椭圆知识点总结

高中数学椭圆的经典知识总结

椭圆知识点总结

1.椭圆的定义：1,2

（1）椭圆：焦点在

x

轴上时1

2

2

2

2



b

y

a

x

（222abc

）cos

sin

xa

yb









（参数方程，其中为

参数），焦点在

y

轴上时

2

2

2

2

b

x

a

y

＝1（0ab）。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？

（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

2.椭圆的几何性质：

（1）椭圆（以1

2

2

2

2



b

y

a

x

（0ab）为例）：①范围：

,axabyb

；②焦点：两个

焦点

(,0)c

；③对称性：两条对称轴

0,0xy

，一个对称中心（0,0），四个顶点

(,0),(0,)ab

，

其中长轴长为2

a

，短轴长为2b；④准线：两条准线

2a

x

c

；⑤离心率：

c

e

a



，椭圆

01e，

e

越小，椭圆越圆；

e

越大，椭圆越扁。⑥通径

22b

a

2.点与椭圆的位置关系：（1）点

00

(,)Pxy在椭圆外

22

00

22

1

xy

ab

；

（2）点

00

(,)Pxy在椭圆上

2

2

0

2

2

0

b

y

a

x

＝1；

（3）点

00

(,)Pxy在椭圆内

22

00

22

1

xy

ab



3．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：0

直线与椭圆相交；（2）相切：0

直线与椭圆相切；（3）相离：0



直线与椭圆相离；

如:直线y―kx―1=0与椭圆

22

1

5

xy

m

恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）

∪（5，+∞））；

4、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转

化到相应准线的距离，即焦半径

0

redaex

，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。

如（1）已知椭圆

1

1625

22



yx上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：

10/3）；

（2）椭圆

1

34

22



yx

内有一点

)1,1(P

，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使

MFMP2

之值

最小，则点M的坐标为_______（答：

)1,

3

62

(

）；

5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：2

0

tan||

2

Sbcy





，

当

0

||yb即

P

为短轴端点时，

max

S的最大值为bc；

6、弦长公式：若直线

ykxb

与圆锥曲线相交于两点A、B，且

12

,xx分别为A、B的横坐标，

则AB＝2

12

1kxx，若

12

,yy分别为A、B的纵坐标，则AB＝

21

2

1

1yy

k



，若弦AB所

在直线方程设为

xkyb

，则AB＝2

12

1kyy

。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦

长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆

1

2

2

2

2



b

y

a

x

中，以

00

(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=－

0

2

0

2

ya

xb

；

如（1）如果椭圆

22

1

369

xy

弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：

280xy

）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

相交于A、B两点，且线段AB

的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：

2

2

）；（3）试确定m的取值范

围，使得椭圆

1

34

22



yx

上有不同的两点关于直线

mxy4

对称（答：

213213

,

1313











）；

特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问

题时，务必别忘了检验0！

椭圆知识点

1．如何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的

方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件ba,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确

定标准方程的类型。

2．椭圆标准方程中的三个量cba,,的几何意义

椭圆标准方程中，cba,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的

长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(ba，)0(ca，且

)(222cba。

可借助右图理解记忆：

显然：cba,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直

角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的

焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x，2y的分母

的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程

均不为零）CBACByAx,,(22是表示椭圆的条件

方程

CByAx22可化为1

22



C

By

C

Ax

，即1

22



B

C

By

A

C

x

，所以只有A、B、C同号，且A



B时，方

程表示椭圆。当

B

C

A

C

时，椭圆的焦点在

x

轴上；当

B

C

A

C

时，椭圆的焦点在y轴上。

5．求椭圆标准方程的常用方法：

①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程

中的参数cba,,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

共焦点，则c相同。与椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

)0(ba共焦点的椭圆方程可设为1

2

2

2

2







mb

y

ma

x

)(2bm，

此类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：

①若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线关于y轴对称；

②若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线关于x轴对称；

③若把曲线方程中的x、y同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。

8．如何求解与焦点三角形△PF

1

F

2

（P为椭圆上的点）有关的计算问题？

思路分析：与焦点三角形△PF

1

F

2

有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股

定理）、三角形面积公式

2121

sin

2

1

21

PFFPFPFS

FPF





相结合的方法进行计算解题。

将有关线段

2121

FFPFPF、、，有关角

21

PFF(

21

PFF

21

BFF)结合起来，建立

21

PFPF、

21

PFPF之间的关系.

9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？

长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率

)10(e

a

c

e

，因为222bac，0ca，

用

ba、

表示为

)10()(12e

a

b

e

。

显然：当

a

b

越小时，

)10(ee

越大，椭圆形状越扁；当

a

b

越大，

)10(ee

越小，椭圆形状越趋

近于圆。

椭圆

题型1:椭圆定义的运用

例1、已知

12

,FF

为椭圆

22

1

259

xy



的两个焦点，过

1

F的直线交椭圆于A、B两点若

22

12FAFB，则

AB

______。

例2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，

今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球

的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是

例3、如果方程

222xky

表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.

例4、已知P为椭圆

22

1

2516

xy



上的一点，

,MN分别为圆2

231xy和圆2

234xy

上的点，

则

PMPN

的最小值为

题型2：求椭圆的标准方程

例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.

(1)经过两点

)2,3(A

、

(23,1)B

；

(2)经过点(2，－3)且与椭圆

364922yx

具有共同的焦点.

（3）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4.

题型3:求椭圆的离心率（或范围）

例1、ABC中，．

030,2,3

ABC

AABS



若以

,AB

为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的离心率

为.

例2、过椭圆的一个焦点

2

F作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若

12

FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为

题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

例1、已知实数,xy满足

22

1

42

xy

,则22xyx的范围为

例2、已知P是椭圆

22

22

1

xy

ab

上一点，

12

,FF是椭圆的两个焦点，求

12

PFPF的最大值与最小值

例3、已知点,AB是椭圆

22

22

1

xy

mn

（0,0mn）上两点,且AOBO,则=

例4、如上图，把椭圆

22

1

2516

xy

的长轴AB分成8等份，过每个分点作

x

轴的垂线交椭圆的上半部分于

1,234567

,,,,,PPPPPPP七个点，

F

是椭圆的一个焦点，则1234567

PFPFPFPFPFPFPF

_____

题型5：焦点三角形问题

例1、已知

12

,FF为椭圆

22

1

94

xy

的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知

12

,,PFF为一个直角三角形的三个顶

点，且

12

PFPF,求1

2

PF

PF

的值；

例2、已知

12

,FF为椭圆C:

22

1

84

xy

的两个焦点，在C上满足

12

PFPF的点的个数为

例3、若

12

,FF为椭圆

22

1

94

xy

的两个焦点，p为椭圆上的一点，当

12

FPF为钝角时，点P横坐标的取值范

围为

例4、已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(

21

FF,且经过点（1，

3

2

）①求椭圆的方程;②设点P在椭圆上,且

1

21

PFPF,求cos

21

PFF.

题型6:三角代换的应用

例1、椭圆

22

1

169

xy

上的点到直线l:90xy的距离的最小值为___________．

例2、椭圆

22

1

169

xy

的内接矩形的面积的最大值为

题型7：直线与椭圆的位置关系的判断

例1、当

m

为何值时，直线yxm与椭圆

22

1

169

xy

相交？相切？相离？

例2、若直线)(1Rkkxy与椭圆1

5

22



m

yx

恒有公共点，求实数

m

的取值范围；

题型8：弦长问题

例3．求直线24yx被椭圆

224

1

99

xy

所截得的弦长.

例4、已知椭圆

2

21

2

x

y的左右焦点分别为F

1

,F

2

，若过点P（0，-2）及F

1

的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF

2

的面积；

题型9：中点弦问题

例5、求以椭圆

22

1

85

xy

内的点A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。

例6、中心在原点，一个焦点为

1

(0,50)F的椭圆截直线32yx所得弦的中点横坐标为

1

2

，求椭圆的方程．

例7、椭圆221mxny，与直线1xy相交于、两点，是的中点．若22AB，斜

率为

2

2

（O为原点），求椭圆的方程．

题型10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题

例6、设过点,Pxy的直线分别与

x

轴的正半轴和y轴的正半轴交于

A

、

B

两点，点Q与点P关于y轴对称，

O为坐标原点，若2BPPA，且1OQAB，求P点的轨迹方程;

15.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

2

2

。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保

持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。

（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。

基础巩固训练

1.如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线

1

AB与BF交于D,且

1

BDB,则椭圆的离心率

为

2.设

12

,FF为椭圆

2

21

4

x

y的两焦点，P在椭圆上，当

12

FPF面积为1时，

12

PFPF

的值为

3.椭圆

22

1

369

xy

的一条弦被4,2A平分,那么这条弦所在的直线方程是

4.在

ABC△

中，

90A

，

3

tan

4

B．若以,AB为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e

5.若

12

,FF为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若

3:2:1::

211221

PFFFPFFPF

,则此椭圆的离心率为

6.在平面直角坐标系中，椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的焦距为2，以O为圆心，

a

为半径的圆，过点

2

(,0)

a

c

作

圆的两切线互相垂直，则离心率

e

=．

综合提高训练

7、已知椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率

3

2

e．求椭圆方程；

8.已知A、B分别是椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的左右两个焦点，O为坐标原点，点P

2

1,

2











在椭圆上，线

段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。

（1）求椭圆的标准方程；（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求

sinsin

sin

AB

C



的值。

9.已知长方形ABCD,AB=22,BC=1.以AB的中点O为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy.

(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过点P(0,2)的直线l交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线l,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,

求出直线

l

的方程;若不存在,说明理由.

O

x

y

A

B

C

D

图8