变速圆周运动

高一物理习题课：竖直面内的变速圆周运动及临界状态

（2014-3-12）

【学习目标】

对竖直面内变速圆周运动能正确分析受力，明确其临界状态

【发展目标】

通过实例体会物理在生活中的应用，培养学生学习物理的兴趣

【重、难点】

根据牛顿第二定律利用向心力公式解决实际问题

【学习过程】

对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的

情况，并且经常出现临界状态，下面对这类问题进行分析：

一、没有物体支撑的小球

1、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动在最高点的情况

（1）球在最高点向心力是由什么力提供的？

（2）若绳长为r，小球质量为m，小球运动到最高点时的速度为v，求绳对球的拉力？

（3）由（2）的结果分析当小球速度减小，绳中拉力如何变化？

2、若小球在光滑轨道内侧做圆周运动，轨道对小球的弹力情况

与上述情况类似，同学们试试自己分析一下。

〖归纳总结〗

“绳模型”如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。

注意：a中绳对小球只能提供拉力，方向向下。

（b中轨道对小球只能提供弹力，方向向下）

（1）小球能过最高点的临界条件：绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零

mg=

2v

m

r

v

临界

=gr

（2）小球能过最高点条件：v≥gr

当v>gr时，绳对球有拉力（轨道对球有支持力）

（3）不能过最高点条件：v

【例1】长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，

再给小球一个水平初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说

法中正确的是

A．球过最高点时，速度为零

B．球过最高点时，绳的拉力为mg

C．开始运动时，绳的拉力为

2v

m

L

D．球过最高点时，速度大小为

Lg

v

·

绳

v

a

b

v

V

0

绳

v

二、有物体支撑的小球

1、如图所示，轻杆的一端固定一小球在竖直面内做圆周运动，

（1）球在最高点的向心力是由什么力提供的？

（2）若杆长为r，小球质量为m，小球运动到最高点时的速度为v，求杆对球的弹力？

（3）由（2）的结果分析当小球速度减小，杆中弹力如何变化？可按以下思路进行：

a、当v＝0时，轻杆对小球有的，其大小等于。

b、当0＜v＜gr时，杆对小球的力的方向，其大小随速度的增大

而，其取值范围是：。

c、当v＝gr时，F

N

=。

d、当v＞gr时，杆对小球有指向圆心的，其大小随速度的增大而。

2、如下图所示的小球通过光滑双轨道最高点时，轨道对小球的弹力情况与上述情况类似。

a、当v＝0时，管的内壁侧（填“上”或“下”）对小球有向的，

其大小等于。

b、当0＜v＜gr时，管的内壁侧对小球有向的，

其大小随速度的增大而，其取值范围是：。

c、当v＝gr时，F

N

＝。

d、当v＞gr时，管的内壁侧对小球有向的，其大小随速度的增大

而。

〖归纳总结〗

“杆模型”如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况

注意：轻杆和细线不同，轻杆a对小球既提供拉力，又能产生提供力。

（双轨和单轨不同，双轨b对小球既能提供向下的弹力，又能提供向上的弹力）

（1）小球能最高点的临界条件：v=0，此时F=mg（F为支持力）

（2）当0

（3）当v=gr时，F=0

（4）当v>gr时，F随v增大而增大，且F>0（F为拉力）

【例2】如图所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球做半径为R

的圆周运动，以下说法正确的是

A．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零

B．球过最高点时，最小速度为Rg

C．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反

D．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力

v

杆

v

O

杆

b

a

O

〖教师点拨〗

圆周运动临界问题

（一）水平面内圆周运动的临界问题：

做圆周运动的物体，其向心力可能由弹力、摩擦力等提供，常涉及绳的张紧与松弛、接触

面间相对滑动、接触面分离等临界状态，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语。．通过受

力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法．常见的如：

绳子的临界：绳子突然松弛——张力T=0

绳子突然断裂——张力T=Tmax

接触面相对滑动的临界：静摩擦力充当向心力时突然消失——摩擦力f=0

静摩擦力充当向心力时达最大值——摩擦力f=fmax

接触面分离的临界：与接触面不挤压——弹力F

N

=0

（二）竖直面内圆周运动的临界问题：

物体在竖直面内做的圆周运动往往是变速圆周运动，在某些特殊位置上，常存在着最小

(或最大)的速度，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，此速度即为临界速度。在这个位置，物体

的受力必满足特定的条件，这就是临界条件。首先明确物理过程，对研究对象进行受力分析，，

根据牛顿第二定律列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出

临界值——临界速度。常见的如：

轻绳模型（或单轨内侧、水流星）

轻杆模型（或双轨、管道内部、火车转弯）

拱形桥（或单轨外侧）

【反馈练习】

A1．如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，

使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是

A．a处为拉力，b处为拉力

B．a处为拉力，b处为推力

C．a处为推力，b处为拉力

D．a处为推力，b处为推力

A2．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速

度为v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是

A．0B．mg

C．3mgD．5mg

A3．长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。现给小球一个初速度，

使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v，则下列叙述正确的是

A．v的最小值为

gL

B．v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大

C．v由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大

D．v由gL逐渐减小，杆对小球的弹力逐渐增大

B4．如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道

最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，

且从A点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D，

则小球在通过D点后

A．会落到水平面AE上

B．一定会再次落到圆轨道上

C．可能会落到水平面AE上

D．可能会再次落到圆轨道上

B

h

A

C

D

E

a

O

·

b

B5．绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，

绳长L=60cm，g=10m/s2，求：

（1）最高点水不流出的最小速率？

（2）水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力？

B6．长L=0.5m，质量可以忽略不计的轻杆，一端固定于O点，另一端连有质量m=2kg的小球，

小球绕O点做圆周运动，如图所示。当小球通过最高点时，就下列两种情况讨论杆受到的力多

大？并说明是拉力还是压力。（取g=10m/s2）

（1）在最高点时小球的速度v

1

=1m/s；

（2）在最高点时小球的速度v

2

=4m/s。

C7．如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A

放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r.物体A通过轻绳、无摩擦的

滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦

力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能

随盘转动？

【错解】当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力F

m

′指向圆心，则F

m

′＝mω

m

2r①

由于由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即F

m

′＝μF

N

＝μmg②

由①、②解得：

m

g

r





要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足0

g

r



＜＜

【错因】A物随盘一起做匀速圆周运动提供是绳的拉力和A物所受的摩擦力的合力，而拉力的

大小始终等于B物的重力。

【正解】由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重

力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，

或背离圆心.当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力

与最大静摩擦力的合力.即

F＋F

m

′＝mω

1

2r①

由于B静止，故F＝mg②

由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即F

m

′＝μF

N

＝μmg③

由①、②、③解得

ω

1

＝rg/)1(；

当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为：

F－F

m

′＝mω

2

2r④

由②、③、④得ω

2

＝rg/)1(.

要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足

rg/)1(≤ω≤rg/)1(

【学后反思】

v

杆