分类讨论思想

龙源期刊网

分类讨论思想的常见类型

作者：惠国仓

来源：《新课程·教师》2010年第08期

分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法。其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解

(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。对问题

实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分

解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度。

一、由数学概念引起的分类讨论

有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。

例如:设00且a≠1,比较loga(1-x)与loga(1+x)的大小。

解析:先利用0

二、由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论

有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n

项和公式、函数的单调性等。

例如:设等比数列{an｝的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…)。

1.求q的取值范围;

解析:1.根据条件列出关于q的不等式,注意分类讨论。2.能否判断{bn｝为特殊数列进而求

和作差、作商比较大小。

三、由数学运算要求引起的分类讨论

如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数运算中底数的要求,指数运算中底数的要求,

不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等。

例如:若a>0且a≠1,p=loga(a2+a+1),q=loga(a2+a+1),则p、q的大小关系是(A)p=q;(B)pq;(D)

当a>1时,p>q;当0

四、由图形的不确定性引起的分类讨论

龙源期刊网

有的图形类型、位置需要分类:如角的终边所在的象限;点、线、面的位置关系等。

例如:如图所示,矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1,问BC边上是否存

在点Q,使得PQ⊥QD并说明理由。

五、由参数的变化引起的分类讨论

某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,

或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。

例如:已知m∈R,求函数f(x)=(4-3m)x2-2x+m在区间[0,1]上的最大值。

解析:当4-3m=0时f(x)是一次函数,4-3m≠0时f(x)是二次函数,由于二次函数开口向上和向

下求最大值的方法不同,所以对m可先分成两种情况去讨论。

六、由实际意义引起的讨论

此类问题在应用题中,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用。

例如:四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有种。

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,分各种不同的情况予以分析解决。分类讨

论题覆盖知识点较多,利于考查学生的知识面、分类思想和技巧;同时方式多样,具有较高的逻辑

性及很强的综合性,树立分类讨论思想,应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到确定

对象的全体,明确分类的标准,分层别类不重复、不遗漏的分析讨论。