第二数学归纳法

《数学归纳法》教学设计

第2课时

1．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能

用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

2．通过数学归纳法的学习，体会从特殊到一般的思想方法．

教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.

PPT课件．

【新课导入】

问题1：阅读课本第47~50页，回答下列问题：

（1）本节将要探究哪类问题？

（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？

师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．

预设的答案：（1）本节课主要学习数学归纳法．（2）前面学生已经学了数学归纳法．本

节课在上节课的基础上继续学习数学归纳法，学习利用数学归纳法证明与正整数有关的命

题．培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美．发展学生逻辑

推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养．

问题2：什么叫数学归纳法？

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明

当

0

nn（N

0

n

）时命题成立；（2）（归纳递推）以“当n=k（Nk，k≥

0

n）时命题成

立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从

0

n开

始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.特别地，当

1

0

n时，命题就对

从1开始的正整数成立，也就是对所有正整数都成立.

◆教学过程

◆课前准备

◆教学重难点

◆

◆教学目标

设计意图：通过复习数学归纳法的定义，温故知新，引入新课．

【探究新知】

知识点1利用数学归纳法证明与正整数有关的命题

首先，数学归纳法用来证明一个与正整数n有关的命题，证明的时候需要两个步骤：一

是证明当

0

nn时命题成立，它为后续的证明奠定了基础，故称之为归纳奠基；二是假设

n=k时命题成立，证明n=k+1时也成立，也就是要证明一个递推关系，故称这一步为归纳递

推.这两个步骤缺一不可，最终证明对所有正整数n，命题都成立.

设计意图：进一步理解数学归纳法的证题步骤．进一步说明可用数学归纳法证明关于正

整数有关的命题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．

思考：用数学归纳法证明命题：

111

1223(1)1

n

nnn





*()Nn．

下面的证明过程是否正确，若不正确，请说明理由并给出正确解法．

证明：（i）当1n时，左边

1

12



2

1

，右边

11

112





，命题成立．

（ii）假设当kn时命题成立，即

111

1223(1)1

k

kkk





，

则当1kn时，

(1)()()()

1223(1)(1)(2)223112kkkkkkkk





11

1

2(1)1

k

kk







，命题也成立．

根据（i）（ii）可以断定，

111

1223(1)1

n

nnn





对任何*Nn都成立．

师生活动：让学生根据数学归纳法的证题步骤来回答本题．

预设的答案：不正确．没有用上“归纳假设”，此法不是数学归纳法．

需要将“则当1kn时，”后面改为如下过程：

1111

1223(1)(1)(2)kkkk





1

1(1)(2)

k

kkk





(2)1

(1)(2)

kk

kk







2(1)

(1)(2)

k

kk







1

(1)1

k

k







，等式也成立．

说明：缺了第（ii）步，就没有了归纳递推的过程；在证明1nk时命题也成立的过

程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法了．强调：第（i）步成立是推理的基

础，第（ii）步是推理的依据，结论使整个数学归纳法的过程顺利完成，所以“两个步骤和一

个结论”缺一不可．

教师总结：用数学归纳法证明命题时，“两个步骤和一个结论”缺一不可.即递推基础不

可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．

设计意图：通过该题，让学生进一步体会数学归纳法的证题步骤．

【巩固练习】

例1.利用数学归纳法证明

2222

1

123121

6

nnnn

对任意正整数n成立．

师生活动：让学生板演，让学生修改，教师点评完善．

预设的答案：证明：（1）当

1n

时，左边=右边，命题成立．

（2）假设当

nk

时，命题成立，即2222

1

123121

6

kkkk

．

当

1nk

时，左边21

1211

6

kkkk

2

1

2761

6

kkk

1

2231

6

kkk



1

12211

6

kkk





右边

因此，若

nk

时命题成立，可推出

1nk

时命题成立．

综合（1）（2）步，可知命题对任意正整数n成立．

设计意图：学生通过运用数学归纳法，模仿格式规范证明，检验数学归纳法步骤掌握情

况，在证明过程中，培养严谨的数学推理能力．

例2已知数列｛a

n

}满足a

1

=0,2a

n+1

-a

n

a

n+1

=1(nN*),试猜想数列｛a

n

}的通

项公式，并用数学归纳法加以证明．

师生活动：先将数列｛a

n

}的递推关系2a

n+1

-a

n

a

n+1

=1化为

1

1

2n

n

a

a





（nN*).让学生通

过计算a

2

,a

3

,a

4

,a

5

的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想．

预设的答案：由2a

n+1

-a

n

a

n+1

=1,可得

1

1

2n

n

a

a





(nN*).

由a

1

=0,可得

2

11

202

a



,

同理可得

3

12

1

3

2

2

a



,

4

13

2

4

2

3

a



,

5

14

3

5

2

4

a



归纳上述结果，猜想

1

n

n

a

n





(nN*).①

下面用数学归纳法证明这个猜想．

（1)当n=1时，①式左边＝a

1

=0,右边＝

11

0

1





,猜想成立．

（2)假设当n=k(kN*)时，①式成立，即

1

k

k

a

k





,

那么

1

11(1)1

1

211

2

k

k

kk

a

k

akk

k













,

即当n=k+1时，猜想也成立．

由（1)(2)可知，猜想对任何nN*都成立．

设计意图：通过该典型例题，让学生明白可以利用归纳、猜想、数学归纳法证明来探求

一类数列的通项公式．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．

例3设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1,1+x,(1+x)2,···,(1+x)n

-1,...

的前n项和为S

n

,试比较S

n

与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

师生活动：学生分组讨论，派代表发言，教师完善．

预设的答案：解法1:由已知可得

S

n

=1+(1+x)+(1+x)2+···+(1+x)n

-1.

当n=2时，S

2

=1+(1+x)=2+x,由x>0,可得

S

2

>2;

当n=3时，S

3

=1+(1+x)+(1+x)2=3+3x+x2,由x>0,可得

S3>3.

由此，我们猜想，当xR*,nN*且n>1时，S

n

>n.

下面用数学归纳法证明这个猜想．

（1)当n=2时，由上述过程知，不等式成立．

（2)假设当n=k(kN*，且k≥2)时，不等式成立，即

S

k

>k,

由x>0,可得1+x>1,所以

（1+x)k>1.

于是

S

k+1

=S

k

+(1+x)k＞k+(1+x)k>k+1,

所以，当n=k+1时，不等式也成立．

由（1)(2)可知，不等式S

n

>n对任何大于1的正整数n都成立．

解法2:显然，所给数列是等比数列，公比为1+x,于是

S

n

=1+(1+x)+(1+x)2+··+(1+x)n

-1

1[1(1)](1)1

1(1)

nnxx

xx







．

当n=2时，S

2

=

2(1)1x

x



=x+2,由x>0,可得

S

2

>2;

当n=3时，S

3

=

3(1)1x

x



=x2+3x+3,由x>0,可得

S

3

>3.

由此，我们猜想，当x>0,nN*,且n>1时，都有S

n

>n.

下面用数学归纳法证明这个猜想．

（1)当n=2时，由上述过程知，不等式成立．

（2)假设当n=k(kN*,且k≥2)时，不等式S

k

>k成立，即

(1)1kx

k

x





由x>0,知

(1)1kxkx

.

所以

S

k+1

=1+(1+x)+(1+x)2+·+(1+x)k

1(1)1kx

x





(1)(1)1kxx

x



1

(1)(1)1kxx

x





＝xk+k+1.

又x>0,所以

S

k+1

>k+1.

所以，当n=k+1时，不等式也成立．

由（1)(2)可知，不等式S

n

>n对任何大于1的正整数n都成立．

设计意图：通过典型例题，帮助学生掌握数学归纳法在证明与正整数有关的不等式命

题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．

方法总结：该问题中涉及两个字母x和n,x是正实数，n是大于1的正整数．一种思路

是不求和，而直接通过n取特殊值比较S

n

与n的大小关系，并作出猜想；另一种思路是

先由等比数列的求和公式求出S

n

,再通过n取特殊值比较S

n

与n的大小关系后作出猜

想．两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想．

例4是否存在常数,,abc使得等式

)(

12

)1(

)1(43322122222cbnan

nn

nn





对于一切正整数n都成立，并证明你的结论．

师生活动：教师先分析，然后学生分组讨论，派代表发言，教师进一步完善．

预设的答案：假设存在符合条件的常数,,abc，则将1,2,3n代入得





1

4

6

3

1

224211

2

10

7093

abc

a

abcb

c

acc

































，于是对于1,2,3n，有

22222

(1)

122334(1)(31110)

12

nn

nnnn





下证上述等式对于一切正整数n都成立：

①当n=1时，由上述知等式成立；

②假设当n=k时，22222

(1)

122334(1)(31110)

12

kk

kkkk



，则

当n=k+1时，

左边2

2222122334(1)12kkkk

2

(1)

(31110)

12

kk

kk



212kk







2

2

1212

3

1212

kkkk

kkkk









即当n=k+1时等式成立；

由①②得，等式对于一切正整数n都成立，即存在常数3,11,10abc使得等式成立.

设计意图：通过典型例题，帮助学生掌握数学归纳法在证明关于正整数有关的命题．发

展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．

方法总结：对于探索性命题，一般是先假设存在，按条件求解，求得出来就存在，求不

出来就不存在．

练习：教科书

P51

练习

1

、

2

、

3

、

4

设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻

辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．

【课堂总结】

1．板书设计：

4.4数学归纳法（2）

一、探索新知二、初步应用

1．数学归纳法的应用例1

知识讲解1：例2

例3

例4

2．总结概括：

通过本节课的学习：

问题1.你能说出数学归纳法的步骤有哪些？

问题2.如何用数学归纳法探求数列的通项公式？

问题3.如何用数学归纳法处理与正整数有关的不等式的证明问题？

师生活动：学生总结，老师适当补充.

设计意图：利用问题串，帮助学生回顾本节课知识要点．通过总结，让学生进一步巩固

本节所学内容，提高概括能力．

3．课堂作业：教科书P51习题4.43、4、5

【目标检测设计】

1

．用数学归纳法证明

111

1

2321n

n



（*Nn，2n）时，第一步应验证（）

A

．

1

12

2

B

．

11

12

23

C

．

11

13

23

D

．

111

13

234



设计意图：进一步熟悉用数学归纳法证明不等式的步骤；同时，在证明过程中，培养学生逻

辑推理能力．

2．证明：“2

33332

1

1231

4

nnn

对任意的正整数n成立”

设计意图：进一步巩固用数学归纳法证明与正整数有关的命题的步骤；在证明过程中，培养

学生逻辑推理能力．

3

．已知数列

n

a

中

1

2a

，1

1

(2)

21

n

n

n

a

an

a









（

1

）求

2

a

，

3

a

，

4

a

的值；

（

2

）猜测

n

a

的表达式，并用数学归纳法证明

.

设计意图：进一步巩固用归纳、猜想、数学归纳法证明来探求一类数列的通项公式的方法和

步骤；进一步培养学生数学运算、数学抽象和逻辑推理能力．

参考答案：

1

．

B

用数学归纳法证明

111

1(N

2321n

nn







，

2)n≥

时，第一步应验证

2n时是否成立，即不等式为：

11

12

23



；故选B．

2．证明：（1）当

1n

时，左边3211右边，结论成立；

（2）假设当

nk

时，命题成立，即

2

33332

1

1231

4

kkk

当

1nk

时，左边3

33331231kk

23

2

1

11

4

kkk2

2

1

144

4

kkk

221

12

4

kk

右边

因此，若

nk

时命题成立，可推出

1nk

时命题成立．

由（1）、（2）可得，2

33332

1

1231

4

nnn

对任意正整数n成立．

3

．解：（

1

）因为

1

2a

，1

1

(2)

21

n

n

n

a

an

a









，

所以

1

1

2

22

212215

a

a

a





，同理

3

2

2

5

2

9

21

5

a



，

3

2

2

9

2

13

21

9

a



，

即

2

2

5

a

，

3

2

9

a

，

4

2

13

a

；

（

2

）猜想

2

43n

a

n





，

证明如下：

①当1n时，

1

2a

，显然满足题意，

②设

,(2nkk

且kN)

时，

2

43k

a

k





，

则

1

2

22

43

2

21414(1)3

21

43

k

k

k

a

k

a

akk

k













，

即当1nk时，等式也成立，

综上可得

2

43n

a

n





.