特拉斯特

-维尔斯特拉斯

如果牛顿和莱布尼兹想到过连续函数不一定有导数(而这却是

一般情形)，那么微积分就决不会被创造出来。

——皮卡

分析算术化的过程开始了

19世纪的数学，发生了三件意义深远的大事。

在30年代，罗巴切夫斯基和鲍耶挣脱欧几里得几何的束缚，创

造了和它同样相容的几何——非欧几何。欧几里得几何的某些公理

在那里不再得到满足。它打破了欧几里得几何是先验的、惟一的几

何真理的神话，为更多新几何创立打开大门。

几乎同时，代数学也发生了类似的革命。以伽罗瓦、哈密顿、

格拉斯曼和凯莱为代表的数学家们创立了新的代数。普通代数里

的某些公理在那里不再适用。它为群、环、域、布尔代数、约当代

数和李代数等抽象代数的创立开辟道路。第三个具有重大意义的

事件是分析的算术化。

微积分自牛顿、莱布尼兹创立以来，获得空前的发展。但是，

直到卡尔40岁，父亲还在不顾儿子的才能和爱好，鲁莽地干预他的

事务。幸好卡尔在意志和体格上都异常坚强。父亲的干扰使他的事

业和生活走了一段曲折的弯路，但是终究没有挡住他登上光荣的顶

峰。在卡尔后面，威廉和妻子肖朵拉·福斯特又生了彼得和两个女

儿：克拉拉和爱丽丝。爱丽丝出世不久，肖朵拉不幸病故。母亲的

为人鲜为人知，只知道她对自己的婚姻似乎不大满意。父亲于第二

年再娶。继母是个典型的德国家庭妇女，对子女智力的发展说不上

有什么影响。维尔斯特拉斯兄弟姐妹四人亲密无间，和睦相处，并

且都没有结婚。可怜的彼得一度有过这种念头，可是很快被父亲的

厉声斥责所吓退。

卡尔降生不久，维尔斯特拉斯全家搬到威斯特伐利亚的韦斯特

康登村。父亲在那里任制盐厂的海关官员。韦斯特康登是个默默无

闻的小村。一条坑洼不平的道路，两旁疏疏落落居住着二三十户人

家，连一所小学也没有。小村今天在德国以至全世界出了名，只因

为维尔斯特拉斯在这里度过他的青少年时代，而且他的处女作也是

在这里完成的。14岁，卡尔进附近帕德博恩城的一所天主教预科学

校学习。在学校里，他如鱼得水，自由自在。他和善的性格和过人

的智慧深得老师们的喜爱。学习规定的几门功课，他毫不费力，而

且每年稳拿7项以上奖赏。通常首先是德语，其次是拉丁语、希腊

语和数学。所以，在笛卡儿、费马等一大串数学家的后面又加上了

维尔斯特拉斯的名字，他们不但是数学的巨匠，而且是语言学的大

师。只有书法一项，维尔斯特拉斯没有获过奖。可是，具有讽刺意

味的是，命运却安排他要在以后相当长的时间里，教那些刚刚脱离

妈妈怀抱的孩童们写字!

卡尔学习出色，在实际工作中也身手不凡。从15岁开始，他就

一边学习，一边在一位经营火腿黄油的女商人那里当会计。他把账

目管理得井井有条，深得女主人的赏识，以致他的口袋里总不缺零

花钱。’

可是，这一连串的成功给卡尔带来一个意想不到的结果。从预

科学校一毕业，不容卡尔有半句分辩，父亲就把他送到波恩大学去

学法律。威廉的理由很简单：卡尔能赢得这么多奖状，又能把账目

管理得有条有理，表明他聪明过人而且是出色的簿记员。什么是簿

记员的顶峰?当然是在普鲁士民政部当一名文官。要出任文官，不学

法律怎么行呢?

卡尔没有欧拉幸运。欧拉在人生的十字路口有伯努利一家出来

为他说情，使父亲最终打消要他从事神职工作的念头。卡尔孤掌难

鸣。他不能指望恭顺的彼得和两个神经脆弱的妹妹给他帮什么忙。

何况老维尔斯特拉斯比欧拉的父亲固执得多。到波恩去的决定，已

经没有商量的余地。不过卡尔不是那种性格温顺、可以任人摆布的

人。任何外力休想随意规定他生活的道路。父亲精心为他安排的生

活到头来被他搞得面目全非，虽然他可能并没有意识到自己是在反

抗父亲的意志。

波恩是座美丽的城市。鹅卵石铺筑的街道，绿树成荫，红白相

间的房舍，到处是丁香、紫罗兰和不知名的鲜花，令人赏心悦目。

可是，维尔斯特拉斯心绪恶劣，哪有心思欣赏!他恨不得到旷野里

大喊大叫一场，或者让暴风雨淋个浑身湿透!虽然是学法律的，他

对法律毫无兴趣。他对法律惟一的一次接触，是他坚决反对一个不

学无术却善于巴结钻营的家伙被提名为法学博士候选人。每星期他

难得去听几次课。他上教室听课远不及到大学对面的小酒馆频繁和

准时。因此，他在学业上的进展与他在酒馆里所取得的成功相比，

实在是微不足道。几乎每天晚上6点钟一敲，维尔斯特拉斯就出现

在酒馆临街的一张小桌子上，风雨无阻。他用的是那种半加仑装的

特大号啤酒杯，喝的时候，谁也不能用一只手轻易地把它举起来。

他的烟斗是堪与酒杯匹配的特制的大烟斗。一只大酒杯，一支大烟

斗，和他巨人般的身躯一起，显得十分匀称。由于他生性粗犷随和，

隔不多久，老主顾们都和他交上了朋友。小酒馆每天顾客盈门，生

意兴隆，光顾的大多是波恩大学的学生和教职员。屋子里烟雾迷漫，

酒香四溢。不过，和那晶莹透明的琥珀色的当地土制啤酒相比，顾

客间为各种热门的话题进行辩论，似乎更吸引他们。辩论是这样紧

张精彩，所有的顾客，甚至连酒店老板，都被吸引了过来。这时候，

好像这里成了世界的中心。激动起来，有的干脆跳到椅子上去发言。

但是，交锋激烈并不伤和气；气氛炽热仍不失诙谐。这正是辩论最

为可贵的地方。在这种机智和智慧的较量中，维尔斯特拉斯很快以

敏锐的洞察力、闪电般的反应、非凡的准确性和无懈可击的逻辑力

量赢得不可战胜的名声。说到他的酒量，同样所向无敌。如果有人

竟敢和他比试酒量，那么最后不省人事被抬着回去，谁也不会感到

意外。维尔斯特拉斯超群的才智和强壮的体魄得到充分的表现，可

惜不是在有用的方向。著名数学家兼物理学家普吕克尔当时倒是

在波恩；可是他正忙于他自己的事务。维尔斯特拉斯没有机会拜见

他，更无法向他讨教。

不过，维尔斯特拉斯在雄辩和痛饮之余，还是阅读了不少数学

名著。他和阿贝尔一样，“直接向大师们而不是他们的学生学习”。

拉普拉斯的《天体力学》给他留下深刻印象。这部巨著曾经引导哈

密顿走上数学家的光荣道路。这一次，它使维尔斯特拉斯一生对动

力学和微分方程组发生兴趣。不过，对卡尔在这方面的进展，父亲

并不理解。他只感到深深的悲哀和失望：一家人精打细算，省吃俭

用，把全部希望寄托在最聪明能干的卡尔身上，谁想到4年以后，

1838年夏天，当他从波恩回来，肚子里装满啤酒，两手却空空如也，

什么学位也没有得到!

良师指路

一片一筹莫展的愁云笼罩着维尔斯特拉斯一家。父亲喋喋不休

的说教已经毫无效果。看到卡尔麻木不仁的神态，吓得两个妹妹直

担心哥哥的神经是不是出了毛病。要给“从身体到灵魂”都被病魔

缠住的卡尔安排一条出路真不容易。父亲经不住这次打击，病倒了。

一天，一位海关的老朋友闻讯前来慰问。他是个数学业余爱好者，

对卡尔的才能和爱好略知一二。他同情卡尔的处境。他以老朋友的

身份向老维尔斯特拉斯出主意：让卡尔到附近的蒙斯特学院去学习

两年，为参加国家教师资格的考试作准备。虽然这种学习得不到博

士学位，如果考试合格，却可以找到一份教师工作。假如卡尔在数

学上真有才能，在业余时间还可以花些功夫。老朋友的话说得头头

是道，老维尔斯特拉斯动心了。1839年5月22日，卡尔被蒙斯特

学院正式录取。

一块天然的璞玉只有经过精心雕琢才能成为璀璨夺目的瑰宝。

维尔斯特拉斯事业的真正转机是遇到一位不可多得的良师——克里

斯托夫·古德尔曼。古德尔曼先生是蒙斯特学院的数学教授，身材

矮胖，光脑袋，有一双和善的、若有所思的眼睛，使人感到亲切。

他是函数论的热心研究者，特别对椭圆函数有独到的见解。受到大

名鼎鼎的克列尔的鼓励，他在克列尔创办的《纯粹数学与应用数学

杂志》(《克列尔杂志》)上发表过一系列这方面的论文。可惜，他

把一切都基于函数的幂级数展开上这一数学思想，没有引起人们的

重视。古德尔曼根据这条思路辛辛苦苦研究了一辈子，没有取得最

后成功。但是，这个重要的思想确实哺育了维尔斯特拉斯。函数的

幂级数展开成为他在分析中一切工作的核心。他在晚年谈到自己在

分析中所采用的方法的时候常常说：

“没有别的，只有幂级数。”

它的意义是不难理解的。有一次格丁根大学的一个学生向数学

家费利克斯·克莱因请教数学发现的秘密。克莱因告诉他：

“挑选好一个确定的研究对象，锲而不舍。你可能永远达不到

终点，但是一路上准可以发现一些有趣的东西。”

古德尔曼向维尔斯特拉斯提供了这样的研究对象；这是一座使

他一生受益无穷的宝库。怪不得维尔斯特拉斯在成名以后，总要利

用各种机会来表达自己对恩师的感激。古德尔曼是受之无愧的，因

为并不是每个教授都能给自己的学生作出这样有价值的启发啊。

古德尔曼讲授椭圆函数的第一堂课，教室里一共坐着13名学

生。他感到相当满意，不由得微微一笑。要知道在一年以前，只有

两名学生，而且不到一个月，他们都“逃之夭夭”了。他阖上讲

义，眼睛一闭，把头微微抬起。这是他开始讲课的习惯姿势。一接

触到椭圆函数这个心爱的课题，他的思想就像决堤的洪水，排山倒

海，一泻千里。他讲课充满热情，打着激动的手势，可是没有条理。

学生们很快被远远抛在后面。他们注视着黑板上一串串龙飞凤舞的

公式，显得垂头丧气。只有一个人例外。他就是卡尔·维尔斯特拉

斯。他瞪大眼睛，感到从来没有过的兴奋。古德尔曼向他展示了一

个崭新的天地。他可以发挥无穷的精力和才智，在这片美丽的一望

无际的土地上尽情驰骋啦!

第二次上课的时候，只剩下维尔斯特拉斯一人。其余的学生再

也不敢问津这块神圣的领地。如果说，偶尔还有人敢于站得远远地

向教室窥视，那完全是出于好奇。头两个月，只看见古德尔曼手舞

足蹈地对着入了迷的学生滔滔不绝地讲解。后来，讲课变成了讨论。

古德尔曼站在讲台上，维尔斯特拉斯则坐在课桌上而不是椅子上，这

样，魁伟的学生和矮胖的老师讨论起来恰好处于“平等”的地位。半

年以后，维尔斯特拉斯开始在黑板上大段大段地推导公式了。

1841年，也就是在中学试教一年以后，维尔斯特拉斯为取得教

师正式证书接受考试。考试分两部分。第一部分是书面考试，要求

考生在半年内写出三篇规定的论文；论文通过以后，再接受面试。

维尔斯特拉斯提交的论文中有一篇是对中学教学中一问一答式

的苏格拉底教授法的总结。这位古希腊伟大学者采用这种方法吸引

广大学生，造就了大批人才。后来，维尔斯特拉斯遵循这种方法取

得巨大成功，成为全世界高等学府中最优秀的数学教师。

最值得注意的是另一篇论文。这是古德尔曼给维尔斯特拉斯出的

一个真正的数学难题：把椭圆函数表示成幂级数。这无疑是教师合格

考试史上最艰深的问题。古德尔曼在给教育局的报告中这样写道：

“这个问题是应考生本人要求并得到考试委员会的同意提出的，

一般来说，它对于一个年轻的分析学者是过于困难了。”

古德尔曼在叙述了维尔斯特位斯所取得的成果以后指出，从工

作的开创性和某些结果的戏剧性可以充分看出作者的数学天才，“只

要不被浪费，他必定会对科学的发展作出贡献。为了作者，也为了科

学，不要让他去当中学教师而让他在大学中任教，那里的良好条件将

使这一点成为可能。……该考生将根据天赋的权利而跻身于著名发明

家的行列。”

古德尔曼为了强调，特地在有的句子下面划上一道粗粗的横线。

这样一份热情的评语本来可以改变维尔斯特拉斯的生活进程。可惜，

它在正式报告中竟被人莫名其妙地删掉了!这样，维尔斯特拉斯通

过考试，除了一张中学教师合格证，什么也没有得到。26岁的维尔

斯特拉斯从此开始长达15年的中学教书生涯，其中包括30岁到40

岁这一段通常被认为是科学发明创造的黄金岁月。

只问耕耘

1842年，维尔斯特拉斯到西普鲁士一个偏僻小村的一所大学预

科学校预备班任数学和物理课的助理教师，不久晋升为正式教师。

除了数学和物理，他还要教德文、地理和写字。过了3年，学校又

给这个精力充沛的小伙子加上一份工作：教体操。

工作繁重不说，住在偏远的小村，生活是难以想像的艰辛。微

薄的薪水只够维持最简单的生活。饮酒不得不大大克制；有时候甚

至连寄信的邮资都没有。交通不便，一天只有一次驿车。带来的不

外是哪个地方的教堂失火或者某公爵的女儿成亲一类的消息。遇上

天气不好，交通就十天半个月被堵塞。生活单调得使人窒息。但是，

维尔斯特拉斯没有怨言。这不仅是因为他脾气好，他实在没有时间

抱怨。古德尔曼向他打开了数学宫殿的大门。宫殿中无比神奇的景

象使他目不暇接。白天，他忙着上课、批改作业以及和孩子们一起

嬉戏；一到晚上，他就关上房门，点起蜡烛，通宵达旦地在数学之

宫神游。只有像维尔斯特拉斯这样具有坚强意志和强壮体魄的巨人

才能这样工作。他直接向大师们学习，而给他印象最深、也是他最

为推崇的是阿贝尔。这位终身为贫困和疾病所困扰的挪威数学家所

迸发出来的天才光芒使他赞叹不已。在维尔斯特拉斯成为世界最著

名的分析学家和最杰出的数学教师以后，他给学生们第一个和最后

一个忠告就是：

“读读阿贝尔!”

他对阿贝尔丝毫没有嫉妒的成分。他喜欢说：

“阿贝尔是个幸运儿。他完成了名垂千古的工作。他的思想对

我们科学将始终产生多方面的影响。”

其实，这个评价对维尔斯特拉斯本人同样适用。他的道路在不

少方面也和阿贝尔相似。他们在早年都受到过挫折；维尔斯特拉斯

是在几乎与世隔绝的偏僻的小村，独立地展开独创性的研究，就像

阿贝尔在完全不了解高斯关于椭圆函数工作的情况下，独立开拓自

己的道路。维尔斯特拉斯以自己独特的方式发展各种理论，而很少

参考其他经典著作。实际上，他当时的条件也确实无法找到这样的

著作。这种特点往往使后来的编辑者感到困惑：究竟谁是真正的经

典作家呢?

维尔斯特拉斯在这期间写了一篇有关解析函数的论文。他独立

地得到了今天被誉为分析基本定理的柯西积分定理。第二年，也就

是1842年，柯西发表了和维尔斯特拉斯同样的结果，引起巨大的轰

动。维尔斯特拉斯当然知道，这意味着什么。因为这是不朽之作；

它的作者将在数学史上占有光荣的一席。维尔斯特拉斯默不作声。

虽然科学史上关于优先权的争论司空见惯，他不打算对柯西的优先

权提出争议。他当然明白，这意味着他将在西普鲁士的一个小村继

续默默无闻地当一名教师。这使人想起数学王子高斯。早在30年前

高斯就发现了这个结果。不过他嫌不够成熟，没有拿出来发表。他

们不计名利得失的豁达态度成为科学家的楷模。他们在当时是受到

了委屈。但是历史是公正的。历史公正地评价了他们的品格、才能

以及他们在数学发展史上的地位。

1842年，维尔斯特拉斯利用自己创造的方法来求解微分方程

组；这种方程组在三体问题中是经常遇到的。他的方法成熟而且严

格。这一次他同样没有拿出来发表，因为这只是他为一生的事业、

为下一步更大的飞跃作准备。他已经下定决心，要“完成由阿贝尔

定理和雅可比对多变量多重周期函数的发现所肇始的阿贝尔和雅可

比一生的工作”。

早在17世纪，人们在天文学中就遇到求椭圆的弧长问题，在力

学上也开始研究弹性细杆在端点受力情况下的形状。这些问题导致

所谓椭圆积分的产生。这类积分不能用我们所熟悉的初等函数表示

出来。雅各布·伯努利、约翰·伯努利和欧拉在这方面作了不少工

作。花费最大精力的是勒让德。但是，这个问题一直到阿贝尔和雅

可比通过椭圆积分的反演构思椭圆函数，才有真正的突破。这使勒

让德透彻地、也难免有点痛苦地认识到，阿贝尔和雅可比的工作使

自己40年所做的一切黯然失色。他错过了他所处时代的一项最伟大

的发现!顺便指出，高斯早在阿贝尔出世以前已经得到椭圆函数论

中许多关键性的结果。这些结果是他去世以后在他没有发表过的遗

稿中发现的。椭圆积分和相应函数的研究成就激励数学家们去处理

一种更难类型的积分——超椭圆积分，以及由此产生的阿贝尔积分

和阿贝尔函数。阿贝尔因为英年早逝没有来得及把自己的惊人发现

研究到底；雅可比没有能看出自己在阿贝尔定理研究中的真正含义。

维尔斯特拉斯决心发展出必要的工具，以完成他们未竟的事业：

“把这些成果统一起来并加以推广——实际表示出函数并找出它们

的性质。”

但是进展并不顺利。中学的繁重工作耗去他大量时间和精力；

而资料缺乏，同科学界的隔绝，更使研究困难重重。不过，困难已

经无法阻挡维尔斯特拉斯前进。他凭着超人的智慧和非凡的毅力，

默默地坚韧不拔地开拓着前进的道路。

一朵浪花

1848年，维尔斯特拉斯调到勃朗斯堡大学预科学校任教。这是

一次小小的晋升。老校长知道维尔斯特拉斯精力充沛而且极有才能，

对他十分关怀和器重。最使维尔斯特拉斯满意的是学校有一个满不

错的图书馆。图书馆虽然不大，它的数学和科学藏书却是本本精选

过的。这说明管理学校的是一位有造诣的学者。大师们的经典著作

给他启发，也使他鼓舞；先驱者光辉的榜样坚定他前进的决心和信

心。有名的《克列尔杂志》的风格和质量给他留下深刻的印象。正

是杂志的创始人克列尔以超人的眼力发现了阿贝尔的天才。《克列

尔杂志》头三卷一共刊登了阿贝尔22篇论文，尽管有些内容克列

尔本人不一定完全看得懂。在羽毛未丰的年轻人的前进道路上，多

么需要克列尔般的扶持啊！

1848年在欧洲是个重要的年头。那一年，法国的二月革命推翻

路易·菲力普七月王朝，成立共和国。它鼓舞德国人民为结束封建

的分崩离析状态，推翻霍亨索伦王朝，建立统一的德意志民主共

和国，而积极行动起来。维尔斯特拉斯也热血沸腾，跃跃欲试。刹

时间，各地报刊要求民主和自由、要求统一的呼声纷纷出现。保皇

党慌忙对报刊实行严格的检查制度。它不能容忍“法律”和“秩序”

遭到破坏。勃朗斯堡也不例外。政府任命一名文官来负责检查

当地的各种刊物。幸好这位检查官对各种形式的文学作品，尤其是

诗歌，毫无兴趣。他从老校长那里了解到，维尔斯特拉斯有无穷精

力而且对文学相当精通。他决定把文学作品统统交给维尔斯特拉斯，

自己只负责检查政论文章。得到这样一份美差，维尔斯特拉斯异常

高兴。他知道检查官对诗歌不会瞧上一眼，就放心地把那些最大胆

的诗篇毫无保留地送去发表。刊物引起公众的巨大兴趣，发行量急

剧上升。可惜好景不常。这一情况终于被更高一级当局察觉。检查

官被免职；维尔斯特拉斯又回到学校干他的教书本行。

德国1848年革命中泛起的一朵小浪花消失了。

但是，维尔斯特拉斯为完成阿贝尔-雅可比未竟事业的工作热情

并没有熄灭。德国的中小学当时出版一份刊物，它不定期地刊登中

小学教师的论文。刊物在1848年-1849年刊载了维尔斯特拉斯的

《阿贝尔积分理论》一文。如果这篇文章有机会让德国专业数学家

看到，肯定会引起巨大反响。可是，谁能指望他们会在中学教师的

论文汇编中去寻找纯粹数学方面的划时代的突破呢?

迟到的春天

时光在维尔斯特拉斯不知疲倦的工作中悄悄流逝。经过近10年

的潜心准备，他决定对阿贝尔函数发起总攻了。1853年夏天，他回

到韦斯特康登，在家里过暑假。父亲已经年过花甲，不过身体依旧

硬朗。弟弟和妹妹看到卡尔没日没夜地工作，虽然不了解他在研究

什么，却知道要尽力使他不受干扰。在假期，维尔斯特拉斯的研究

取得重大进展；回到勃朗斯堡，工作进入最后也是最紧张的阶段。

一天上午，学生们的大声喧闹惊动了办公室里的老校长，一了

解，原来他们的老师维尔斯特拉斯已经两天没有来上课了。校长气

喘吁吁来到维尔斯特拉斯的房间，敲门进去一看，窗帘遮得严严实

实，维尔斯特拉斯借着微弱的烛光正坐在桌旁聚精会神地工作。他

已经工作了两个通宵。校长告诉他，外面红日高照，他的学生正在

教室里大叫大闹。维尔斯特拉斯从沉思中抬起头来，回答道：

“对不起，先生。我正在完成一项重要发现；我无法中断工作。”

一篇关于阿贝尔函数的划时代的论文完成了!维尔斯特拉斯以

自己独特的思想和方法完备、改写和美化了椭圆函数理论，从而使

他和柯西、黎曼一起成为函数论的主要奠基者。他决定以阿贝尔为

榜样，把它寄给柏林的《克列尔杂志》发表，他相信这将引起轰

动。《克列尔杂志》没有使他失望。第二年也就是在1854年第47卷

上，杂志全文刊登了维尔斯特拉斯的这篇论文。这是《克列尔杂志》

对数学发展作出的又一个重大贡献。

论文立刻引起巨大的轰动。使人惊讶不已的是，这么一篇伟大

杰作竟出自一位不知名的偏远的乡村教师之手。这是一项规模宏大

的工程，包含大量创造性的成果。人们还感到不解：为什么即使其

中某项单独的成果也从来没有披露过?这几乎是没有先例的啊。

柯尼斯堡大学是椭圆函数的发祥地之一。当年雅可比教授在这

里对椭圆函数作出过重大贡献。现在，理查劳特教授是雅可比多周

期函数理论的出色继承者。他一看到维尔斯特拉斯的论文立刻就明

白，这位中学教师完成了一项多么了不起的工作。他敦促学校授予

维尔斯特拉斯博士学位，并且立即启程，亲自把证书送到勃朗斯堡。

在老校长举行的宴会上，理查劳特满怀激情地大声宣布：

“我们终于找到我们的大师——维尔斯特拉斯!”

参加庆祝活动的教育部长当场提升维尔斯特拉斯并且慷慨地给

他一年假期来继续完成他的研究。这大概是教育部为了弥补多年来

对维尔斯特拉斯不公正的待遇吧。《克列尔杂志》编辑勃恰特也兴

冲冲赶到勃朗斯堡来向这位世界最伟大的分析学家祝贺，从此开始

了这两位朋友令人难忘的友谊，直到25年以后勃恰特去世。

一切是来得这么突然。对自己的工作这样迅速得到毫无保留的

承认，使维尔斯特拉斯深深感动，也不无感触。正如他晚年的时候

所说：

“生活中的一切来得太晚啦!”

两年以后，《克列尔杂志》刊登了维尔斯特拉斯早年在西普鲁

士偏僻小村写的另一篇论文：《评解析阶乘》。提到这篇论文，不是

因为阶乘是一个使老分析学家感到头痛的问题，而这一次维尔斯特

拉斯抓到了问题的核心；值得一提的是克列尔可贵的品格。要知道

克列尔本人，作为数学的业余爱好者，在《克列尔杂志》上发表过

一系列有关阶乘的论文，维尔斯特拉斯的论文实际上正是针对克列

尔的错误而写的。为此，克列尔在维尔斯特拉斯的论文前面写了一

段令人难忘的按语。他在坦率地承认维尔斯特拉斯所指出的错误以

后，真诚地接着写道：

“我决不把我的作品看做是个人的私事，也不追求名誉和赞美。

我只是为真理的进展竭尽所能。是我还是别的什么人，对我来说无

关紧要，重要的是它更接近于真理。”

克列尔是这样说的，也是这样做的。维尔斯特拉斯把指出克列

尔错误的论文送到《克列尔杂志》发表，是不奇怪的，因为他充分

信赖克列尔的明智和博大胸怀。

教师典范

维尔斯特拉斯没有回勃朗斯堡；那里没有他合适的工作。柏林

的数学家们克服困难让他到柏林皇家工业学校任数学教授。这是

1856年7月1日。同年秋天，他又兼任柏林大学助理教授并且被

选为柏林科学院院士。为了弥补过去的损失，维尔斯特拉斯以空前

热情投入工作。但是事与愿违。极度紧张的研究和过于频繁的演讲

把他累垮了。1859年夏天，他因为神经衰弱被迫到外地休养。秋天

回来，身体有所康复。可是毫无节制的工作又使旧病复发。第二年

3月，突发性一阵阵眩晕，迫使他不得不中断课程。从此以后，眩

晕病时断时续。他的教学负担大大减轻，而且再也不亲自上讲台讲

课了。他开始改变讲课的方式。上课的时候，他坐在靠近黑板的教

室一侧，这样既可以看到黑板，又可以看到全班学生。他向班代表

口授内容，再由班代表把它写在黑板上。要是这个代表突然心血来

潮，想把维尔斯特拉斯讲的内容稍稍“发挥”一下，这种企图常常

会得到坚决的制止。他走上讲台把画蛇添足的部分擦掉。这时候班

代表和老师之间可能会展开一番有趣的辩论。不过，用不了几个回

合，全班学生就清楚了解到，他们的代表是怎样把事情弄巧成拙的。

整个教学过程生动活泼，气氛十分活跃。

师生之间的思想交锋，受益的不仅是学生；它为维尔斯特拉斯

的研究工作提供了有价值的线索。要说服学生必须使自己的推理无

懈可击。维尔斯特拉斯正是一个不凭直觉、仅仅依靠缜密推理一步

一个脚印向前推进的人。人们交口赞誉的“维尔斯特拉斯严密性”

已经成为严格推理的同义语。在教学过程中他发觉，分析中的概念

经过柯西等人的努力已经大大前进，但是有的地方仍旧含糊不清。

比如，“一个变量趋于一个极限”，容易使人想起时间和运动；“变

为而且保持小于任意给定的量”，这个说法也不明确。这些缺陷最

终导致维尔斯特拉斯“δ-ε”语言的发明。用“δ-ε”语言来解释

分析中的基本概念已经为今天大学课本所普遍采用。维尔斯特拉斯把

分析的概念由动态的表述改为静态的，这样就更加明确清晰，也更

有说服力了。

为了说明直觉的不可靠，维尔斯特拉斯在1872年的一次讲课中

构造出一个连续函数却处处没有导数的著名例子，震惊了整个数学

界。这是和人们的直觉大相径庭的。在过去，人们习惯于把曲线看

做是动点运动的轨迹。动点运动的方向就是切线方向；因此，没有

切线的连续曲线是不存在的。怪不得在柯西以后近50年中的教科书

都“证明”过这个结论呢。现在，居然有处处没有切线的连续曲线

存在，这个事例不但彻底推翻了过去的“证明”，而且使人们在今

后的推理中不得不小心翼翼地摒弃直观，为分析寻求更深厚的基础。

几何直观不可靠，什么才是可靠的?可靠的只有数。数学家克罗内克

把这种观点表述得最为形象：

“上帝创造了整数，其他一切都是人造的。”

因此，只有把分析建立在整数的基础上才是可靠和合理的。这

就是数学史上著名的“分析算术化”运动的起源，而维尔斯特拉斯

是这个运动的开路先锋。

维尔斯特拉斯在课堂上循循善诱，并且把教学和研究紧密结合，

这样既造就了大批人才，又推进数学的发展；在课后，他又是那样

平易近人，和蔼可亲。他喜欢和学生们一起步行回家，一边走，一

边聊，话题五花八门。凡是学生们感兴趣的，维尔斯特拉斯都有浓

厚的兴趣。路过小酒店，他总要邀请他们进去小酌一番。透过一圈

圈烟雾，呷着啤酒，进行无拘无束的谈话，使他有说不出的畅快。

维尔斯特拉斯的名声越过德意志边界传到欧洲，传到美国。听

课人数的增加已经失去控制，过道上挤满了座位，有的就干脆站着

听。维尔斯特拉斯有时感到遗憾，听众的素质远远落后于人数的膨

胀。不过，用不着担心，在他的周围总有一批极有才干的青年数学

家，他们衷心地敬爱他并且积极宣传他的思想。这一点尤为重要。

因为维尔斯特拉斯在发表自己论文方面总是慢条斯理，反复推敲，

从来不为优先权操心。要是没有得意门生及时地把他的思想大力向

全世界传播，他对19世纪数学思想的影响恐怕就要大大削弱了。

说到维尔斯特拉斯的得意门生，有一段值得一提的插曲。1873

年，瑞典的米塔-列夫勒从斯德哥尔摩慕名来到巴黎，向著名的法

国数学家埃尔米特学分析。埃尔米特为人热心，心胸宽大。他得知

米塔-列夫勒的来意以后，真心诚意地对他说：

“先生，你搞错了。你应当到柏林去听维尔斯特拉斯的课，他

才是我们所有人的老师。”

作出这样的推荐是何等的难得!要知道埃尔米特本人并不是二

三流的数学家，而是享有世界声誉的真正第一流数学家；而且法德

两国两年前刚刚打了一场残酷的普法战争，普鲁士的“铁血宰相”

俾斯麦统率的普鲁士军队一直进攻到巴黎城下!

米塔-列夫勒接受埃尔米特的忠告，来到维尔斯特拉斯的门下。

果然，两年以后，他作出了一项重大的发现：对复变函数论中基本

定理——柯西定理作出严格的证明。这个证明在今天函数论书籍中

都可以找到。米塔-列夫勒感慨万千。他说：

“埃尔米特是法国人而且是爱国者，但是，我更认识到，他是

一位什么样的数学家!”

最宠爱的女弟子

在维尔斯特拉斯众多的杰出弟子中，不能不提到俄国著名女数

学家——索菲亚·柯瓦列夫斯卡娅。对她，维尔斯特拉斯不仅倾注

了心血，还倾注着深情。柯瓦

列夫斯卡娅是近代重要的女数

学家，也是妇女解放运动的领

导人之一。除此以外，她还是

优秀的作家。年轻的时候，她

长期在文学和数学之间徘徊。

她在数学上写出一篇重要论文

以后，还写过一本描写她童年

时代在俄罗斯生活的小说作为

消遣。这本小说首先在瑞典和丹麦出版，后来译成多国文字。这本名

为《维拉·伏龙佐娃》的小说受到俄国和斯堪的纳维亚文学批评家的

一致好评，认为无论在内容上还是艺术上都足以和俄国第一流作家的

小说媲美。

1850年1月15日，索菲亚·柯瓦列夫斯卡娅诞生于莫斯科的

望门贵族，父亲是一名将军。她15岁开始学习数学，不到3年，已

经取得长足进步。1869年以来，她在海德堡大学一边听利昂·康涅

斯博格椭圆函数理论，一边听德国物理学家亥姆霍兹和基尔霍夫的

物理课程。康涅斯博格是维尔斯特拉斯第一批学生，他看到索菲亚

是数学天才，热情地介绍她到柏林直接向维尔斯特拉斯求教。

1870年暑假，维尔斯特拉斯本来打算和往年一样到外地休养。

可是普法两国正打得不可开交，交通工具都被征用来为战争服务。

他只好打消外出度假的念头，继续留在柏林教他的椭圆函数。由于

战争，大批青年应征入伍。听课的人数减少了一大半。和当年热气

腾腾的场面相此，教室里显得有点冷清。一天中午，维尔斯特拉斯

正在房中小憩。外面烈日炎炎，知了聒噪。一阵敲门声把他从假寐

中惊醒。敲门的不是别人，正是索菲亚·柯瓦列夫斯卡娅。她听从

康涅斯博格的忠告，行色匆匆径直来到柏林维尔斯特拉斯的住所。

这一天，她穿一件合身的白色连衫裙，头戴一预大檐的软帽，这样

既可以掩饰她紧张的心情，又使人看不到她动人的眼睛。维尔斯特

拉斯的学生都是男性，这次看到一位天使般美貌的年轻女子来求学，

不免感到意外高兴。要知道索菲亚的美丽和她迷人的眼睛是出名的，

这里还有一则有趣的故事呢!

在海德堡大学工作的德国著名化学家本生是个性情孤僻的鳏夫，

整天在实验室里和化学药品、仪器打交道。他一次因为爆炸失去了

一只眼睛；一次因为砷中毒几乎丧身。他公开宣称，不允许妇女特

别是非德意志妇女进他的实验室以亵渎他实验室中男性的圣洁。碰

巧索菲亚的一个朋友，也是一位俄罗斯姑娘，想到本生的实验室学

习化学。她的要求遭到本生直截了当的拒绝。这位姑娘请求索菲亚

帮忙。索菲亚把帽子留在家里去见本生。她那双撩人心弦的眼睛使

本生完全忘记自己的誓言，一口答应她的要求。等到索菲亚飘然离

去，本生才醒悟过来。后来，在一次聚会上，他向维尔斯特拉斯后

悔不迭地承认：“咳，是那个女孩子使我食言!”并且再三称她是个

“危险的女郎”。本生不知道，那时候索菲亚接受维尔斯特拉斯私人

授课已经两年多了!

索菲亚到大学听课，必须得到大学评议会的同意。可是评议会

的委员们采取毫不通融的态度。在封建的德国，女子是被拒在高等

学府大门之外的；只有具有民主传统的格丁根大学是光荣的例外。

维尔斯特拉斯毫不屈服。尽管自己健康状况不佳，他决定每个星期

天下午在家里专门为索菲亚上课，并且每星期回访一次。本来，维

尔斯特拉斯作为老师，在礼节上并没有回访的必要。他这样殷勤，

恐怕要怪索菲亚在一开始没有向老师说明，自己是一个已婚女子，

虽然还只是名义上的。在19世纪70年代，一个未婚的女学生出国

留学是要遭人议论的。为了制止流言蜚语，她和莫斯科大学古生物

学研究生弗拉基米尔·柯瓦列夫斯基名义上结婚以后就独自一人来

德国留学了。

从第三次上课起，索菲亚就把帽子留在家里。中途除了假期和

生病，课程从1870年一直持续到1874年。那一年，索菲亚因为一

篇有关偏微分方程的论文缺席获得格丁根大学的学位以后，回到俄

国。一到圣彼得堡，她立刻被崇拜和谄媚的人群所包围，淹没在鲜

花和掌声之中。尽管维尔斯特拉斯多次去信，索菲亚音信杳然。

1878年，对概率论有重要贡献的俄国数学家切比雪夫(1821—1894)

来德国拜访维尔斯特拉斯，不巧他正好外出，没有见到。后来勃恰

特把切比雪夫的口信转告给他：索菲亚已经放弃数学，进入社交界。

维尔斯特拉斯听到以后十分难过。他好几天闷闷不乐，最后竟病了

一场！

1878年10月，索菲亚因为女儿芳菲降生，被迫退出社交界。

清闲无事的状况再次激起她的数学热情。她写信请维尔斯特拉斯给

予指导。维尔斯特拉斯回信说，他需要查阅有关资料以后才能发表

意见。虽然她长期冷落他，他仍旧准备一如既往地给予慷慨帮助。

“我不愿意纠缠过去。好啦，让我们放眼未来吧。”1880年10月，

索菲亚再次写信向维尔斯特拉斯求教。没有等维尔斯特拉斯回信，

她已经收拾行李到达柏林。维尔斯特拉斯花了整整一天给她补课，

并且建议她研究一下晶体介质中光的传播。他的关怀和教诲大大激

发索菲亚的工作热情。3个月以后，当索菲亚返回莫斯科，朋友们

对她的干劲大吃一惊。1884年，经米塔·列夫勒的帮助，索菲亚出

任斯德哥尔摩大学终身教授。

维尔斯特拉斯浇注的心血终于结出成果。1888年圣诞节前夕，

索菲亚《论刚体绕固定点的旋转》一文获法兰西科学院颁发的鲍罗

廷奖。这个奖的竞争者在送寄论文的时候，必须把自己的名字封在

另一只信封里。只有当论文获奖的时候，才能够打开信封看到论文

作者的真实姓名。这样做为的是使评判尽可能地公正。评委会对索

菲亚论文的评价是如此之高，以致决定把奖金破格地由原来宣布的

3000法郎提高到5000法郎。这个消息使维尔斯特拉斯欣喜异常。

他写信给索菲亚表示热烈祝贺：

“我无须对你说明，你的成功使我、我的妹妹和你在这里的朋

友们是多么的高兴。我尤其感到真正的满意：有资格的评判已经表

明，我‘忠实的学生’，我‘柔弱的朋友’，的确不是一个‘轻浮的

牛皮大王’。”

可惜两年以后，1891年2月10日，维尔斯特拉斯的这位任性

而富有才华的学生患肺炎病逝于斯德哥尔摩。终年仅41岁。

尾声

维尔斯特拉斯的晚年，由于用脑过度，体力日益衰退。但是他

的思想仍旧敏锐，他的工作一刻没有停息。

维尔斯特拉斯70岁生日那天，他在全欧洲的弟子和过去的学生

都来到他的身边，开了一个隆重而热烈的庆祝会。从那以后，他公

开讲课愈来愈少。他只收少数几个学生在自己的家里上课。累了的

时候，学生们就和他聊天，听他饶有兴味地回忆学生时代的各种恶

作剧和他当乡村教师的日子里的艰苦状况。80岁生日的庆祝活动更

为盛大；维尔斯特拉斯成为德国人民的骄傲，一位民族英雄。

索菲亚去世以后，维尔斯特拉斯把她给他的全部信件，连同他

的其他信件，可能还有不止一篇的数学论文，都付之一炬。不过，

在索菲亚的遗物中还可以找到维尔斯特拉斯的一部分信札。这些信

件不仅反映出维尔斯特拉斯对这位弟子的钟爱，而且在科学上无疑

具有重要意义。可惜索菲亚是个相当随便的人，她保存的资料杂乱

无章，而且显然残缺不全。

维尔斯特拉斯本人也好不了多少。他把没有发表的手稿随便借

给学生，不作任何登记。他们常常一借不还；有的甚至毫无顾忌地

剽窃他的成果，以他们自己的名义发表。他在给索菲亚的信中抱怨

这种可耻的行径。不过，他的恼火主要是由于他们对他思想的低劣

处理给数学造成不良的后果。索菲亚也不是没有过错。她显然丢失

了维尔斯特拉斯寄给她的一篇极为重要的论文。从维尔斯特拉斯的

信中来看，每次维尔斯特拉斯提到这个问题，索菲亚总是小心翼翼

地把它支开了。可能为了弥补自己的过失，索菲亚尽力使维尔斯特

拉斯对其余没有发表的手稿采取预防措施。可惜她的愿望最后付诸

东流。维尔斯特拉斯在外出旅行的时候，喜欢把没有完稿的稿子装

在一只白色小木箱里跟随他一起旅行。和高斯一样，他总是要把自

己的成果雕琢得尽善尽美才肯拿出来发表。在车厢里，他一边眺望

远处的景色，一边专心思考问题。一旦来了灵感而手边没有纸，他

就把结果写在自己衬衫的袖头上!十分遗憾，在1880年的一次旅行

中，他神秘的小木箱失踪了，从此再也没有发现!

维尔斯特拉斯是一位真正的巨人。他的工作是开创性和根本性

的；他的成果丰硕而且坚实。他在幂级数基础上建立解析函数理论

和解析开拓方法，发展和完善椭圆函数理论，成为19世纪数学中最

惊人最优美的创造——函数论的重要奠基者；他为分析的严密化作

出了不可磨灭的贡献，是分析算术化运动的开创者之一；他对天文

学的n体问题和光学都有重大建树。由于他难得及时发表自己的成

果，因此很难确定他的创作日期。他的成果大部分是在柏林大学讲

课的时候由他的学生陆续向外传播的。但是，尽管其他人的工作可

能发表在他以前，人们一眼可以看出，维尔斯特拉斯是完全独立于

他们作出创造的；他的成果具有明显的维尔斯特拉斯标志。他是伟

大的数学家，又是杰出的数学教师。他高尚的风范和精湛的艺术是

永远值得全世界数学教师学习的光辉典范。

1897年2月19日，一代分析大师维尔斯特拉斯平静地在柏林

的寓所停止了呼吸。他的最后愿望是，只要神父做一次合乎惯例的

祈祷，不要在葬礼上为他歌功颂德。