初三复习资料

中考数学总复习资料

代数部分

第一章：实数

基础知识点：

一、实数的分类：

1、有理数：任何一个有理数总可以写成

q

p

的形式,其中p、q是互质的整数,这是

有理数的重要特征;

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根,如2、34……；特定意

义的数,如π、

45sin

°等;

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉,往往要经过整理化简后才下结论;

二、实数中的几个概念

1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数;

1实数a的相反数是-a；2a和b互为相反数



a+b=0

2、倒数：

1实数aa≠0的倒数是

a

1

；2a和b互为倒数

1ab

；3注意0没有倒数

3、绝对值：

1一个数a的绝对值有以下三种情况：

2实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值,就是数轴上表示这

个数的点到原点的距离;

3去掉绝对值符号化简必须要对绝对值符号里面的实数进行数性正、负确认,再去

掉绝对值符号;

4、n次方根

1平方根,算术平方根：设a≥0,称a叫a的平方根,a叫a的算术平方根;

2正数的平方根有两个,它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根;

3立方根：3a叫实数a的立方根;

4一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根;

三、实数与数轴

1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴;原点、正方向、单位

长度是数轴的三要素;

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数,而每一个

实数都可以用数轴上的唯一的点来表示;实数和数轴上的点是一一对应的关系;

四、实数大小的比较

1、在数轴上表示两个数,右边的数总比左边的数大;

2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小;

五、实数的运算

1、加法：

1同号两数相加,取原来的符号,并把它们的绝对值相加；

2异号两数相加,取绝对值大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

可使用加法交换律、结合律;

2、减法：

减去一个数等于加上这个数的相反数;

3、乘法：

1两数相乘,同号取正,异号取负,并把绝对值相乘;

2n个实数相乘,有一个因数为0,积就为0；若n个非0的实数相乘,积的符号由负

因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正；当负因数为奇数个时,积为负;

3乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律;

4、除法：

1两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;

2除以一个数等于乘以这个数的倒数;

30除以任何数都等于0,0不能做被除数;

5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算;

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运算,加、减是一级运

算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右依次运算,不同级的运算,先算高级

的运算再算低级的运算,有括号的先算括号里的运算;无论何种运算,都要注意先

定符号后运算;

六、有效数字和科学记数法

1、科学记数法：设N＞0,则N=a×n10其中1≤a＜10,n为整数;

2、有效数字：一个近似数,从左边第一个不是0的数,到精确到的数位为止,所有

的数字,叫做这个数的有效数字;精确度的形式有两种：1精确到那一位；2保留几

个有效数字;

代数部分

第二章：代数式

基础知识点：

一、代数式

1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫代数式;单独

一个数或者一个字母也是代数式;

2、代数式的值：用数值代替代数里的字母,计算后得到的结果叫做代数式的

值;

3、代数式的分类：

二、整式的有关概念及运算

1、概念

1单项式：像x、7、yx22,这种数与字母的积叫做单项式;单独一个数或字母

也是单项式;

单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数叫做这个单项式的次数;

单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数;

2多项式：几个单项式的和叫做多项式;

多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项;一个多项式含有几项,

就叫几项式;

多项式的次数：多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数;不含

字母的项叫常数项;

升降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小大到大小的顺序排列起

来,叫做把多项式按这个字母升降幂排列;

3同类项：所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项;

2、运算

1整式的加减：

合并同类项：把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母及字母的指数不

变;

去括号法则：括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各

项都不变；括号前面是“–”号,把括号和它前面的“–”号去掉,括号里的各项

都变号;

添括号法则：括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”

号,括到括号里的各项都变号;

整式的加减实际上就是合并同类项,在运算时,如果遇到括号,先去括号,再合

并同类项;

2整式的乘除：

幂的运算法则：其中m、n都是正整数

同底数幂相乘：nmnmaaa；同底数幂相除：nmnmaaa；幂的乘方：

mnnmaa)(积的乘方：nnnbaab)(;

单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数,对于相同的字母,用它们

的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的

指数作为积的一个因式;

单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加;

多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再

把所得的积相加;

单项除单项式：把系数,同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里

含有字母,则连同它的指数作为商的一个因式;

多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项,再把所得的商相

加;

乘法公式：

平方差公式：22))((bababa；

完全平方公式：2222)(bababa,2222)(bababa

三、因式分解

1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解;

2、常用的因式分解方法：

1提取公因式法：)(cbammcmbma

2运用公式法：

平方差公式：))((22bababa；完全平方公式：222)(2bababa

3十字相乘法：))(()(2bxaxabxbax

4分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解;

5运用求根公式法：若)0(02acbxax的两个根是

1

x、

2

x,则有：

3、因式分解的一般步骤：

1如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式；

2提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或十字相乘法；

3对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不行的再用求根公式法;

4最后考虑用分组分解法;

四、分式

1、分式定义：形如

B

A

的式子叫分式,其中A、B是整式,且B中含有字母;

1分式无意义：B=0时,分式无意义；B≠0时,分式有意义;

2分式的值为0：A=0,B≠0时,分式的值等于0;

3分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分;方法

是把分子、分母因式分解,再约去公因式;

4最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式;分式运算的

最终结果若是分式,一定要化为最简分式;

5通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程,

叫做分式的通分;

6最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积;

7有理式：整式和分式统称有理式;

2、分式的基本性质：

1)0(的整式是





M

MB

MA

B

A

；2)0(的整式是





M

MB

MA

B

A

3分式的变号法则：分式的分子,分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,

分式的值不变;

3、分式的运算：

1加、减：同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减；异分母的分式相加减,

先把它们通分成同分母的分式再相加减;

2乘：先对各分式的分子、分母因式分解,约分后再分子乘以分子,分母乘以分

母;

3除：除以一个分式等于乘上它的倒数式;

4乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方;

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子)0(aa叫做二次根式;

1最简二次根式：被开方数的因数是整数,因式是整式,被开方数中不含能开得

尽方的因式的二次根式叫最简二次根式;

2同类二次根式：化为最简二次根式之后,被开方数相同的二次根式,叫做同类

二次根式;

3分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化;

4有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次

根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式常用的有理化因式有：a与a；

dcba与dcba

2、二次根式的性质：

1)0()(2aaa；2













)0(

)0(

2

aa

aa

aa

；3baaba≥0,b≥0；

4

)0,0(ba

b

a

b

a

3、运算：

1二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后,合并同类二次根式;

2二次根式的乘法：abbaa≥0,b≥0;

3二次根式的除法：

)0,0(ba

b

a

b

a

二次根式运算的最终结果如果是根式,要化成最简二次根式;

代数部分

第三章：方程和方程组

基础知识点：

一、方程有关概念

1、方程：含有未知数的等式叫做方程;

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解,含有一个

未知数的方程的解也叫做方程的根;

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程;

4、方程的增根：在方程变形时,产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根;

二、一元方程

1、一元一次方程

1一元一次方程的标准形式：ax+b=0其中x是未知数,a、b是已知数,a≠0

2一玩一次方程的最简形式：ax=b其中x是未知数,a、b是已知数,a≠0

3解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化

为1;

4一元一次方程有唯一的一个解;

2、一元二次方程

1一元二次方程的一般形式：02cbxax其中x是未知数,a、b、c是已知

数,a≠0

2一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法

3一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般,如没有要求,一般不用配方

法;

4一元二次方程的根的判别式：acb42

当Δ＞0时



方程有两个不相等的实数根；

当Δ=0时



方程有两个相等的实数根；

当Δ<0时



方程没有实数根,无解；

当Δ≥0时



方程有两个实数根

5一元二次方程根与系数的关系：

若

21

,xx是一元二次方程02cbxax的两个根,那么：

a

b

xx

21

,

a

c

xx

21

6以两个数

21

,xx为根的一元二次方程二次项系数为1是：

0)(

2121

2xxxxxx

三、分式方程

1定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程;

2分式方程的解法：

一般解法：去分母法,方程两边都乘以最简公分母;

特殊方法：换元法;

3检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母,使最简公分母不为0

的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根,增根必须舍去,也

可以把求得的未知数的值代入原方程检验;

四、方程组

1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解;

2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组

3、一次方程组：

1二元一次方程组：

一般形式：











222

111

cybxa

cybxa

212121

,,,,,ccbbaa不全为0

解法：代入消远法和加减消元法

解的个数：有唯一的解,或无解,当两个方程相同时有无数的解;

2三元一次方程组：

解法：代入消元法和加减消元法

4、二元二次方程组：

1定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二

元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组;

2解法：消元,转化为解一元二次方程,或者降次,转化为二元一次方程组;

考点与命题趋向分析

代数部分

第四章：列方程组解应用题

知识点：

一、列方程组解应用题的一般步骤

1、审题：

2、设未知数；

3、找出相等关系,列方程组；

4、解方程组；

5、检验,作答；

二、列方程组解应用题常见类型题及其等量关系；

1、工程问题

1基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间

2常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量

3注意：工程问题常把总工程看作“1”,水池注水问题属于工程问题

2、行程问题

1基本量之间的关系：路程=速度×时间

2常见等量关系：

相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及问题设甲速度快：

同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相

距路程

同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程

3、水中航行问题：

顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；

逆流速度=船在静水中的速度–水流速度

4、增长率问题：

常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×1+增

长率；

5、数字问题：

基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100

三、列方程解应用题的常用方法

1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式,

然后根据代数之间的内在联系找出等量关系;

2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系,然后根据线

段长度的内在联系,找出等量关系;

3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格,从而找出各种量之间

的关系;

4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系,它可以使量与量之间的关系更

为直观,这种方法能帮助我们更好地理解题意;

代数部分

第五章：不等式及不等式组

知识点：

一、不等式与不等式的性质

1、不等式：表示不等关系的式子;表示不等关系的常用符号：≠,＜,＞;

2、不等式的性质：

l不等式的两边都加上或减去同一个数,不等号方向不改变,如a＞b,c为实

数



a＋c＞b＋c

2不等式两边都乘以或除以同一个正数,不等号方向不变,如a＞b,c＞0



ac

＞bc;

3不等式两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向改变,如a＞b,c＜0



ac

＜bc.

注：在不等式的两边都乘以或除以一个实数时,一定要养成好的习惯、就是先

确定该数的数性正数,零,负数再确定不等号方向是否改变,不能像应用等式的性

质那样随便,以防出错;

3、任意两个实数a,b的大小关系三种：

1a–b＞0



a＞b

2a–b=0



a=b

3a–b＜0



a＜b

4、1a＞b＞0

ba

2a＞b＞0

22ba

二、不等式组的解、解集、解不等式

1、能使一个不等式组成立的未知数的一个值叫做这个不等式组的一个解;

不等式的所有解的集合,叫做这个不等式的解集;

不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集;

2．求不等式组的解集的过程叫做解不等式组;

三、不等式组的类型及解法

1、一元一次不等式：

l概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式,叫做一元

一次不等式;

2解法：与解一元一次方程类似,但要特别注意当不等式的两边同乘以或除以

一个负数时,不等号方向要改变;

2、一元一次不等式组：

l概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元

一次不等式组;

2解法：先求出各不等式的解集,再确定解集的公共部分;

注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便;

代数部分

第六章：函数及其图像

知识点：

一、平面直角坐标系

1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴,构成平面直角坐标系;在平面直

角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系;

2、不同位置点的坐标的特征：

1各象限内点的坐标有如下特征：

点Px,y在第一象限



x＞0,y＞0；

点Px,y在第二象限



x＜0,y＞0；

点Px,y在第三象限



x＜0,y＜0；

点Px,y在第四象限



x＞0,y＜0;

2坐标轴上的点有如下特征：

点Px,y在x轴上



y为0,x为任意实数;

点Px,y在y轴上



x为0,y为任意实数;

3．点Px,y坐标的几何意义：

1点Px,y到x轴的距离是|y|；

2点Px,y到y袖的距离是|x|；

3点Px,y到原点的距离是22yx

4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：

1点Pa,b关于x轴的对称点是),(

1

baP；

2点Pa,b关于x轴的对称点是),(

2

baP；

3点Pa,b关于原点的对称点是),(

3

baP；

二、函数的概念

1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值

不变的量叫做常量;

2、函数：一般地,设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一

个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数;

1自变量取值范围的确是：

①解析式是只含有一个自变量的整式的函数,自变量取值范围是全体实数;

②解析式是只含有一个自变量的分式的函数,自变量取值范围是使分母不为0

的实数;

③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数,自变量取值范围是使被开

方数非负的实数;

注意：在确定函数中自变量的取值范围时,如果遇到实际问题,还必须使实际

问题有意义;

2函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值;

3函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法

4由函数的解析式作函数的图像,一般步骤是：①列表；②描点；③连线

三、几种特殊的函数

1、一次函数

直线位置与k,b的关系：

1k＞0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为锐角；

2k＜0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为钝角；

3b＞0直线与y轴交点在x轴的上方；

4b＝0直线过原点；

5b＜0直线与y轴交点在x轴的下方；

2、二次函数

抛物线位置与a,b,c的关系：

1a决定抛物线的开口方向











开口向下

开口向上

0

0

a

a

2c决定抛物线与y轴交点的位置：

c>0



图像与y轴交点在x轴上方；c=0



图像过原点；c<0



图像与y轴交

点在x轴下方；

3a,b决定抛物线对称轴的位置：a,b同号,对称轴在y轴左侧；b＝0,对称轴是

y轴；a,b异号;对称轴在y轴右侧；

3、反比例函数：

4、正比例函数与反比例函数的对照表：

代数部分

第七章：统计初步

知识点：

一、总体和样本：

在统计时,我们把所要考察的对象的全体叫做总体,其中每一考察对象叫做个

体;从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本

容量;

二、反映数据集中趋势的特征数

1、平均数

1

n

xxxx,,,,

321

的平均数,)(

1

21n

xxx

n

x

2加权平均数：如果n个数据中,

1

x出现

1

f次,

2

x出现

2

f次,……,

k

x出现

k

f次

这里nfff

k



21

,则)(

1

2211kk

fxfxfx

n

x

3平均数的简化计算：

当一组数据

n

xxxx,,,,

321

中各数据的数值较大,并且都与常数a接近时,设

axaxaxax

n

,,,,

321

的平均数为'x则：axx';

2、中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列,处在最中间位置上的数据叫

做这组数据的中位数,如果数据的个数为偶数中位数就是处在中间位置上两个数

据的平均数;

3、众数：在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数;一组数据

的众数可能不止一个;

三、反映数据波动大小的特征数：

1、方差：

l

n

xxxx,,,,

321

的方差,

n

xxxxxx

Sn

22

2

2

1

2

)()()(





2简化计算公式：2

22

2

2

1

2x

n

xxx

Sn







n

xxxx,,,,

321

为较小的整数时用这

个公式要比较方便

3记

n

xxxx,,,,

321

的方差为2S,设a为常数,axaxaxax

n

,,,,

321

的方差

为2`S,则2S=2`S;

注：当

n

xxxx,,,,

321

各数据较大而常数a较接近时,用该法计算方差较简便;

2、标准差：方差2S的算术平方根叫做标准差S;

注：通常由方差求标准差;

四、频率分布

1、有关概念

1分组：将一组数据按照统一的标准分成若干组称为分组,当数据在100个以

内时,通常分成5－12组;

2频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数;各个小组的频数之和等于

数据总数n;

3频率：每个小组的频数与数据总数n的比值叫做这一小组的频率,各小组频

率之和为l;

4频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做

频率分布表;

5频率分布直方图：将频率分布表中的结果,绘制成的,以数据的各分点为横坐

标,以频率除以组距为纵坐标的直方图,叫做频率分布直方图;

图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距;

每个小长方形的面积等于该组的频率;

所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于1;

样本的频率分布反映样本中各数据的个数分别占样本容量n的比例的大小,总

体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小,一般是用样本

的频率分布去估计总体的频率分布;

2、研究频率分布的方法；得到一数据的频率分布和方法,通常是先整理数据,

后画出频率分布直方图,其步骤是：

1计算最大值与最小值的差；2决定组距与组数；3决定分点；4列领率分布

表；5绘频率分布直方图;

几何部分

第一章：线段、角、相交线、平行线

知识点：

一、直线：直线是几何中不加定义的基本概念,直线的两大特征是“直”和“向

两方无限延伸”;

二、直线的性质：经过两点有一条直线,并且只有一条直线,直线的这条性质

是以公理的形式给出的,可简述为：过两点有且只有一条直线,两直线相交,只有一

个交点;

三、射线：

1、射线的定义：直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线;

2．射线的特征：“向一方无限延伸,它有一个端点;”

四、线段：

1、线段的定义：直线上两点和它之间的部分叫做线段,这两点叫做线段的端

点;

2、线段的性质公理：所有连接两点的线中,线段最短;

五、线段的中点：

1、定义如图1一1中,点B把线段AC分成两条相等的线段,点B叫做线段图1

－1AC的中点;

2、表示法：

∵AB＝BC

∴点B为AC的中点

或∵AB＝

2

1

MAC

∴点B为AC的中点,或∵AC＝2AB,∴点B为AC的中点

反之也成立

∵点B为AC的中点,∴AB＝BC

或∵点B为AC的中点,∴AB=

2

1

AC

或∵点B为AC的中点,∴AC=2BC

六、角

1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成

的图形叫做角;要弄清定义中的两个重点①角是由两条射线组成的图形；②这两条

射线必须有一个公共端点;另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个

位置所形成的图形;可以看出在起始位置的射线与终止位置的射线就形成了一个

角;

2．角的平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角,

这条射线叫做这个角的平分线;表示法有三种：如图1—2

1∠AOC＝∠BOC

2∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB

3∠AOC＝∠COB=

2

1

∠AOB

七、角的度量：度量角的大小,可用“度”作为度量单位;把一个圆周分成360

等份,每一份叫做一度的角;1度=60分；1分=60秒;

八、角的分类：

1锐角：小于直角的角叫做锐角

2直角：平角的一半叫做直角

3钝角：大于直角而小于平角的角

4平角：把一条射线,绕着它的端点顺着一个方向旋转,当终止位置和起始位置

成一直线时,所成的角叫做平角;

5周角：把一条射线,绕着它的端点顺着一个方向旋转,当终边和始边重合时,

所成的角叫做周角;

6周角、平角、直角的关系是：l周角=2平角=4直角=360°

九、相关的角：

1、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫

做对顶角;

2、互为补角：如果两个角的和是一个平角,这两个角做互为补角;

3、互为余角：如果两个角的和是一个直角,这两个角叫做互为余角;

4、邻补角：有公共顶点,一条公共边,另两条边互为反向延长线的两个角做互为

邻补角;

注意：互余、互补是指两个角的数量关系,与两个角的位置无关,而互为邻补

角则要求两个角有特殊的位置关系;

十、角的性质

1、对顶角相等;

2、同角或等角的余角相等;

3、同角或等角的补角相等;

十一、相交线

1、斜线：两条直线相交不成直角时,其中一条直线叫做另一条直线的斜线;它

们的交点叫做斜足;

2、两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,

就说这两条直线互相垂直;

3、垂线：当两条直线互相垂直时,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它

们的交点叫做垂足;

4、垂线的性质

l过一点有且只有一条直线与己知直线垂直;

2直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短;简单说：垂线段最

短;

十二、距离

1、两点的距离：连结两点的线段的长度叫做两点的距离;

2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离;

3、两条平行线的距离：两条直线平行,从一条直线上的任意一点向另一条直

线引垂线,垂线段的长度,叫做两条平行线的距离;

说明：点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离,它们

与点到直线的垂线段是分不开的;

十三、平行线

1、定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线;

2、平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行;

3、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也

互相平行;

说明：也可以说两条射线或两条线段平行,这实际上是指它们所在的直线平

行;

4、平行线的判定：

1同位角相等,两直线平行;

2内错角相等,两直线平行;

3同旁内角互补,两直线平行;

5、平行线的性质

1两直线平行,同位角相等;

2两直线平行,内错角相等;

3两直线平行,同旁内角互补;

说明：要证明两条直线平行,用判定公理或定理在已知条件中有两条直线平行

时,则应用性质定理;

6、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补;

注意：当角的两边平行且方向相同或相反时,这两个角相等;当角的两边平行

且一边方向相同另一方向相反时,这两个角互补;

几何部分

第二章：三角形

知识点：

一、关于三角形的一些概念

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形;

组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相

邻两边所组成的角叫三角形的内角,简称三角形的角;

1、三角形的角平分线;

三角形的角平分线是一条线段顶点与内角平分线和对边交线间的距离

2、三角形的中线

三角形的中线也是一条线段顶点到对边中点间的距离

3．三角形的高

三角形的高线也是一条线段顶点到对边的距离

注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内;

如图2－l,AD、BE、CF都是么ABC的角平分线,它们都在△ABC内

如图2－2,AD、BE、CF都是△ABC的中线,它们都在△ABC内

而图2－3,说明高线不一定在△ABC内,

图2—3—1图2—3—2图2－3一3

图2－3—1,中三条高线都在△ABC内,

图2－3－2,中高线CD在△ABC内,而高线AC与BC是三角形的边；

图2－3一3,中高线BE在△ABC内,而高线AD、CF在△ABC外;

三、三角形三条边的关系

三角形三边都不相等,叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边

都相等的则叫等边三角形;

等腰三角形中,相等的两条边叫腰,另一边叫底边,腰和底边的夹角叫底角,两

腰的夹角叫项角;

三角形接边相等关系来分类：

三角形

















等边三角形

三角形底边和腰不相等的等腰

等腰三角形

不等边三角形

三角形

用集合表示,见图2－4

推论三角形两边的差小于第三边;

不符合定理的三条线段,不能组成三角形的三边;

例如三条线段长分别为5,6,1人因为5＋6＜12,所以这三条线段,不能作为三

角形的三边;

三、三角形的内角和

定理三角形三个内角的和等于180°

由定理可知,三角形的二个角已知,那么第三角可以由定理求得;

如已知△ABC的两个角为∠A＝90°,∠B＝40°,则∠C＝180°–90°–40°

＝50°

由定理可以知道,三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角;

推论1：直角三角形的两个锐角互余;

三角形按角分类：

用集合表示,见图

三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫三角形的外角;

推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;

推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;

例如图2—6中

∠1＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝

∠3＋∠7＋∠8；

∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋

∠10等等;

四、全等三角形

能够完全重合的两个图形叫全等形;

两个全等三角形重合时,互相重合的顶点叫对应顶点,互相重合的边叫对应边,

互相重合的角叫对应角;

全等用符号“≌”表示

△ABC≌△A`B`C`表示A和A`,B和B`,C和C`是对应点;

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等;

如图2—7,△ABC≌△A`B`C`,则有A、B、C的对应点A`、B`、C`；AB、BC、CA

的对应边是A`B`、B`C`、C`A`;

∠A,∠B,∠C的对应角是∠A`、∠B`、∠C`;

∴AB＝A`B`,BC＝B`C`,CA＝C`A`；∠A＝∠A`,∠B＝∠B`,∠C＝∠C`

五、全等三角形的判定

1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可以简写成

“边角边”或“SAS”

注意：一定要是两边夹角,而不能是边边角;

2、角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等可以简写成

“角边角“或“ASA”

3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等可以简写成“角

角边’域“AAS”

4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等可以简写成“边边边”或

“SSS”

由边边边公理可知,三角形的重要性质：三角形的稳定性;

除了上面的判定定理外,“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全

等;

5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等

的两个直角三角形全等可以简写成“斜边,直角边”或“HL”

六、角的平分线

定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等;

定理2、一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上;

由定理1、2可知：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合;

可以证明三角形内存在一个点,它到三角形的三边的距离相等这个点就是三

角形的三条角平分线的交点交于一点

在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的

结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互为逆命题,如果把其中的一个

做原命题,那么另一个叫它的逆命题;

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理

叫互逆定理,其中一个叫另一个的逆定

理;

例如：“两直线平行,同位角相等”和“同位角相等,两直线平行”是互逆定

理;

一个定理不一定有逆定理,例如定理：“对顶角相等”就没逆定理,因为“相

等的角是对顶角”这是一个假命颗;

七、基本作图

限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作网＿

最基本、最常用的尺规作图．通常称为基本作图,例如做一条线段等于己知线

段;

1、作一个角等于已知角：作法是使三角形全等SSS,从而得到对应角相等；

2、平分已知角：作法仍是使三角形全等SSS．从而得到对应角相等;

3、经过一点作已知直线的垂线：1若点在已知直线上,可看作是平分已知角平

角；2若点在已知直线外,可用类似平分已知角的方法去做：已知点C为圆心,适当

长为半径作弧交已知真线于A、B两点,再以A、B为圆心,用相同的长为半径分别作

弧交于D点,连结CD即为所求垂线;

4、作线段的垂直平分线：

线段的垂直平分线也叫中垂线;

做法的实质仍是全等三角形SSS;

也可以用这个方法作线段的中点;

八、作图题举例

重要解决求作三角形的问题

1、已知两边一夹角,求作三角形2、已知底边上的高,求作等腰三角形

九、等腰三角形的性质定理

等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等简写成“等边对等角”

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,就是说：等腰三

角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;

推论2：等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°

例如：等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等,因为等腰三角形底

边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等n

十、等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相,那这两个角所对的两条边也相等;简写成

“等角对等动”;

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

推论3：在直角三角形中,如果一个锐角等于3O°,那么它所对的直角边等于斜边

的一半;

十一、线段的垂直平分线

定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上;

就是说：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的

集合;

十二、轴对称和轴对称图形

把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合,那么就说这

两个图形关于这条直线轴对称,两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点,这

条直线叫对称轴;

两个图形关于直线对称也叫轴对称;

定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形;

定理2：如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平

分线;

定理3：两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长相交;那么交

点在对称轴上;

逆定理：如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分,那么这两个图形关

于这条直线对称;

如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图

形叫做轴对称图形,这条直线就是对称轴;

例如：等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点,所以等腰三角形顶角

的分角线是等腰三角形的一条对称轴,而等腰三角形是轴对称图形;

十三、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：cba22

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：222cba

那么这个三角形是直角三角形

几何部分

第三章：四边形

知识点：

一、多边形

1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形,叫做多边形;

2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边;

3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点;

4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角

线;

5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长;

6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长,如果多边形的其他各边都

在延长线所得直线的问旁,这样的多边形叫凸多边形;

说明：一个多边形至少要有三条边,有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做

四边形；有几条边的叫做几边形;今后所说的多边形,如果不特别声明,都是指凸多

边形;

7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角,简称多边形

的角;

8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做

多边形的外角;

注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角;

9、n边形的对角线共有)3(

2

1

nn条;

说明：利用上述公式,可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数,也

可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数;

10、多边形内角和定理：n边形内角和等于n－2180°;

11、多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于360°;

说明：多边形的外角和是一个常数与边数无关,利用它解决有关计算题比利用多

边形内角和公式及对角线求法公式简单;无论用哪个公式解决有关计算,都要与解

方程联系起

来,掌握计算方法;

二、平行四边形

1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形;

2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等;

3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等;

4、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等;

5、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分;

6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

8、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形;

9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

说明：1平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础;同时

又是证明线段相等,角相等或两条直线互相平行的重要方法;

2平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质,又是平行四边形的一个判定

方法;

三、矩形

矩形是特殊的平行四边形,从运动变化的观点来看,当平行四边形的一个内角

变为90°时,其它的边、角位置也都随之变化;因此矩形的性质是在平行四边形的

基础上扩充的;

1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做短形通常也叫做长方形

2、矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角;

3．矩形性质定理2：矩形的对角线相等;

4、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形;

说明：因为四边形的内角和等于360度,已知有三个角都是直角,那么第四个

角必定是直角;

5、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形;

说明：要判定四边形是矩形的方法是：

法一：先证明出是平行四边形,再证出有一个直角这是用定义证明

法二：先证明出是平行四边形,再证出对角线相等这是判定定理1

法三：只需证出三个角都是直角;这是判定定理2

四、菱形

菱形也是特殊的平行四边形,当平行四边形的两个邻边发生变化时,即当两个

邻边相等时,平行四边形变成了菱形;

1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形;

2、菱形的性质1：菱形的四条边相等;

3、菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;

4、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形;

5、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形;

说明：要判定四边形是菱形的方法是：

法一：先证出四边形是平行四边形,再证出有一组邻边相等;这就是定义证明;

法二：先证出四边形是平行四边形,再证出对角线互相垂直;这是判定定理2

法三：只需证出四边都相等;这是判定定理1

五正方形

正方形是特殊的平行四边形,当邻边和内角同时运动时,又能使平行四边形的

一个内角为直角且邻边相等,这样就形成了正方形;

1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形;

2、正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角,四条边都相等;

3、正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对

角线平分一组对角;

4、正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形;

5、正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形;

注意：要判定四边形是正方形的方法有

方法一：第一步证出有一组邻边相等；第二步证出有一个角是直角；第三步

证出是平行四边形;这是用定义证明

方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形;这是判定定理1

方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形;这是判定定理2

六、梯形

1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形;

2、梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底通常把较短的底叫做上底,较

长的边叫做下底

3、梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰;

4、梯形的高：梯形有两底的距离叫做梯形的高;

5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形;

6、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形;

7、等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等;

8、等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等;

9、等腰梯形的判定定理l;：在同一个底上钩两个角相等的梯形是等腰梯形;

10、等腰梯形的判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形;

研究等腰梯形常用的方法有：化为一个等腰三角形和一个平行四边形；或两

个全等的直角三角形和一矩形；或作对角线的平行线交下底的延长线于一点；或

延长两腰交于一点;

七、中位线

1、三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;

说明：三角形的中位线与三角形的中线不同;

2、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线;

3、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一

半;

4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半;

八、多边形的面积

说明：多边形的面积常用的求法有：

1将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的面积的和,求出原来图

形的面积这种方法叫做分割法;如图3－l,作六边形的最长的一条对角线,从其它

各顶点向这条对角线引垂线,把六边形分成四个直角三角形和两个直角梯形,计算

它们的面积再相加;

2将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上,从而改变原

来图形的形状;利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的这种方法;叫做

割补法;——

3将一个平面图形通过拼补某一图形,使它变为另一个图形,利用新的图形减

去所补充图形的面积,来求出原来图形面积的这种方法叫做拼凑法;

注意：两个图形全等,它们的面积相等;等底等高的三角面积相等;一个图形的

面积等于它的各部分面积的和;

几何部分

第四章：相似形

知识点：

一、比例线段

1、比：选用同一长度单位量得两条线段;a、b的长度分别是m、n,那么就说

这两条线段的比是a：b＝m：n或

n

m

b

a



2、比的前项,比的后项：两条线段的比a：b中;a叫做比的前项,b叫做比的

后项;

说明：求两条线段的比时,对这两条线段要用同一单位长度;

3、比例：两个比相等的式子叫做比例,如

d

c

b

a



4、比例外项：在比例

d

c

b

a

或a：b＝c：d中a、d叫做比例外项;

5、比例内项：在比例

d

c

b

a

或a：b＝c：d中b、c叫做比例内项;

6、第四比例项：在比例

d

c

b

a

或a：b＝c：d中,d叫a、b、c的第四比例项;

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等,即比例为

a

b

b

a

或a:b=b:c时,

我们把b叫做a和d的比例中项;

8、比例线段：在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,

那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段;

9、比例的基本性质：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命题也成立,即如果ad

＝bc,那么a：b＝c：d

10、比例的基本性质推论：如果a：b=b：d那么b2=ad,逆定理是如果b2=ad

那么a：b=b：c;说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式;比例的基本性质及推

例式与等积式互化的理论依据;

11、合比性质：如果

d

c

b

a

,那么

d

dc

b

ba





12．等比性质：如果

n

m

d

c

b

a

,

0mdb

,那么

b

a

ndb

mca











说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k,这种方法思路单一,方法

简单不易出错;

13、黄金分割把一条线段分成两条线段,使较长的线段是原线段与较小的线段

的比例中项,叫做把这条线段黄金分割;

说明：把一条线段黄金分割的点,叫做这条线段的黄金分割点,在线段AB上截

取这条线段的

2

15

倍得到点C,则点C就是AB的黄金分割点;

二、平行线分线段成比例

1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那

么在其它直线上截得的线段也相等;

格式：如果直线L

1

∥L

2

∥L

3

,AB＝BC,

那么：A

1

B

1

＝B

1

C

1

,如图4－l

说明：由此定理可知推论1和推论2

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰;

格式：如果梯形ABCD,AD∥BC,AE＝EB,EF∥AD,那么DF=FC

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边;

格式,如果△ABC中,D是AB的中点,DE∥BC,那么AE＝EC,如图4—3

2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比

例;

说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况;

3．平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边,

所得的对应线段成比例;

说明1：平行线分线段成比例定理可用形象的语言来表达;如图4—4

说明2：图4－4的三种图形中这些成比例线段的位置关系依然存在;

4、三角形一边的平行线的判定定理;如果一条直线截三角形的两边或两边的

延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边;

5、三角形一边的平行线的判定定理：平行于三角形的一边,并且和其它两边

相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例;

6、线段的内分点：在一条线段上的一个点,将线段分成两条线段,这个点叫做

这条线段的内分点;

7、线段的外分点：在一条线段的延长线上的点,有时也叫做这条线段的外分

点;

说明：外分点分线段所得的两条线段,也就是这个点分别和线段的两个端点确

定的线段;

三、相似三角形

1、相似三角形：两个对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形;

说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样,通常把表示对应顶点的

字母写在对应的位置上,这样便于找出相似三角形的对应角和对应边;

2、相似比：相似三角形对应边的比k,叫做相似比或叫做相似系数;

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边或两边的延

长线相交,所构成的三角形与原三角形相似;

说明：这个定理反映了相似三角形的存在性,所以有的书把它叫做相似三角形

的存在定理,它是证明三角形相似的判定定理的理论基础;

4、三角形相似的判定定理：

1判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,

那么就两个三角形相似;可简单说成：两角对应相等,两三角形相似;

2判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,

并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简单说成：两边对应成比例且夹角相等,

两三角形相似;

3判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,

那么这两个三角形相似,可简单说成：三边对应成比例,两三角形相似;

4直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另

一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似;

说明：以上四个判定定理不难证明,以下判定三角形相似的命题是正确的,在

解题时,也可以用它们来判定两个三角形的相似;

第一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似;

第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似;

第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似;

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似;

第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和

其中一边上的中线对应成比例,那么这两个三角形．相似;

5、相似三角形的性质：

1相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线

的比都等于相似比;

2相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比;

说明：以上两个性质简单记为：相似三角形对应线段的比等于相似比;

3相似三角形面积的比等于相似比的平方;

说明：两个三角形相似,根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这

个性质;

6、介绍有特点的两个三角形

1共边三角形指有一条公共边的两个三角形叫做共边三角形;

2共角三角形有一个角相等或互补的两个三角形叫做共角三角形,如图4－6

3公边共角有一个公共角,而且还有一条公共边的两个三角形叫做公边共角三

角形;

说明：具有公边共角的两个三角形相似,则公边的平方等于叠在一条直线上的

两边的乘积：如图4—7若△ACD∽△ABC,则AC2＝AD·AB

第五章：解直角三角形

知识点：

一、锐角三角函数：在直角三角形ABC中,∠C是直角,如图5－1

1、正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作

c

a

Asin

2、余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作

c

b

Acos

3、正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作

b

a

Atan

4、余切：把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作

a

b

Acot

说明：由定义可以看出tanA·cotA＝l或写成

A

A

cot

1

tan

5、锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角

函数

说明：锐角三角函数都不能取负值;

0＜sinA＜l；0＜cosA＜；l

6、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,

任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值;

即sinA＝cos90°一A＝cosB；cosA＝sin90°一A＝sinB

7、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,

任意锐角的余切值等于它的余角的正切值;

即tanA＝cot90°一A＝cotB；cotA＝tan90°－A＝tanB

说明：式中的90°一A=B;

8、三角函数值的变化规律

1当角度在0°—90°间变化时,正弦值正切值随着角度的增大或减小而增大

或减小

2当角度在0°—90°间变化时,余弦值余切值随着角度的增大或减小而减小

或增大;

9、同角三角函数关系公式

11cossin22BA；2

A

A

cot

1

tan；3tanA＝

A

A

cos

sin

10．一些特殊角的三角函数值

二、解直角三角形

由直角三角形中,除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直

角三角形;

若直角三角形ABC中,∠C＝90°,那么A、B、C,a,b,c中除∠C＝90°外,其余

5个元素之间有关系：

l222cba；2∠A十∠B＝90°；

3

c

a

Asin；

c

b

Acos；

b

a

Atan；

a

b

Acot

所以,只要知道其中的2个元素至少有一个是边,就可以求出其余3个未知

数;

例如Rt△ABC中,∠C＝90°,且∠A＝30°,a＝5,

则由：10

2

1

30sinsincA

c

a



几何部分

第六章：圆

知识点：

一、圆

1、圆的有关性质

在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋

转所形成的图形叫圆,固定的端点O叫圆心,线段OA叫半径;

由圆的意义可知：

圆上各点到定点圆心O的距离等于定长的点都在圆上;

就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合,圆的内部可以看作是到圆;

心的距离小于半径的点的集合;

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合;连结圆上任意两点

的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径;圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧;

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫半圆,大于半圆的

弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧;由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形;

圆心相同,半径不相等的两个圆叫同心圆;

能够重合的两个圆叫等圆;

同圆或等圆的半径相等;

在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧;

二、过三点的圆

l、过三点的圆

过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心

定理不在同一直线上的三个点确定一个圆;

经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆,外接圆的圆心叫外心,这个三角形

叫圆的内接三角形;

2、反证法

反证法的三个步骤：

①假设命题的结论不成立；

②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；

③由矛盾得出假设不正确,从而肯定命题的结论正确;

例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角;

证明：设有两个以上是钝角

则两个钝角之和＞180°

与三角形内角和等于180°矛盾;

∴不可能有二个以上是钝角;

即最多只能有一个是钝角;

三、垂直于弦的直径

圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴;

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧;

推理1：平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对两条弧;

弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一个条弧;

推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等;

四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;

实际上,圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合;

顶点是圆心的角叫圆心角,从圆心到弦的距离叫弦心距;

定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦

心距相等;

推理：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距

中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等;

五、圆周角

顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角;

推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的

弧也相等;

推理2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径;

推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三

角形;

由于以上的定理、推理,所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅

助线;

六、圆的内接四边形

多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫圆内接多边形,这个圆叫这

个多边形的外接圆

定理：圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角;

例如图6—1,连EF后,可得：

∠DEF＝∠B

∠DEF＋∠A＝180°

∴∠A＋∠B＝18ry

∴BC∥DA

七、直线和圆的位置关系

1、直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫圆的割线

直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫圆的切线,唯一的

公共点叫切点;

直线和圆没有公共点时,叫直线和圆相离;

2、若圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则：

直线和圆相交



d＜r；直线和圆相切



d＝r；直线和圆相离



d＞r；直线

和圆相交



d＜r

例如：图6－2中,直线与圆O相割,有：r

＞d

图6－3中,直线与圆O相切,r＝d

图6－4中,直线与圆O相离,r＜d

八、切线的判定和性质

切线的判定：经过半径的外端并且垂直

于这条半径的直线是圆的切线;

切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径

推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点;

推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经

过圆心;

例如图6－5中,O为圆心,AC是切线,D为

切点;

∠B＝90°

则有BC是切线

OD是半径

OD⊥AC

九、三角形的内切圆

要求会作图,使它和己知三角形的各边都相切

∵分角线上的点到角的两边距离相等;

∴两条分角线的交点就是圆心;

这样作出的圆是三角形的内切圆,其圆心叫内心,三角形叫圆的外切三角形;

和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆,多边形叫圆的外切多边形;

十、切线长定理

经过圆外一点可作圆的两条切线;在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点

之间的线段的长,叫这点到圆的切线长;

切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等;圆心和这一点的

连线平分两条切线的夹角,如图6－6

B、C为切点,O为圆心;

AB＝AC,∠1＝∠2

十一、弦切角

顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的

角叫弦切角;

弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角;

推理如果两个弦切角所央的弧相等,那么这两个弦切角也相等;

例如图6－7,AB为切线,

则有：∠C＝∠BAE,∠BAE＝∠D

∴∠C＝∠D

十二、和圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等;

推理：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比

例中项;

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的

两条线段长的比例中项;

推理：从圆外一点引两条割线,这

一点到每条割线与圆的交点的两条

线段长的积相等,如图6－8,若F为

切点

则有：AF2=AH·AC,AG·AB＝AF2

EM·MD=BM·MG

CN·NH=DN·NE

十三、圆和圆的位置关系如图6－9

若连心线长为d,两圆的半径分别为R,r,则：

1、两圆外离



d＞R＋r；

2、两圆外切



d=R＋r；

3、两圆相交



R－r＜d＜R＋rR＞r

4、两圆内切



d=R－r；R＞r

5、两圆内含



d＜R－r;R＞r

定理相交两圆的连心线垂直平

分丙两圆的公共弦;

如图6－10,O

1

,O

2

为圆心,

则有：AB⊥O

1

O

2

,且AB被O

1

O

2

平分

十四、两圆的公切线

和两个圆都相切的直线叫两圆

的公切线,两圆在公切线同旁时,叫外公切线,在公切线两旁时,叫内公切线,公切

线上两个切点的距离叫公切线的长;

如图6－11,若A、B、C、D为切点,则AB为内公切线长,CD为外公切线长

内外公切线中的重要直角三角形,如图6－12,OO

1

A为直角三角形;

d2=R－r2＋e2为外公切线长,

又如图6－13,OO

1

C为直角三角形;

d2＝R十r2＋e’2为内公切线长;

十五、相切在作图中的应用

生活、生产中常常需要由一条线线段或孤平滑地渡到另一条线上,通常称为圆

弧连接,简称连接,连接时,线段与圆弧,圆弧与圆弧在连接外相切,如图6－14

十六、正多边形和圆

各边相等,各角也相等的多边形叫正多边形;

定理：把圆分成nn＞3等分：

l依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；

2经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切

正n边形;

定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆;

正多边形的外接或内切圆的圆心叫正多边形的中心;外接圆的半径叫正多边

形的半径,内切圆的半径叫正多边形的边心距;

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等,叫正多边形的中心角;

正n边形的每个中心角等于

n

360

正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过

正n边形的中心;

若n为偶数,则正n边形又是中心对称图形,它的中心就是对称中心;

边数相同的正多边形相似,所以周长的比等于边长的比,面积的比等于边长平

方的比;

十七、正多边形的有关计算

正n边形的每个内角都等于

n

n180)2(

定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形;正

多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算;

十八、画正多边形

1、用量角器等分圆

2、用尺规等分圆

正三、正六、正八、正四及其倍数正多边形;

正五边形的近似作法；

二十、圆周长、弧长

1、圆周长C＝2πR；2、弧长

180

Rn

L





二十一、圆扇形,弓形的面积

l、圆面积：2RS；

2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形;

在半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积S

扇形

的计算公式为：

360

2Rn

S





扇形

注意：因为扇形的弧长

180

Rn

L



;所以扇形的面积公式又可写为LRS

2

1



扇形

3弓形的面积

由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形;

弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上

求得;如果弓形的弧是劣弧,则弓形面积等于扇形面积减去

三角形面积;若弓形的弧是优弧,则弓形面积等于扇形面积

加上三角形面积;

二十二、圆柱和圆锥的侧面展开图

1、圆柱的侧面展开图

圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的,如把矩形

ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一个圆柱;图6一16

AB叫圆柱的轴,圆柱侧面上平行轴的线段CD,C’D’,…都叫圆柱的母线;

圆柱的母线长都相等,等于圆柱的高;

圆柱的两个底面是平行的;

圆柱的侧面展开图是一个长方形,如图6－17,其中AB=高,AC=底面圆周长;

∴S

侧面

=2πRh

圆柱的轴截面是长方形一边长为h,一边长为2R

R是圆柱底半径,h是圆柱的高;见图6－8

2圆锥的侧面展开图

圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到;

如图6－19,把Rt△OAS绕直线SO旋

转一周得到的图形就是圆锥;

旋转轴SO叫圆锥的轴,连通过底面圆

的圆心,且垂直底面;

连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的

SA、SA’、…都叫圆锥的母线,母线长都相

等;

圆锥的侧面展开图如图6一19是一个

扇形SAB

半径是母线长,AB是2πR;底面的周长,所以圆锥侧面积为S

侧面

=πRL