十字交叉相乘法

解二元一次方程：“十字交叉法”

十字相乘就是把二次项拆成两个数的积

常数项拆成两个数的积

拆成的那些数经过十字相乘后再相加正好

等于一次项

看一下这个简单的例子m²+4m-12

m-2

m╳6

把二次项拆成m与m的积(看左边,注意竖着写)

-12拆成-2与6的积(也是竖着写)

经过十字相乘(也就是6m与-2m的和正好是4m)

所以十字相乘成功了

m²+4m-12=(m-2)(m+6)

重点：只要把2次项和常数项拆开来（拆成

乘积的形式），可以检验是否拆的对，只要

相加等于1次项就成了，十字相乘法实际就

是分解因式。

解释说明：

十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,

会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些

个人见解。

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右

边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）

用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，

能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较

简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十

字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法

比较难学。

5、十字相乘法解题实例：

1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目

例1把m²+4m-12分解因式

分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，

-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题

解：因为1-2

1╳6

所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）

例2把5x²+6x-8分解因式

分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，

-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2

时，才符合本题

解：因为12

5╳-4

所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）

例3解方程x²-8x+15=0

分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可

分成1×15，3×5。

解：因为1-3

1╳-5

所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0

所以x1=3x2=5

例4、解方程6x²-5x-25=0

分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可

以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。

解：因为2-5

3╳5

所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0

所以x1=5/2x2=-5/3

2)、用十字相乘法解一些比较难的题目

例5把14x²-67xy+18y²分解因式

分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,

则14可分为1×14,2×7,18y²可分为y.18y,2y.9y,3y.6y

解:因为2-9y

7╳-2y

所以14x²-67xy+18y²=(2x-9y)(7x-2y)

例6把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式

分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式

解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3

=10x²-（27y+1）x-（28y²-25y+3）4y-3

7y╳-1

=10x²-（27y+1）x-（4y-3）（7y-1）

=[2x-（7y-1）][5x+（4y-3）]2-（7y–1）

5╳4y-3

=（2x-7y+1）（5x+4y-3）

说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）

（7y-1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x-（4y-3）

（7y-1）分解为[2x-（7y-1）][5x+（4y-3）]

解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3

=（2x-7y）（5x+4y）-（x-25y）-32-7y

=[（2x-7y）+1][（5x-4y）-3]5╳4y

=（2x-7y+1）（5x-4y-3）2x-7y1

5x-4y╳-3

说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为

（2x-7y）（5x+4y）,再把（2x-7y）（5x+4y）-（x-25y）

-3用十字相乘法分解为[（2x-7y）+1][（5x-4y）-3].

例7：解关于x方程：x²-3ax+2a²–ab-b²=0

分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解

解：x²-3ax+2a²–ab-b²=0

x²-3ax+（2a²–ab-b²）=0

x²-3ax+（2a+b）（a-b）=01-b

2╳+b

[x-（2a+b）][x-（a-b）]=01-（2a+b）

1╳-（a-b）

所以x1=2a+bx2=a-b