反比例函数教案

第二十六章反比例函数

26．1．1反比例函数的意义

一、教学目的

1．使学生理解并驾驭反比例函数的概念

2．能推断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式

3．能依据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想

二、重、难点

1．重点：理解反比例函数的概念，能依据已知条件写出函数解析式

2．难点：理解反比例函数的概念

3．难点的打破方法：

（1）在引入反比例函数的概念时，可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等

相关学问，这样以旧带新，互相比照，能加深对反比例函数概念的理解

（2）留意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式，等号左边是函数y，等号右边

是一个分式，自变量x在分母上，且x的指数是1，分子是不为0的常数k；看自变量x的

取值范围，由于x在分母上，故取x≠0的一实在数；看函数y的取值范围，因为k≠0，且

x≠0，所以函数值y也不行能为0。讲解时可比照正比例函数y＝kx（k≠0），比拟二者解

析式的一样点和不同点。

（3）（k≠0）还可以写成1kxy（k≠0）或xy＝k（k≠0）的形式

三、课堂引入

1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？

2、体育课上，教师测试了百米赛跑，那么，时间及平均速度的关系是怎样的？

3、阅读书P2思索题

四、例习题分析

例1．P3

分析：因为y是x的反比例函数，所以先设，再把x＝2和y＝6代入上式求出常数k，

即利用了待定系数法确定函数解析式。

例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数

（1）（2）（3）xy＝21（4）（5）

（6）（7）y＝x－4

分析：依据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成（k为常数，k≠0）的形式，

这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是，分子不是常数，

只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式

例2．（补充）当m取什么值时，函数23)2(mxmy是反比例函数？

分析：反比例函数（k≠0）的另一种表达式是1kxy（k≠0），后一种写法中x的次

数是－1，因此m的取值必需满意两个条件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特殊留意不要遗

漏k≠0这一条件，也要防止出现3－m2＝1的错误。

解得m＝－2

例3．（补充）已知函数y＝y

1

＋y

2

，y

1

及x成正比例，y

2

及x成反比例，且当x＝1时，

y＝4；当x＝2时，y＝5

（1）求y及x的函数关系式

（2）当x＝－2时，求函数y的值

分析：此题函数y是由y

1

和y

2

两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先依据题意

分别设出y

1

、y

2

及x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。

这里要留意y

1

及x和y

2

及x的函数关系中的比例系数不肯定一样，故不能都设为k，要用

不同的字母表示。

略解：设y

1

＝k

1

x（k

1

≠0），（k

2

≠0），则，代入数值求得k

1

＝2，

k

2

＝2，则，当x＝－2时，y＝－5

五、随堂练习

1．苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y及x之间的函数关系式为

2．若函数28)3(mxmy是反比例函数，则m的取值是

3．矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y及x的函数解析式为

4．已知y及x成反比例，且当x＝－2时，y＝3，则y及x之间的函数关系式是，

当x＝－3时，y＝

5．函数中自变量x的取值范围是

六、课后练习

已知函数y＝y

1

＋y

2

，y

1

及x＋1成正比例，y

2

及x成反比例，且当x＝1时，y＝0；

当x＝4时，y＝9，求当x＝－1时y的值

答案：y＝4

26．1．2反比例函数的图象和性质（1）

一、教学目的

1．会用描点法画反比例函数的图象

2．结合图象分析并驾驭反比例函数的性质

3．体会函数的三种表示方法，领悟数形结合的思想方法

二、重点、难点

1．重点：理解并驾驭反比例函数的图象和性质

2．难点：正确画出图象，通过视察、分析，归纳出反比例函数的性质

3．难点的打破方法：

画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的根本步骤，即：列表、描点、

连线，其中列表取值很关键。反比例函数（k≠0）自变量的取值范围是x≠0，所以取值时

应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越准

确。连线时要告知学生用平滑的曲线连接，不能用折线连接。教学时，教师要带着学生一起

画，留意引导，刚好纠错。

在探究反比例函数的性质时，可结合正比例函数y＝kx（k≠0）的图象和性质，来扶植

学生视察、分析及归纳，通过比照，能使学生更好地理解和驾驭所学的内容。这里要强调一

下，反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k的符号确定的；反之，双曲线的位置

和函数性质也能推出k的符号，留意让学生体会数形结合的思想方法。

四、课堂引入

提出问题：

1．一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函

数y＝kx（k≠0）呢？

2、画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应留意什么？

3、反比例函数的图象是什么样呢?

五、例习题分析

例2．见教材P4，用描点法画图，留意强调：

（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以

“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值

（2）由于函数图象的特征还不清晰，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样

便于连线，使画出的图象更准确

（3）连线时要用平滑的曲线依据自变量从小到大的依次连接，切忌画成折线

（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象恒久不会及x轴、y轴相交，只是无限

靠近两坐标轴

例1．（补充）已知反比例函数32)1(mxmy的图象在第二、四象限，求m值，并

指出在每个象限内y随x的改变状况？

分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即1kxy（k≠0）自变量x

的指数是－1，二是依据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k＜0，则m－1

＜0，不要无视这个条件

略解：∵32)1(mxmy是反比例函数∴m2－3＝－1，且m－1≠0

又∵图象在第二、四象限∴m－1＜0

解得2m且m＜1则2m

例2．（补充）如图，过反比例函数（x＞0）的图象上随

意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、

OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S

1

、S

2

，比拟它们的

大小，可得（）

（A）S

1

＞S

2

（B）S

1

＝S

2

（C）S

1

＜S

2

（D）大小关系不能确定

分析：从反比例函数（k≠0）的图象上任一点P（x，y）

向x轴、y轴作垂线段，及x轴、y轴所围成的矩形面积kxyS，由此可得S

1

＝S

2

＝

2

1

，故选B

五、随堂练习

1．已知反比例函数，分别依据下列条件求出字母k的取值范围

（1）函数图象位于第一、三象限

（2）在第二象限内，y随x的增大而增大

2．函数y＝－ax＋a及（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）

3．在平面直角坐标系内，过反比例函数（k＞0）的图象上的一点分别作x轴、y轴的

垂线段，及x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为

七、课后练习

1．若函数xmy)12(及的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是

2．反比例函数，当x＝－2时，y＝；当x＜－2时；y的取值范围是；

当x＞－2时；y的取值范围是

3．已知反比例函数

yaxa()226

，当

x0

时，y随x的增大而增大，

求函数关系式

答案：3．

26．1．2反比例函数的图象和性质（2）

一、教学目的

1．使学生进一步理解和驾驭反比例函数及其图象及性质

2．能敏捷运用函数图象和性质解决一些较综合的问题

3．深入领悟函数解析式及函数图象之间的联络，体会数形结合及转化的思想方法

二、重点、难点

1．重点：理解并驾驭反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题

2．难点：学会从图象上分析、解决问题

3．难点的打破方法：

在前一节的根底上，可适当增加一些较综合的题目，扶植学生娴熟驾驭反比例函数的图

象和性质，要让学生学会如何通过函数图象分析解析式，或由函数解析式分析图象的方法，

以便更好的理解数形结合的思想，最终能到达从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问

题。

三、课堂引入

复习上节课所学的内容

1．什么是反比例函数？

2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？

四、例习题分析

例3．见教材P7

分析：反比例函数的图象位置及y随x的改变状况取决于常数k的符号，因此要先求常

数k，而题中已知图象经过点A（2，6），即说明把A点坐标代入解析式成立，所以用待定

系数法能求出k，这样解析式也就确定了。

例4．见教材P7

例1．（补充）若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数（k＜0）图

象上，则a、b、c的大小关系怎样？

分析：由k＜0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增

大，因为A、B在第二象限，且－1＞－2，故b＞a＞0；又C在第四象限，则c＜0，所以

b＞a＞0＞c

说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连

续的看，肯定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时y随x的增大而增大，就会

误认为3最大，则c最大，出现错误。

此题还可以画草图，比拟a、b、c的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会运用。

例2．（补充）如图，一次函数y＝kx＋b的图象及反比例函数的图象交于A（－2，

1）、B（1，n）两点

（1）求反比例函数和一次函数的解析式

（2）依据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围

分析：因为A点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式，又B点在反

比例函数的图象上，代入即可求出n的值，最终再由A、B两点坐标求出一次函数解析式y

＝－x－1，第（2）问依据图象可得x的取值范围x＜－2或0＜x＜1，这是因为比拟两个不

同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。

五、随堂练习

1．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则函数的图象在（）

（A）第一、三象限（B）第二、四象限

（C）第三、四象限（D）第一、二象限

2．已知点（－1，y

1

）、（2，y

2

）、（π，y

3

）在双曲线上，则下列关系式正确的是（）

（A）y

1

＞y

2

＞y

3

（B）y

1

＞y

3

＞y

2

（C）y

2

＞y

1

＞y

3

（D）y

3

＞y

1

＞y

2

六、课后练习

1．已知反比例函数的图象在每个象限内函数值y随自变量x的增大而减小，且k的值

还满意)12(29k≥2k－1，若k为整数，求反比例函数的解析式

2．已知一次函数bkxy的图像及反比例函数的图像交于A、B两点，且点A的横

坐标和点B的纵坐标都是－2，

求（1）一次函数的解析式；

（2）△AOB的面积

答案：

1．或或

2．（1）y＝－x＋2，（2）面积为6

26．2实际问题及反比例函数（1）

一、教学目的

1．利用反比例函数的学问分析、解决实际问题

2．浸透数形结合思想，进步学生用函数观点解决问题的实力

二、重点、难点

1．重点：利用反比例函数的学问分析、解决实际问题

2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式

3．难点的打破方法：

用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的根本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，

看看各变量间应满意什么样的关系式（包括已学过的根本公式），这一步很重要；二是要分

清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并留意自变量的取值范围；三要娴熟驾驭反

比例函数的意义、图象和性质，特殊是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。

教学中要让学生领悟这一解决实际问题的根本思路。

三、课堂引入

寒假到了，小明正及几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发觉前面有一处冰出现了裂痕，

小明马上告知同伴分散趴在冰面上，匍匐分开了危急区。你能说明一下小明这样做的道理

吗？

四、例习题分析

例1．见教材第12页

分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，

满意根本公式：圆柱的体积＝底面积×高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得

的函数关系式是反比例函数的形式，（2）问事实上是已知函数S的值，求自变量d的取值，

（3）问则是及（2）相反

例2．见教材第13页

分析：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，

由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系，（2）

问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值是多少？

例3（补充）、某气球内充溢了肯定质量的气体，当

温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V

（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种

压强单位）

（1）写出这个函数的解析式；

（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少

千帕？

（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为

了平安起见，气球的体积应不小于多少立方米？

分析：题中已知变量P及V是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法

可以求出P及V的解析式，得，（3）问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不超

过144千帕时，是平安范围。依据反比例函数的图象和性质，P随V的增大而减小，可先求

出气压P＝144千帕时所对应的气体体积，再分析出最终结果是不小于

3

2

立方米

五、随堂练习

1．京沈高速马路全长658km，汽车沿京沈高速马路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程

所需时间t（h）及行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为

2．完成某项任务可获得500元酬劳，考虑由x人完成这项任务，试写出人均酬劳y（元）

及人数x（人）之间的函数关系式

3．肯定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V

＝10时，＝1.43，（1）求及V的函数关系式；（2）求当V＝2时氧气的密度

答案：＝

V

3.14

，当V＝2时，＝7.15

六、课后练习

1．小林家离工作单位的间隔为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），

所需时间为t（分）

（1）则速度v刚好间t之间有怎样的函数关系？

（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？

（2）假如小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少须要几分钟到达单位？

答案：，v＝240，t＝12

2．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，如今知道：按每天用煤0.6吨计

算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天

（1）则y及x之间有怎样的函数关系？

（2）画函数图象

（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？

26．2实际问题及反比例函数（2）

一、教学目的

1．利用反比例函数的学问分析、解决实际问题

2．浸透数形结合思想，进一步进步学生用函数观点解决问题的实力，体会和相识反比

例函数这一数学模型

二、重点、难点

1．重点：利用反比例函数的学问分析、解决实际问题

2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题

3．难点的打破方法：

本节的两个例题及学生的日常生活联络严密，让学生亲身经验将实际问题抽象成数学模

型并进展说明及应用，不但能稳固所学的学问，还能进步学生学习数学的爱好。本节的教学，

要引导学生从已有的生活阅历动身，依据上一节所讲的根本思路去分析、解决实际问题，留

意体会数形结合及转化的思想方法，要告知学生充分利用函数图象的直观性，这对分析和解

决实际问题很有扶植。

三、课堂引入

1．小明家新买了几桶墙面漆，打算重新粉刷墙壁，请问如何翻开这些未开封的墙面漆

桶呢？其原理是什么？

2．台灯的亮度、电风扇的转速都可以调整，你能说出其中的道理吗？

四、例习题分析

例3．见教材第14页

分析：题中已知阻力及阻力臂不变，即阻力及阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变

量动力及动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力F是自变量动力臂l的反比例

函数，当l＝1.5时，代入解析式中求F的值；（2）问要利用反比例函数的性质，l越大F

越小，先求出当F＝200时，其相应的l值的大小，从而得出结果。

例4．见教材第15页

分析：依据物理公式PR＝U2，当电压U肯定时，输出功率P是电阻R的反比例函数，

则，（2）问中是已知自变量R的取值范围，即110≤R≤220，求函数P的取值范围，依据

反比例函数的性质，电阻越大则功率越小，

得220≤P≤440

例1．（补充）为了预防疾病，某单位对办公室采纳药

熏消毒法进展消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中

的含药量y(毫克)刚好间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y

及x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空

气中每立方米的含药量6毫克，请依据题中所供应的信息，

解答下列问题：

(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为,自变量x的取值范为；

药物燃烧后，y关于x的函数关系式为.

(2)探讨说明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开

场，至少须要经过______分钟后，员工才能回到办公室；

(3)探讨说明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能

有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?

分析：（1）药物燃烧时，由图象可知函数y是x的正比例函数，设xky

1

，将点（8，

6）代人解析式，求得，自变量0＜x≤8；药物燃烧后，由图象看出y是x的反比例函数，

设，用待定系数法求得

（2）燃烧时，药含量渐渐增加，燃烧后，药含量渐渐削减，因此，只能在燃烧后的某

一时间进入办公室，先将药含量y＝1.6代入，求出x＝30，依据反比例函数的图象及性质知

药含量y随时间x的增大而减小，求得时间至少要30分钟

（3）药物燃烧过程中，药含量渐渐增加，当y＝3时，代入中，得x＝4，即当药物燃

烧4分钟时，药含量到达3毫克；药物燃烧后，药含量由最高6毫克渐渐削减，其间还能到

达3毫克，所以当y＝3时，代入，得x＝16，持续时间为16－4＝12＞10，因此消毒有效

五、随堂练习

1．某厂现有800吨煤，这些煤能烧的天数y及平均每天烧的吨数x之间的函数关系是

（）

（A）（x＞0）（B）（x≥0）

（C）y＝300x（x≥0）（D）y＝300x（x＞0）

2．已知甲、乙两地相s（千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，假如汽车每小时耗

油量为a（升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y（升）及汽车的行驶速度v（千米/时）

的函数图象大致是（）

3．你吃过拉面吗？事实上在做拉面的过程中就浸透着

数学学问，肯定体积的面团做成拉面，面条的总长度

y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比

例函数，其图象如图所示：

（1）写出y及S的函数关系式；

（2）求当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少米？

七．课后练习

一场暴雨过后，一凹地存雨水20米3，假如将雨水全部排完需t分钟，排水量为a米3/分，

且排水时间为5～10分钟

（1）试写出t及a的函数关系式，并指出a的取值范围；

（2）请画出函数图象

（3）依据图象答复：当排水量为3米3/分时，排水的时间须要多长？