沈括简介

沈括是沈括垛积术在我国古代主要用于天文历法。垛

积术也就是高阶等差级

垛积术。垛积术在我国古代主要用于天文历法。

垛积术也就是高阶等差级数求和。

中文名,垛积术。相关人物,沈括。杨辉。出处,《梦溪笔谈》。别称,

隙积术。学科,数学。出现朝代,北宋。

简介。对于一般等差数列和等比数列。我国古代很早就有了初步

的研究成果。

北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创“隙积术”。开始研究某

种物品按一定规律堆积起来求其总数问题。即高阶等差级数求和问题。

并推算出长方台垛公式。南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算

法通变本末》中。丰富和发展了沈括的隙积术成果。提出了一些新的

垛积公式。沈括。杨辉等所讨论的级数与一般等差级数不同。前后两

项之差并不相等。但是逐项差数之差或者高次差相等。

对这类高阶等差级数的研究。在杨辉之后一般称为“垛积术”。

发展。朱世杰对于垛积术作了进一步的研究。

并得到一系列重要的高阶等差级数求和公式。这是元代数学的又

一项突出成就。例如。朱世杰在《四元玉鉴》中提出了著名的三角垛

公式：112*****2prrrrprnpnnnnp!!+++-=.=++++LL其中

p=1。2。3。4.。在这一串三角垛公式中。后式恰好是把前式结果作

为一般项的新级数的求和公式。又如岚峰形垛公式：112*****211pr

rrrprrnpnnnnppn!![]+++-=.=++++++LL·也是很精彩有

趣的。

他还研究了更复杂的垛积公式及其在各种问题中的实际应用。和

归纳出这些公式并不是一件轻而易举的事情。是有相当难度的。朱世

杰究竟如何得到这些公式。由于史料缺载。至今尚不清楚。朱世杰《四

元玉鉴》所载“古法开七乘方图”。比杨辉所引贾宪“开方作法本源图”

多出了平行于两斜边的许多斜线。有些学者推测。从这些斜线相连的

数字关系可以得出一些有意义的结论。其中包括推导出某些垛积公式

①。

沈括隙积术。北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇。

首创隙积术：隙积者。谓积之有隙者。如累棋。层坛及洒家积罂

之类。虽似覆斗。四面皆杀。缘有刻缺及虚隙之处。用刍童法求之。

常失於数少。馀思而得之。用争童法为上位；下位别列：下广以上广

减之。余者以高乘之。六而一。并入上位。假令积罂：最上行纵横各

二罂。最下行各十二罂。行行相次。先以上二行相次。率至十二。当

十一行也。以刍童法求之。倍上行长得四。并入下长得十六。

以上广乘之。得之三十二；又倍下行长得二十四。并入上长。得

二十六。以下广乘之。得三百一十二；并二位得三百四十四。以高乘

之。得三千七百八十四。沈括重列下广十二。以上广减之。馀十。以

高乘之。得一百一十。并入上位。得三千八百九十四；六而一。得六

百四十九。此为罂数也。刍童求见实方之积。隙积求见合角不尽。益

出羡积也一个层罈。共h层。上面axb,下底cxd。这是二阶等差级

数求和问题：沈括给出的公式：。

杨辉垛积术。杨辉在《详解九章算法》《商功》篇阐述了方垛。

刍甍垛。刍童垛。沈括和三角垛。果子以垛。下方十四个。问计

几何？术曰：下方加一。乘下方为平积。又加半为高。以乘下方为

高积。如三而一.即长方形立体垛,上面长n个,宽m个,高h个:三角垛

下广一面十二个。上尖。高十二个。问：计几何?术曰：下广加一。乘

下广。平积。下广加二乘之。立高方积。如六而一。

朱世杰垛积术。《四元玉鉴》《果垛叠藏》第一问：“今有三角垛

果子一所。

值钱一贯三百二十文。只云从上一个值钱二文。次下层层每个累

贵一文。问底子每面几何？”术曰：立天元一为每个底子。如积求之。

得三万一千六百八十为益实十为从方。二十一为从上廉。一十四为下

廉。三为从隅。三桀方开之。得每个底子。合问。三角垛级数：三角

垛自上而下。每边的果子数是：1。2。3。4。5。6....n.自上而下。每

个果子值钱：2。3。

4。5。6.....朱世杰用的求和公式令v=1320得：解之。得x=n=9。