正数和负数教案

1.1正数和负数

一、教学目标

〔一〕知识与技能：

1．会判断一个数是正数还是负数

2．能用正、负数表示生活中具有相反意义的量

〔二〕过程与方法：

经历从现实生活中的实例引入负数的过程，体会引入负数的必要性与合理性

〔三〕情感态度价值观：

感知到数学知识来源于生活并为生活效劳。

二、学法引导

1．教学方法：采用直观演示法，教师注意创设问题情境并及时点拨，让学生从实例之

中自得知识。

2．学生学法：研究实际问题→认识负数→负数在实际中的应用。

三、重点、难点、疑点及解决方法

1．重点：会判断正数、负数，运用正负数表示具有相反意义的量。

2．难点：负数的引入。

3．疑点：负数概念的建立。

四、课时安排

2课时

五、教具学具准备

投影仪〔电脑〕、自制活动胶片、中国地图。

六、教学设计思路

教师通过投影给出实际问题，学生研究讨论，认识负数，教师再给出投影，学生练习反

应。

七、教学步骤

〔一〕创设情境，复习导入

师：提出问题：举例说明小学数学中我们学过哪些数？看谁举得全？

学生活动：思考讨论，学生们互相补充，可以答复出：整数，自然数，分数，小数，奇

数，偶数……

师小结：为了实际生活需要，在数物体个数时，1、2、3……出现了自然数，没有物体

时用自然数0表示，当测量或计算有时不能得出整数，我们用分数或小数表示。

【教法说明】学生对小学学过的各种数是非常熟悉的，教师提出问题后学生会非常积极

地回忆、答复，这时教师注意理清学生的思路，点出小学学过的数的精华局部。

提出问题：小学数学中我们学过的最小的数是谁？有没有比零还小的数呢？

学生活动：学生们思考，头脑中产生疑问。

【教法说明】教师利用问题“有没有比0小的数？〞制造悬念，并且这时学生有一种急

需知道结果的要求。

〔二〕探索新知，讲授新课

师：为了研究这个问题，我们看两个实例

〔出示投影1〕用复合胶片翻四次

在冬日一天中，一个测量员测了中午12点，晚6点，夜间12点，早6点的气温如下：

你能读出它们所表示的温度各是多少吗？〔单位℃〕

学生活动：看图答复10℃，5℃，零下5℃，零下10℃。

［板书］

105－5－10

师：再看一个例子，中国地形图上，可以看到我国有一座世界最顶峰—珠穆朗玛峰，图

上标着8848，在西北部有一吐鲁番盆地，地图上标着－155米，这两个数表示的高度是相对

海平面说的，你能说说8848米，－155米各表示什么吗？

〔出示投影2〕〔显示中国地形图，再显示珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的直观图形〕。

学生活动：学生思考讨论，尝试答复：8848米表示珠穆朗玛峰比海平面高8848米；－

155米表示吐鲁番盆地比海平面低155米。

【教法说明】针对实例，教师不是自己一概地陈述而是注意学生参与意识，要学生观察、

动脉、讨论后得出答案，充分发挥了学生的主体地位。

教师针对学生答复的情况给与指正。

师：以上实例中出现了－5、－10、－155这样的数，一般地温度比0℃高5℃、10℃、

1.6℃、

2

1

10

℃记作＋5、＋10、＋1.6、

1

+10

2

，大于0的数为正数；当温度比0℃低于5℃、

10℃、2.2℃记作－5、－10、－2.2，像这样在正数前面加“－〞号叫负数；0既不是正数也

不是负数。

师随着表达给出板书

［板书］

正数：大于0的数

负数：正数前面加“－〞号〔小于0的数〕

0：既不是正数也不是负数。

【教法说明】在以上两个例子的根底上，对正数尤其是负数的引入已到了水到渠成的地

步，这时教师描述性地指出正数、负数的概念，学生不仅认识了什么是正数与负数，还清楚

地知识，正数与负数是相对的。

〔三〕尝试反应，稳固练习

1．师板书后提问：第二个例子中的8848是什么数，－155是什么数，海平面的高度是

哪个数？

2．出示1〔投影显示〕

例1所有的正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，把以下各数中的正数和负数

分别填在表示正数集合和负数集合的圈里“

－11，4.8，＋7.3，0，－2.7，

1

6

－

，

6

1

，

12

7

，－8.12，

4

3



3．自己任意写出6个正数与6个负数分别把它填在相应的大括号里。

正数集合



负数集合



4．〔1〕某地一月份某日的平均气温大约是零下3℃，可用_________数表示，记作

__________。

〔2〕地图册上洲西部地中海旁有一个死海湖，图上标有－392，这说明死海湖面与海平

面相比怎样？

学生活动：1、2题学生答复，3题同桌交换审阅，4题讨论后举手答复。

【教法说明】l题是紧扣上面的例子把正负数应用到实例中去，既照应了前面，又认识

了正负数，2题是通过判断正数负数渗透集会的概念，3题是让学生自行编正数负数，以到

达自我消化吸收，4题是用实际生活中的典型例子加强对负数的理解和认识，同时也为下一

步引出相反意义的量打下根底。

师：在0℃以上的温度用正数表示，0℃以下的温度用负数表示；高于海平面的地方用

正数表示它的高度，低于海平面的地方用负数表示它的高度．在实际生活中还有一些与温度、

海拔高度类似的量也常常用正负数表示，你能列出一些吗？

学生活动：分组讨论，互相补充，两个学生答复。

教师对学生列举的例子给与适当分析，针对学生答复予以补充稳固练习：

〔出示投影〕

1．填空

〔1〕－50表示支出50元，那么＋100元表示_____________。

〔2〕正常水位为0m，水位高于正常水位0.2m记作______________，低于正常水位0.3m

记作______________。

〔3〕乒乓球比标准重量重0.039记作_____________；比标准重量轻0.019记作

_____________；标准重量记作______________。

2．一个学生演示，教师提出要求规定向前走为正。

〔1〕向前走2步记作_________________。

〔2〕向后走5步记作_________________。

〔3〕“记作6步〞他应怎么走？“记作－4步〞呢？

〔4〕原地不动记作_________________。

〔出示投影5〕

3．例题

一物体沿东西两个相反的方向运动时，可以用正负数表示它们的运动。

〔1〕如果向东运动4m记作4m，向西运动5m记作_______________。

〔2〕如果－7m表示物体向西运动7m，那么6m说明物体怎样运动？

学生活动：l题学生审题后答复．2题学生演示，其他学生观察举手答复．3题答复．

【教法说明】用正数、负数表示相反意义的量是本节的重点。首先，先让学生举出自己

所熟悉的相反意义的量，并用正数负数表示，激发学生兴趣，这时再出示补充的练习中的1

题，学生能非常轻松地答复出来，这时学生有一种非常轻松的感觉，噢！原来正数、负数是

用来表示这样的量的。紧接着，让一个学生向前后任意走，规定向前为正，让其他学生观察，

第一次他向哪个方向走了？走了几步？记作什么？第二次呢？第三次呢？这时学生积极观

察举手答复，然后让一个学生提出类似要求“记作＋5应怎样走？〞，这样在活泼、欢快的

气氛中加深了对正数负数的理解。最后利用例2作为稳固练习就非常容易了，这一环节就是

要学生在一种轻松愉快的气氛中获取知识，符合素质教育的要求。

师：通过今天这节课的学习，你能答复老师开始时提出的问题吗？—有没有比零小的

数？〔有，是负数〕

1．正数和负数表示的是一对相反意义的量。

2．零既不是正数也不是负数。

八、随堂练习

1．判断题

〔l〕0是自然数，也是偶数〔〕。

〔2〕0可以看成是正数，也可以看成是负数〔〕。

〔3〕海拔－155米表示比海平面低155米〔〕。

〔4〕如果盈利1000元，记作＋1000元，那么亏损200元就可记作－200元〔〕。

〔5〕如果向南走记为正，那么－10米表示向北走－10米〔〕。

〔6〕温度0℃就是没有温度〔〕。

2．将以下各数填入相应的大括号里

－9，

2

1

，0，

8

1

2

，2000，＋61，

10

3

，－10.8

正数集合



负数集合



3．用正数和负数表示以下各量

〔1〕零上24摄氏度表示为___________，零下3.5摄氏度表示为______________。

〔2〕足球比赛，赢2球可记作_________球，输一球应记作____________球。

九、布置作业

〔一〕必做题

1．以下各数中哪些是正数？哪些是负数？

－16，0.04，＋

8

7

，

2

1



，

5

3

，0，25.8，－3.6，－4，9651，－0.1

2．一物体可左右移动，设向右为正，

〔1〕向左移动12m应记作什么？

〔2〕“记作8m〞说明什么?

〔二〕选做题

1．一潜水艇所在高度为－50m，一条鲨鱼在艇上方10m处，鲨鱼所在的高度是多少？

2．甲地海拔高度是30m，乙地海拔高度是20m，丙地海拔高度是－10m，哪个地方最

高，哪个地方最低？最高的地方比最低的地方高多少？

十、板书设计

随堂练习答案

1．√×√√××

2．正数集合













，，，，

10

3

612000

2

1

负数集合













，，，8.10

8

1

29

3．〔1〕＋24℃，－3.5℃；〔2〕＋2，－1

作业答案

〔一〕必作题

1．0.04，

8

7



，

5

3

，25.8，9651是正数；

－16，

2

1



，－3.6，－4，－0.1是负数。

2．〔1〕向左移动12m记作－12m；

〔2〕记作8m说明物体向右移动8m。

〔二〕选作题

1．－40m。

2．甲地最高，丙地最低，最高的地方比最低的地方高40m。

15．1.2分式的根本性质

1．通过类比分数的根本性质，说出分式的根本性质，并能用字母表示．(重点)

2．理解并掌握分式的根本性质和符号法那么．(难点)

3．理解分式的约分、通分的意义，明确分式约分、通分的理论依据．(重点)

4．能正确、熟练地运用分式的根本性质，对分式进行约分和通分．(难点)

一、情境导入

中国古代的数学论著中就有对“约分〞的记载，如?九章算术?中就曾记载“约分术〞，

并给出了详细的约分方法，这节课我们就来学习分式化简的相关知识，下面先来探索分式的

根本性质．

二、合作探究

探究点一：分式的根本性质

【类型一】利用分式的根本性质对分式进行变形

以下式子从左到右的变形一定正确的选项是()

A.

a＋3

b＋3

＝

a

b

B.

a

b

＝

ac

bc

C.

3a

3b

＝

a

b

D.

a

b

＝

a2

b2

解析：A中在分式的分子与分母上同时加上3不符合分式的根本性质，故A错误；B中

当c＝0时不成立，故B错误；C中分式的分子与分母同时除以3，分式的值不变，故C正确；

D中分式的分子与分母分别乘方，不符合分式的根本性质，故D错误；应选C.

方法总结：考查分式的根本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，

分式的值不变．

【类型二】不改变分式的值，将分式的分子、分母中各项系数化为整数

不改变分式

0.2x＋1

2＋0.5x

的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正

确的为()

A.

2x＋1

2＋5x

B.

x＋5

4＋x

C.

2x＋10

20＋5x

D.

2x＋1

2＋x

解析：利用分式的根本性质，把

0.2x＋1

2＋0.5x

的分子、分母都乘以10得

2x＋10

20＋5x

.应选C.

方法总结：观察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需根据

分式的根本性质让分子和分母同乘以某一个数即可．

【类型三】分式的符号法那么

不改变分式的值，使以下分式的分子和分母都不含“－〞号．

(1)

－3b

2a

；(2)

5y

－7x2

；(3)

－a－2b

2a＋b

.

解析：在分子的符号，分母的符号，分式本身的符号三者当中同时改变其中的两个，分

式的值不变．

解：(1)原式＝－

3b

2a

；(2)原式＝－

5y

7x2

；(3)原式＝－

a＋2b

2a＋b

.

方法总结：这类题目容易出现的错误是把分子的符号，分母的项的符号，特别是首项的

符号当成分子或分母的符号．

探究点二：最简分式、分式的约分和通分

【类型一】判定分式是否是最简分式

以下分式是最简分式的是()

A.

2a2＋a

ab

B.

6xy

3a

C.

x2－1

x＋1

D.

x2＋1

x＋1

解析：A中该分式的分子、分母含有公因式a，那么它不是最简分式．错误；B中该分

式的分子、分母含有公因数3，那么它不是最简分式．错误；C中分子为(x＋1)(x－1)，所

以该分式的分子、分母含有公因式(x＋1)，那么它不是最简分式．错误；D中该分式符合最

简分式的定义．正确．应选D.

方法总结：最简分式的标准是分子，分母中不含公因式．判断的方法是把分子、分母分

解因式，并且观察有无公因式．

【类型二】分式的约分

约分：(1)

－5a5bc3

25a3bc4

；(2)

x2－2xy

x3－4x2y＋4xy2

.

解析：先找分子、分母的公因式，然后根据分式的根本性质把公因式约去．

解：(1)

－5a5bc3

25a3bc4

＝

5a3bc3〔－a2〕

5a3bc3·5c

＝－

a2

5c

；

(2)

x2－2xy

x3－4x2y＋4xy2

＝

x〔x－2y〕

x〔x－2y〕2

＝

1

x－2y

.

方法总结：约分的步骤：(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)

约去分子、分母的公因式．

【类型三】分式的通分

通分：

(1)

b

3a2c2

，

c

－2ab

，

a

5cb3

；

(2)

1

a2－2a

，

a

a＋2

，

1

a2－4

.

解析：确定最简公分母再通分．

解：(1)最简公分母为30a2b2c2，

b

3a2c2

＝

10b4

30a2b3c2

，

c

－2ab

＝－

15ab3c3

30a2b3c2

，

a

5cb3

＝

6a3c

30a2b3c2

；

(2)最简公分母为a(a＋2)(a－2)，

1

a2－2a

＝

a2＋2a

a〔a＋2〕〔a－2〕

，

a

a＋2

＝

a3－2a2

a〔a＋2〕〔a－2〕

，

1

a2－4

＝

a

a〔a＋2〕〔a－2〕

.

方法总结：通分的一般步骤：(1)确定分母的最简公分母．(2)用最简公分母分别除以各

分母求商．(3)用所得到的商分别乘以分式的分子、分母，化成同分母的分式．

三、板书设计

分式的根本性质

1．分式的根本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的

值不变．

2．符号法那么：分式的分子、分母及分式本身，任意改变其中两个符号，分式的值不

变；假设只改变其中一个的符号或三个全变号，那么分式的值变成原分式值的相反数．

本节课的流程比拟顺畅，先探究分式的根本性质，然后顺势探究分式变号法那么．在每

个活动中，都设计了具有启发性的问题，对各个知识点进行分析、归纳总结、例题示范、方

法指导和变式练习．一步一步的来完成既定目标．整个学习过程轻松、愉快、和谐、高效．