绝对值符号

-.

-..

绝对值大全〔零点分段法、化简、最值〕

一、去绝对值符号的几种常用方法

解含绝对值不等式的根本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不

等式，而后，其解法与一般不等式的解法一样。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题

关键。

1利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即|x|=

(0)

(0)

xx

xx











，有|x|

(0)

(0)

cxcc

c













；

|x|>c

(0)

0(0)

(0)

xcxcc

xc

xRc

















或

2利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化|x|c(c>0)来解，如|

axb

|>c(c>0)可为

axb

>c或

axb

<－c；|

axb

|

b

集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论

“a≤|x|≤

b

a≤x≤

b

或－

b

≤x≤－a〞来求解，这是种典型的转化与化归的数学

思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项〞绝对值的不等式，利用|x|2=2x可在两边脱去绝对值符号来

解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式

两边变量与参变量的取值X围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进展分类讨论，

只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等

式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号

-.

-..

所谓零点分段法，是指：假设数

1

x，

2

x，……，

n

x分别使含有|x－

1

x|，|x－

2

x|，……，|x－

n

x|的代数式中相应绝对值为零，称

1

x，

2

x，……，

n

x为相应绝对值的零

点，零点

1

x，

2

x，……，

n

x将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到

代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得

到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分

段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要表达了化归、分类讨论等数学思想

方法，它可以把求解条理化、思路直观化。

5利用数形结合去掉绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为

数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用

于||||xaxbm或||||xaxbm(m为正常数)类型不等式。对

||||axbcxdm(或

二、如何化简绝对值

绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的

数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值

符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内局部的正负，借以去掉绝

对值符号的方法大致有三种类型。

〔一〕、根据题设条件

例1：设化简的结果是〔〕。

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

思路分析：由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待

合并整理后再用同样方法化去．

解：

∴应选〔B〕．

归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去

掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．

-.

-..

〔二〕、借助数轴

例2：实数a、b、c在数轴上的位置如下图，那么代数式的值

等于〔〕．

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝

对值符号扫清了障碍．

解：原式

∴应选〔C〕．

归纳点评这类题型是把条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：

1．零点的左边都是负数，右边都是正数．

2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．

3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能沉着自如地解决问题了．

〔三〕、采用零点分段讨论法

例3：化简

思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采

用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x是不断变化的，所

以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论．

解：令得零点：；令得零点：，把数轴上的数分为三个

局部〔如图〕

①当时,

∴原式

②当时，，

∴原式

③当时，，

-.

-..

∴原式

∴

归纳点评：虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正

是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：

1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点〔不一定是两个〕．

2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为假设干个区段，使在各区段内每

个绝对值符号内的局部的正负能够确定．

3．在各区段内分别考察问题．

4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．

误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免

得出错误的结果．

三、带绝对值符号的运算

在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们

无视。其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞

错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：

〔一〕、要理解数a的绝对值的定义。

在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的

距离叫做数a的绝对值。〞学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，

那么，不管数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。

〔二〕、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。

从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定

是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样

去表示a的相反数〔可表示为“-a〞〕，以及绝对值符号的双重作用〔一是非负的作用，二是

括号的作用〕。

-.

-..

〔三〕、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。

1、对于形如︱a︱的一类问题

只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。

当a>0时，︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它本身)；

当a=0时，︱a︱=0(性质2：0的绝对值是0)；

当a<0时；︱a︱=–a(性质3：负数的绝对值是它的相反数)。

2、对于形如︱a+b︱的一类问题

首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能

快速去掉绝对值符号进展化简。

当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b)=a+b(性质1：正数的绝对值是它本身)；

当a+b=0时，︱a+b︱=(a+b)=0(性质2：0的绝对值是0)；

当a+b<0时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b(性质3：负数的绝对值是它的相反数)。

3、对于形如︱a-b︱的一类问题

同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b的3种情况，根据绝对值的3个性质，去

掉绝对值符号进展化简。

但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断

出a与b的大小即可〔不管正负〕。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，

︱a-b︱=〔a-b〕=a-b，︱b-a︱=〔a-b〕=a-b。

口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。

4、对于数轴型的一类问题，

根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边

〔不管正负〕，便可得到︱a-b︱=〔a-b〕=a-b，︱b-a︱=〔a-b〕=a-b。

5、对于绝对值符号前有正、负号的运算

非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负

号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！

-.

-..

6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算

万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比拟，大于0直接去绝

对值号，小于0的整体前面加负号。

四、去绝对值化简专题练习

〔1〕设化简的结果是〔B〕。

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

(2)实数a、b、c在数轴上的位置如下图，那么代数式的值等于

〔C〕。

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

(3)，化简的结果是x-8。

(4)，化简的结果是-x+8。

(5)，化简的结果是-3x。

(6)a、b、c、d满足且，那么

a+b+c+d=0〔提示：可借助数轴完成〕

(7)假设，那么有〔A〕。

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

(8)有理数a、b、c在数轴上的位置如下图，那么式子化简结果为

〔C〕．

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

(9)有理数a、b在数轴上的对应点如下图，那么以下四个式子，中

负数的个数是〔B〕．

-.

-..

〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3

(10)化简=

(1)-3x(x<-4)(2)-x+8(-4≤x≤2)(3)3x(x>2)

(11)设x是实数，以下四个结论中正确的选项是〔D〕。

〔A〕y没有最小值

〔B〕有有限多个x使y取到最小值

〔C〕只有一个x使y取得最小值

〔D〕有无穷多个x使y取得最小值

五、绝对值培优教案

绝对值是初中代数中的一个根本概念，是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的根

底．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程〔组)、解不等

(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人

手：

l．绝对值的代数意义：



















)0(

)0(0

)0(

aa

a

aa

a

2．绝对值的几何意义从数轴上看，a表示数a的点到原点的距离(长度，非负)；

ba表示数a、数

b

的两点间的距离．

3．绝对值根本性质

①非负性：0a；②baab；③)0(b

b

a

b

a

；④22

2aaa．

培优讲解

〔一〕、绝对值的非负性问题

【例1】假设3150xyz，那么

xyz

。

总结：假设干非负数之和为0，。

〔二〕、绝对值中的整体思想

-.

-..

【例2】4,5ba，且abba，那么

ba

=．

变式1.假设|m－1|=m－1，那么m_______1;假设|m－1|>m－1，那么m_______1;

〔三〕、绝对值相关化简问题〔零点分段法〕

【例3】阅读以下材料并解决有关问题：

我们知道





0

0

0

0





















x

x

x

x

x

x，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化

简代数式21xx时，可令

01x

和

02x

，分别求得2,1xx〔称2,1分

别为1x与2x的零点值〕。在有理数X围内，零点值

1x

和

2x

可将全体有理数分

成不重复且不遗漏的如下3种情况：

〔1〕当

1x

时，原式=1221xxx;

〔2〕当

21x

时，原式=321xx；

〔3〕当

2x

时，原式=

1221xxx

。

综上讨论，原式=





2

21

1

12

3

12





















x

x

x

x

x

通过以上阅读，请你解决以下问题：

（1）分别求出2x和4x的零点值；〔2〕化简代数式42xx

变式1.化简(1)12x；(2)31xx；

-.

-..

变式2.23xx的最小值是a，23xx的最大值为

b

，求

ba

的值。

〔四〕、ba表示数轴上表示数a、数

b

的两点间的距离．

【例4】〔距离问题〕观察以下每对数在数轴上的对应点间的距离4与2，3与5，2与

6

，4与3.

并答复以下各题：

〔1〕你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___.

〔2〕假设数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，那么A与B两点间的距离

可以表示为______________.

〔3〕结合数轴求得23xx的最小值为，取得最小值时x的取值X围为___.

〔4〕满足341xx的x的取值X围为______.

（5）假设

1232008xxxx

的值为常数，试求

x

的取值X围．

〔五〕、绝对值的最值问题

【例5】〔1〕当x取何值时，3x有最小值？这个最小值是多少？〔2〕当x取何值时，

25x有最大值？这个最大值是多少？〔3〕求54xx的最小值。〔4〕求

987xxx的最小值。

【例6】．1,1yx，设421xyyyxM，求M的最大值与最小值．

-.

-..

课后练习：

1、假设

|1|ab

与

2(1)ab

互为相反数，求

321ab

的值。

2．假设

1ba

与

2)1(ba

互为相反数，那么

a

与

b

的大小关系是()．

A．

ba

B．

ba

C．

ba

D．

ba

3．数轴上的三点A、B、C分别表示有理数

a

，1，一l，那么

1a

表示()．

A．A、B两点的距离B．A、C两点的距离

C．A、B两点到原点的距离之和D．A、C两点到原点的距离之和

4.利用数轴分析

23xx

，可以看出，这个式子表示的是

x

到2的距离与

x

到

3

的距离

之和，它表示两条线段相加：⑴当

x

时，发现，这两条线段的和随

x

的增大而越来越大；⑵

当

x

时，发现，这两条线段的和随

x

的减小而越来越大；⑶当

x

时，发现，无论

x

在这

个X围取何值，这两条线段的和是一个定值，且比⑴、⑵情况下的值都小。因此，总结，

23xx

有最小值，即等于到的距离

5.利用数轴分析

71xx

，这个式子表示的是

x

到

7

的距离与

x

到1的距离之差它表示

两条线段相减：⑴当

x

时，发现，无论

x

取何值，这个差值是一个定值；⑵当

x

时，发

现，无论

x

取何值，这个差值是一个定值；

⑶当

x

时，随着

x

增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。

因此，总结，式子

71xx

当

x

时，有最大值；当

x

时，有最小值；

9．设

0cba

，

0abc

，那么

c

ba

b

ac

a

cb









的值是〔〕．

A．-3B．1C．3或-1D．-3或1

10．假设

2x

，那么

x11

；假设

aa

，那么

21aa

．

12．设

cba、、

分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且

cba

，那么

accbba

可能取得的最大值是．

4、当b为______时，5-

12b

有最大值，最大值是_______

-.

-..

当a为_____时，1＋|a+3|有最小值是_________.

5、当a为_____时，3＋|2a－1|有最小值是________；当b为______时，1-|2＋b|有最大值

是_______.

2、b为正整数，且a、b满足|2a－4|＋b＝1，求a、b的值。

7.化简：⑴

13xx

；⑵

213xx

4、如果2x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4恒为常数，求x的取值X围。

7、假设

|5||2|7xx

，求

x

的取值X围。