因式分解的步骤

因式分解的16种方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法.而在竞赛上，又有

拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多

项式法，余数定理法，求根公式法,换元法,长除法，除法等。

注意三原则

1分解要彻底2最后结果只有小括号

3最后结果中多项式首项系数为正（例如：）

分解因式技巧

1。分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2。分解因式技巧掌握：

①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法

⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积

的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同

的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“—”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出

“-”号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤:

(1）找出公因式;

(2）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的

商即是提公因式后剩下的

一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.

例如：-am+bm+cm=-m（a—b—c）；

a（x—y）+b(y-x）=a(x-y)—b(x—y）=（x—y）（a—b).

注意：把2+变成2（+)不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。

平方差公式：=（a+b）（a—b）；完全平方公式:±2ab＋＝

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的

平方和的形式，另一项是这两个数(或式）的积的2倍.

立方和公式:=(a+b）（-ab+）；

立方差公式：=(a——b）(+ab+);

完全立方公式:±3b＋3a±=（a±b)．

公式：++-3abc=（a+b+c)（++-ab-bc-ca）

例如：+4ab+4=(a+2b)。

⑶分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。

比如：ax+ay+bx+by=a（x+y）+b（x+y)=(a+b）（x+y）

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配,立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做.

ax+ay+bx+by=x(a+b）+y（a+b）=（a+b)(x+y)

几道例题：

1.5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b）+3y(a+b)=（5x+3y）（a+b）

说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成

一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2.x-+x—1

解法：=(x-）+（x—1）=(x-1)+（x—1）=(x—1)（+1)

利用二二分法,提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。

3。-x-y—y

解法:=（-y)—(x+y)=(x+y）(x-y）-（x+y)=(x+y）(x-y-1)

利用二二分法,再利用公式法a-b=（a+b）（a—b），然后相合解决。

⑷十字相乘法

这种方法有两种情况。

①+（p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因

数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：+（p+q)x+pq=(x+p)(x+q）．

②k+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ac,n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx+mx+n=（ax+b）（cx+d)．

图示如下：

ad例如：因为1—3

××

cd72—3×7=—21，1×2=2，且2—21=—19，

所以7-19x—6=（7x+2)（x-3）．

十字相乘法口诀：首尾分解,交叉相乘，求和凑中

⑸裂项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项),使原式适合于提公因式

法、运用公式法或分组分解法进行分解。这钟方法的实质是分组分解法.要注意，必须在与原多项式

相等的原则下进行变形。

例如：bc（b+c）+ca（c-a）—ab（a+b）

=bc(c—a+a+b)+ca（c—a）—ab（a+b）=bc（c-a）+ca（c—a）+bc(a+b)—ab（a+b)

=c（c—a)(b+a)+b(a+b)（c—a)=(c+b）（c-a）（a+b）．

⑹配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式,就

能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多

项式相等的原则下进行变形。

例如：+3x—40=+3x+2.25-42.25==(x+8）（x-5)．

⑺应用因式定理

对于多项式f（x）=0，如果f（a）=0,那么f(x)必含有因式x—a．

例如：f（x）=+5x+6，f（—2）=0，则可确定x+2是+5x+6的一个因式。(事实上,+5x+6=

（x+2）(x+3)．)

注意：1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为

常数项约数，p最高次项系数约数；

2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数

⑻换元法

有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最

后再转换回来，这种方法叫做换元法。

注意:换元后勿忘还元.

例如在分解（+x+1）（+x+2)-12时，可以令y=+x,则

原式=（y+1）（y+2）—12=y+3y+2—12=y+3y-10=（y+5）（y-2)

=（+x+5）（+x—2）=(+x+5）(x+2)（x-1)．

⑼求根法

令多项式f(x）=0，求出其根为x1，x，x3，……xn，

则该多项式可分解为f（x）=(x—x1）（x—x2）（x—x3)……（x—xn）．

例如在分解2x^4+7x^3-2x^2—13x+6时，令2x^4+7x^3-2x-13x+6=0,

则通过综合除法可知，该方程的根为0.5，—3，-2，1．

所以2x^4+7x^3-2—13x+6=(2x-1)（x+3）(x+2）（x-1)．

⑽图象法

令y=f（x），做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3，……xn,则多项式

可因式分解为f（x)=f(x)=(x—x1)(x-x2)(x—x3)……（x—xn）．

与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

例如在分解x^3+2—5x—6时，可以令y=x^3；+2-5x-6.

作出其图像，与x轴交点为—3，—1，2

则x^3+2—5x-6=(x+1）(x+3）(x-2）．

⑾主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.

⑿特殊值法

将2或10代入x,求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因

数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x,即得因式分解式。

例如在分解x^3+9+23x+15时，令x=2，则

x^3+9+23x+15=8+36+46+15=105，

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7．

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，

则x^3+9+23x+15可能等于(x+1）（x+3)(x+5），验证后的确如此。

⒀待定系数法

首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分

解。

例如在分解x^4—x^3-5-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个

二次因式。

于是设x^4—x^3—5-6x—4=(+ax+b）（+cx+d）

=x^4+（a+c）x^3+(ac+b+d）+(ad+bc）x+bd

由此可得a+c=—1，

ac+b+d=—5，

ad+bc=—6，

bd=-4．

解得a=1，b=1，c=—2，d=—4．

则x^4—x^3—5x—6x-4=(x+x+1)（x—2x—4）．

⒁双十字相乘法

双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。

双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下：

ax+bxy+cy+dx+ey+f

x、y为未知数，其余都是常数

用一道例题来说明如何使用。

例:分解因式:x+5xy+6y+8x+18y+12．

分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

解：

原式=(x+2y+2)（x+3y+6）．

双十字相乘法其步骤为：

①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x+5xy+6y=（x+2y）（x+3y)；

②先依一个字母(如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y+18y+12=（2y+2）

（3y+6）；

③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省,否则容易出

错。

多项式因式分解的一般步骤

①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;

②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

也可以用一句话来概括:“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合

适。”

几道例题

1．分解因式(1+y）—2x（1+y)+x(1—y)．

解：原式=(1+y)+2（1+y)x（1-y)+x（1-y）—2(1+y)x(1-y)—2x(1+y）（补项)

=［(1+y）+x(1—y）］—2(1+y)x(1-y)—2x（1+y)（完全平方）

=[(1+y）+x(1—y）］—（2x）

=［（1+y）+x(1-y)+2x]［(1+y）+x（1—y）—2x］

=(x-xy+2x+y+1）(x-xy—2x+y+1)

=[(x+1)-y(x—1）][(x—1)—y(x-1）］

=（x+1)（x+1—xy+y）（x-1）(x-1—xy—y)．

2．求证：对于任何实数x，y，下式的值都不会为33:

解：原式=（x^5+3x^4y)—（5x^3y+15x^2y^3)+（4xy^4+12y^5）

=x^4(x+3y）-5xy(x+3y)+4y^4（x+3y）

=（x+3y）(x^4-5xy+4y^4)

=(x+3y）(x—4y）(x-y)

=（x+3y）(x+y）（x—y）(x+2y）(x-2y)．

当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y，x—y,x+2y,x-2y互不相同，而33

不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立.

3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c+a+2ab—2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形.

分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解.

证明：∵-c+a+2ab—2bc=0，

∴（a+c)(a—c）+2b(a-c)=0．

∴（a—c)(a+2b+c）=0．

∵a、b、c是△ABC的三条边，

∴a＋2b＋c＞0．

∴a－c＝0，

即a＝c，△ABC为等腰三角形。

4．把—12x^2n×y^n+18x^（n+2)y^（n+1）-6x^n×y^（n-1）分解因式.

解:-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^（n+1）-6x^n×y^(n—1)

=-6x^n×y^(n—1）（2x^n×y—3x^2y^2+1)．

四个注意

初中的数学主要是分代数和几何两大部分，两者在中考中所占的比例，代数略大于几何

代数主要有以下几点：

1.有理数的运算,主要讲有理数的三级运算（加减乘除和乘方开方）在这里要注意数字和字母的符号

意识，就是，不要受小学数字的影响，一看见字母就不会做题了。

2。整式的三级运算,注意符号意识的培养，还有就是因式分解,这和整式的乘法是互换的，注意像

平方差公式和完全平方公式的正用、逆用和变形用。

3。方程，会一元一次、二元一次、三元一次、一元二次四种方程的解法和应用，记住，方程是一

种方法,是一种解题的手段.

4。函数，会识别一次函数、二次函数、反比例函数的图像,记住他们的特征，要会根据条件来应

用。尤其要注意二次函数,这是中考的重点和难点。应用题里会拿它来出一道难题的

几何主要有以下几点：

1。识别各种平面图形和立体图形,这你应该非常熟悉.

2.图形的平移、旋转和轴对称，这个考察你的空间想象的能力，多做一些题。

3。三角形的全等和相似,要会证明，注意要有完整的过程和严密的步骤,背过证明三角形全等的五种

方法和证明相似的四种方法;还有像等腰三角形、直角三角形和黄金三角形的性质，要会应用，这在

证明题中会有很大的帮助.

4。四边形，把握好平行四边形、长方形、正方形、菱形和梯形的概念,选择体里会拿着它们之间

的微小差异而大做文章，注意它们的判定和性质，证明题里也会考到。

5。圆，我这里没有细学，因为这里不是我们中考的重点,但是圆的难度会很大，它的知识点很多、很

碎，圆的难题就是由许许多多细小的点构成的.