.

20、（

1

）

12

7

；（

2

）

4

5

（

9

﹣

t

）；（

3

）①S=

﹣

2

3

t2+

16

3

t

﹣

32

7

；②S=

﹣

2

7

t2+1

．③

S=

24

175

（

9

﹣

t

）2;（

3

）3

或

21

5

或

4

或

17

3

．

【解析】

（

1

）根据题意点

R

与点

B

重合时

t+

4

3

t=3

，即可求出

t

的值；

（

2

）根据题意运用

t

表示出

PQ

即可；

（

3

）当点

R

落在

□

ABCD

的外部时可得出

t

的取值范围，再根据等量关系列出函数关系式；

（

3

）根据等腰三角形的性质即可得出结论

.

【详解】

解：（

1

）∵将线段

PQ

绕点

P

顺时针旋转

90°

，得到线段

PR

，

∴PQ=PR

，∠

QPR=90°

，

∴△QPR

为等腰直角三角形．

当运动时间为

t

秒时，

AP=t

，

PQ=PQ=AP•tanA=

4

3

t

．

∵点R

与点

B

重合，

∴AP+PR=t+

4

3

t=AB=3

，

解得：

t=

12

7

．

（

2

）当点

P

在

BC

边上时，

3≤t≤9

，

CP=9

﹣

t

，

∵tanA=

4

3

，

∴tanC=

4

3

，

sinC=

4

5

，

∴PQ=CP•sinC=

4

5

（

9

﹣

t

）．

（

3

）①如图

1

中，当

12

7

＜

t≤3

时，重叠部分是四边形

PQKB

．作

KM⊥AR

于

M

．

∵△KBR∽△QAR

，

∴

KM

QP

=

BR

AR

，

∴

KM

4

t

3

=

7

4

3

7

3

t

t



，

∴KM=

4

7

（

7

3

t

﹣

3

）

=

4

3

t

﹣

16

7

，

∴S=S

△PQR﹣

S

△KBR

=

1

2

×

（

4

3

t

）2﹣

1

2

×

（

7

3

t

﹣

3

）（

4

3

t

﹣

16

7

）

=

﹣

2

3

t2+

16

3

t

﹣

32

7

．

②如图2

中，当

3

＜

t≤3

时，重叠部分是四边形

PQKB

．

S=S

△PQR﹣

S

△KBR

=

1

2

×3×3

﹣

1

2

×t×

4

7

t=

﹣

2

7

t2+1

．

③如图3

中，当

3

＜

t

＜

9

时，重叠部分是

△PQK

．

S=

4

7

•S

△PQC

=

4

7

×

1

2

×

3

5

（

9

﹣

t

）

•

4

5

（

9

﹣

t

）

=

24

175

（

9

﹣

t

）2．

（

3

）如图

3

中，

①当DC=DP

1

=3

时，易知

AP

1

=3

，

t=3

．

②当DC=DP

2时，

CP

2

=2•CD•

324

=

55

，

∴BP

2

=

1

5

，

∴t=3+

121

=

55

．

③当CD=CP

3时，

t=4

．

④当CP

3

=DP

3时，

CP

3

=2÷

310

=

53

，

∴t=9

﹣

10

3

=

17

3

．

综上所述，满足条件的

t

的值为

3

或

21

5

或

4

或

17

3

．

【点睛】

本题考查四边形综合题、动点问题、平行四边形的性质、多边形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

21、（

1

）见解析；（

2

）

5

2

【解析】

分析

:

（

1

）首先连接

CO

，根据

CD

与⊙

O

相切于点

C

，可得：

∠OCD=90°

；然后根据

AB

是圆

O

的直径，可得：

∠ACB=90°

，

据此判断出∠

CAD=∠BCD

，即可推得

△ADC∽△CDB

．

（

2

）首先设

CD

为

x

，则

AB=32x

，

OC=OB=34x

，用

x

表示出

OD

、

BD

；然后根据

△ADC∽△CDB

，可得：

ACCB

=

CDBD

，

据此求出

CB

的值是多少，即可求出⊙

O

半径是多少．

详解

:

（

1

）证明：如图，连接

CO

，

，

∵CD

与⊙

O

相切于点

C

，

∴∠OCD=90°

，

∵AB

是圆

O

的直径，

∴∠ACB=90°

，

∴∠ACO=∠BCD

，

∵∠ACO=∠CAD

，

∴∠CAD=∠BCD

，

在

△ADC

和

△CDB

中，

CADBCD

ADCCDB











∴△ADC∽△CDB

．

（

2

）解：设

CD

为

x

，

则

AB=

3

2

x

，

OC=OB=

3

4

x

，

∵∠OCD=90°

，

∴OD=22OCCD=22

3

()

4

xx=

5

4

x

，

∴BD=OD

﹣

OB=

5

4

x

﹣

3

4

x=

1

2

x

，

由（

1

）知，

△ADC∽△CDB

，

∴

AC

CB

=

CD

BD

，

即

2

1

2

x

CB

x



，

解得

CB=1

，

∴AB=22ACBC=5，

∴⊙O

半径是

5

2

．

点睛

:

此题主要考查了切线的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．

22、3m．

【解析】

由题意可知：菱形

ABCD

的边长是

5

，则

AO2+

BO2=25

，则再根据根与系数的关系可得：

AO

+

BO

=−(2

m

−1)

，

AO

∙

BO

=

m2+3

；

代入

AO2+

BO2中，得到关于

m

的方程后，即可求得

m

的值．

【详解】

解：∵AO，BO的长分别是关于

x

的方程22(21)30xmxm的两根，

设方程的两根为

1

x

和

2

x

，可令

1

OAx

，

2

OBx，

∵四边形ABCD是菱形，

∴ACBD，

在RtAOB中：由勾股定理得：222OAOBAB，

∴2

2

2

1

25xx

，则2

1212

225xxxx，

由根与系数的关系得：

12

(21)xxm

，2

12

3xxm

，

∴2

2(21)2325mm，

整理得：22150mm，

解得：

1

5m

，

2

3m

又∵，

∴22(21)430mm

，解得

11

4

m

，

∴3m．

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及

代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

23、（

1

）①

y=

﹣

1

3

x2+

5

6

x+3

；②

P

（

3317

4



，

117

4



）或

P'

（

7193

4



，﹣

7193

12



）；（

2

）

1

8

≤a<1

；

【解析】

（

1

）

①先判断出△AOB≌△GBC

，得出点

C

坐标，进而用待定系数法即可得出结论；

②分两种情况，

利用平行线（对

称）和直线和抛物线的交点坐标的求法，即可得出结论；（

2

）同（

1

）②的方法，借助图象即可得出结论．

【详解】

（

1

）①如图

2

，∵

A

（

1

，

3

），

B

（

1

，

1

），

∴OA=3

，

OB=1

，

由旋转知，∠

ABC=91°

，

AB=CB

，

∴∠ABO+∠CBE=91°

，

过点

C

作

CG⊥OB

于

G

，

∴∠CBG+∠BCG=91°

，

∴∠ABO=∠BCG

，

∴△AOB≌△GBC

，

∴CG=OB=1

，

BG=OA=3

，

∴OG=OB+BG=4

∴C

（

4

，

1

），

抛物线经过点

A

（

1

，

3

），和

D

（﹣

2

，

1

），

∴

1641

{420

3

abc

abc

c







，

∴

1

3

5

{

6

3

a

b

c







，

∴抛物线解析式为y=

﹣

1

3

x2+

5

6

x+3

；

②由①知，△AOB≌△EBC

，

∴∠BAO=∠CBF

，

∵∠POB=∠BAO

，

∴∠POB=∠CBF

，

如图

1

，

OP∥BC

，

∵B

（

1

，

1

），

C

（

4

，

1

），

∴直线BC

的解析式为

y=

1

3

x

﹣

1

3

，

∴直线OP

的解析式为

y=

1

3

x

，

∵抛物线解析式为y=

﹣

1

3

x2+

5

6

x+3

；

联立解得，

3317

4

{

117

4

x

y









或

3317

4

{

117

4

x

y









（舍）

∴P

（

3317

4



，

117

4



）；

在直线

OP

上取一点

M

（

3

，

1

），

∴点M

的对称点

M'

（

3

，﹣

1

），

∴直线OP'

的解析式为

y=

﹣

1

3

x

，

∵抛物线解析式为y=

﹣

1

3

x2+

5

6

x+3

；

联立解得，

7+193

4

{

7+193

12

x

y





或

7193

4

{

7193

12

x

y









（舍），

∴P'

（

7193

4



，﹣

7193

12



）；

（

2

）同（

1

）②的方法，如图

3

，

∵抛物线y=ax2+bx+c

经过点

C

（

4

，

1

），

E

（

2

，

1

），∴

1641

{

421

abc

abc





，

∴

6

{

81

ba

ca





，

∴抛物线y=ax2﹣

6ax+8a+1

，

令

y=1

，

∴ax2﹣

6ax+8a+1=1

，

∴x

1

×x

2

=

81a

a



∵符合条件的Q

点恰好有

2

个，

∴方程ax2﹣

6ax+8a+1=1

有一个正根和一个负根或一个正根和

1

，

∴x

1

×x

2

=

81a

a



≤1

，

∵a

＜

1

，

∴8a+1≥1

，

∴a≥

﹣

1

8

，

即：﹣

1

8

≤a

＜

1

．

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，对称的性质，解题的关键是

求出直线和抛物线的交点坐标

.

24、（

1

）

40

；（

2

）

54

，补图见解析；（

3

）

330

；（

4

）

1

2

.

【解析】

（

1

）根据由自主学习的时间是

1

小时的人数占

30%

，可求得本次调查的学生人数；

（

2

）

6

36054

40



，由自主学习的时间是

0.5

小时的人数为

40×35%=14

；

（

3

）求出这

40

名学生自主学习时间不少于

1.5

小时的百分比乘以

600

即可；

（

4

）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小亮

A

的情况，再利用概率公式求解即可求

得答案．

【详解】

（

1

）∵自主学习的时间是

1

小时的有

12

人，占

30%

，

∴12÷30%=40

，

故答案为

40

；

（

2

）

6

36054

40



，故答案为

54

；

自主学习的时间是

0.5

小时的人数为

40×35%=14

；

补充图形如图：

（

3

）

600×

148

40



=330

；

故答案为

330

；

（

4

）画树状图得：

∵共有12

种等可能的结果，选中小亮

A

的有

6

种可能，

∴P

（

A

）

=

61

122



．

25、详见解析

.

【解析】

只要证明∠

EAM=∠ECN

，根据同位角相等两直线平行即可证明

.

【详解】

证明：∵

AB∥CD

，

∴∠EAB=∠ECD

，

∵∠1=∠2

，

∴∠EAM=∠ECN

，

∴AM∥CN

．

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定，属于中考基础题．

26、（

1

）

y=

﹣

3x2+252x

﹣

1

（

2≤x≤54

）；（

2

）商场每天销售这种商品的销售利润不能达到

500

元．

【解析】

（

1

）此题可以按等量关系

“

每天的销售利润

=

（销售价﹣进价）

×

每天的销售量

”

列出函数关系式，并由售价大于进价，

且销售量大于零求得自变量的取值范围．

（

2

）根据（

1

）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．

【详解】

（

1

）由题意得：每件商品的销售利润为（

x

﹣

2

）元，那么

m

件的销售利润为

y

=

m

（

x

﹣

2

）．

又∵

m

=162

﹣

3

x

，∴

y

=

（

x

﹣

2

）（

162

﹣

3

x

），即

y

=

﹣

3

x2+252

x

﹣

1

．

∵

x

﹣

2≥0

，∴

x

≥2

．

又∵

m

≥0

，∴

162

﹣

3

x

≥0

，即

x

≤54

，∴

2≤

x

≤54

，∴所求关系式为

y

=

﹣

3

x2+252

x

﹣

1

（

2≤

x

≤54

）．

（

2

）由（

1

）得

y

=

﹣

3

x2+252

x

﹣

1=

﹣

3

（

x

﹣

42

）2+432

，所以可得售价定为

42

元时获得的利润最大，最大销售利润是

432

元．

∵500

＞

432

，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到

500

元．

【点睛】

本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：

“

每天的销售利润

=

（销售价﹣进价）

×

每天的销售量

”

列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．

27、

11

米

【解析】

过点

C

作

CE⊥MN

于

E

，过点

C′

作

C′F⊥MN

于

F

，则

EF

＝

B′E−AD

＝

1.5−1

＝

0.5

（

m

），

AE

＝

DN

＝

19

，

B′F

＝

EN

＝

5

，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【详解】

解：过点

C

作

CE⊥MN

于

E

，过点

C′

作

C′F⊥MN

于

F

，

则

EF

＝

B′E−AD

＝

1.5−1

＝

0.5

（

m

），

AE

＝

DN

＝

19

，

B′F

＝

EN

＝

5

，

∵△ABC≌△A′B′C′

，

∴∠MAE

＝∠

B′MF

，

∵∠AEM

＝∠

B′FM

＝

90°

，

∴△AMF∽△MB′F

，

∴

，

∴

∴MF

＝，

∵

∴

答：旗杆

MN

的高度约为

11

米．

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．