任意三角形

七年级数学瓷砖的铺设、三角形华东师大版

【本讲教育信息】

一.教学内容：

瓷砖的铺设、三角形

学习目标：

1.理解正多边形能够铺满地面的道理。

2.了解三角形的内角、外角及其中线、高、角平分线等概念和三角形的稳定性，会用刻

度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高。

3.了解几种特殊的三角形与多边形的特征，探索并掌握三角形的外角性质与外角和，理

解并掌握三角形的三边关系。

知识内容：

一.瓷砖的铺设

走在大街上，进入宾馆或饭店，在许多地方，我们都可以看到由各种形状的地砖铺成的

漂亮的地面和墙面。在这些地面或墙面上，相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起，整个地面

或墙面上没有一点空隙。那么，多边形的瓷砖需要满足什么条件时才能铺满地面而不留一点

空隙呢？

多边形材料铺地板，要求材料要全等，内角和的整数倍是360°或每个内角相等时内角

的整数倍是360°。所以适合的材料为三角形、四边形和各内角都相等的六边形，有时为了

美观，可以有其他形状材料掺杂其中。从稳定程度考虑各边受力比较均匀且受制约条件多的

较稳，如各角都相等的六边形。

二.三角形

1.三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段

就是三角形的边。

三角形可以按角来分类：

所有内角都是锐角––––锐角三角形

有一个内角是直角––––直角三角形

有一个内角是钝角––––钝角三角形

我们把两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三边

都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）。

2.三角形的外角有两条性质：

（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

三角形的外角和等于360°。

3.三角形的三边关系：

三角形的任何两边的和大于第三边。

用三根木条钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个三角形的形状和大小，也就是说，

如果三角形的三边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了。三角形的这个性质叫做三

角形的稳定性。

用四根木条钉一个四边形，你会发现可以任意改变这个四边形的形状和大小，这说明四

边形具有不稳定性。

三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用。例如桥梁、拉杆、电视塔架底座都是三

角形结构。

【典型例题】

例1.工人师傅利用边角余料铺地板时，用6个形状一样的三角形拼在一起，能够无缝隙

地覆盖住A点及周围小区域，用4个形状一样的四边形拼在一起，也能无缝隙地盖住A点

及周围小区域，从上述的两种覆盖中，我们发现：要完全盖住A点及其周围小区域，必须

满足的条件是什么？用边长相等、各角相等的正五边形能不能覆盖住A点及其周围小区域，

用正六边形呢？试试看。

分析：这里的问题是几个完全一样的，多边形能够铺满地面的条件是什么？这个问题可

通过动手实践，拼一拼就可知道结果。

解：必须满足的条件是拼在A处，以A为顶点的几个角的度数之和为360°，正五边

形三个内角和小于360°，而四个内角和大于360°，所以几个正五边形不能铺满地面；几

个正六边形拼在一起，恰好可以覆盖住A点及周围区域，因为正六边形的每个内角为120°，

它的3倍为360°。

例2.家庭装饰采用的地砖一般是正方形、矩形或菱形材料，人行道铺的水泥砖往往是方

形、三角形或是六边形，为什么要采用这样的材料，采用其它多边形材料行吗？若行，需要

有什么限制？

分析：铺地板时，有以下几点要求：

（1）平整，即材料厚度一致；

（2）无缝隙，要满足下面两点才能保证：

①相邻两块砖拼接的对应边要完全重合，即对应边相等；

②在每块砖的顶点处要能拼成周角360°。

（3）考虑稳定性，符合力学要求。

解：三角形材料只要全等，由内角为180°，用六个全等三角形能在一个顶点处拼得

360°角，对应边相等，能保证相邻两个三角形拼接的边能完全重合，故三角形材料在全等

条件下能铺满地板。

对于全等的特殊四边形材料，由内角和为360°，可以铺满地板，其实，一般的四边形

材料也能。

五边形因其内角和为540°，不是360°的整数倍，当这个五边形为正五边形时，每个

内角为108°，它的整数倍不是360°，故不能在顶点处构造360°角，所以不能用五边形

材料铺地板。

六边形材料，因其内角和超过360°，不能用一般六边形拼成360°角，但正六边形的

每个内角都为120°，它的3倍为360°。故在一个顶点处，用三个这样的六边形能拼成

360°，故可行。

当边数多于6时，无论内角是否相等，都无法拼成360°角，所以不能用它们来铺地板。

例3.如图，ABC中，CB9040，

，D为BC上一点，且ADC60，

求BADCAD，的度数。

A

BDC

分析：在ACD中，已知C的度数和ADC的度数，利用三角形的内角和为180°，

可求得CAD的度数，ADC是ABD的一个外角，B的度数已知，故BAD的度数

可求。

解：在CAD中

CADC9060，

CCADADC180

CAD180906030

ADCBBADB，40

BAD604020

说明：在求角度的问题中，三角形的内角和与三角形外角的性质①是两个常用的知识，

要注意灵活运用。

例4.如图，已知ABC中，AD是ABC外角EAC的平分线，且交BC的延长线于D，

你能比较ACB与B的大小吗？说出你的理由。

E

A2

1

BCD

分析：因为ACB与B在同一个三角形中，不能直接比较大小，可利用一个中间量

来“过渡”，图中12，即为“过渡”的角。

解：AD平分EAC，12

2是ABD的外角

21BB，

又ACB是ACD的外角

ACBACBB1，

说明：在比较两个角的大小时，应注意到利用三角形外角的性质2，本题还利用了不等

式的传递性，即甲大于乙，乙大于丙，则甲大于丙。

例5.如图所示，在ABC的CA、BA的延长线上任取D、E两点，连接DE，做

DEABCA，的平分线，使它们相交于F，求证：FBD

1

2

()。

E

D

G

FA

H

BC

分析：BD，在两个不同的三角形内，用三角形内外角的关系把它们联系起来以达

到目的。

证明：设EF交CD于G，CF交AB于H

CGEFGCF

AHCFHEF

（三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和）

FCGEGCF①

FAHCHEF②

EF平分DEA，CF平分ACB（已知）

HEFDEGGCFFCB，（角平分线的定义）

2FCGEGCFAHCHEF







CGEFCBAHCDEG

CGEDEGAHCFCB

DB

FBD

1

2

()

说明：求角与角的关系时，可用三角形的内、外角关系把它们联系起来，再利用三角形

的外角性质定理来求它们的关系。

例6.如图，D是ABC内任一点，连结BD、CD，求证：ABACDBDC。

A

E

D

BC

分析：因为AB、AC在ABC中，DB，DC在DBC中，我们只学过三角形两边之和

大于第三边，所以应想办法使其中的某些线段在同一个三角形中。

证明：延长BD交AC于E

在ABE中，ABAEBDDE①（三角形两边之和大于第三边）

在EDC中，DEECDC②（三角形两边之和大于第三边）

①＋②得：ABAEDEECBDDEDC

即ABAEECDEBDDEDC()

ABACBDDC

说明：判断已知的三条线段能否构成三角形要根据两边之和大于第三边，此外也可利用

三角形中两边之和大于第三边来确定边与边的大小关系。

例7.一个等腰三角形的周长是18cm

（1）已知腰长是底边长的2倍，求各边长。

（2）已知其中一边长4cm，求其它两边长。

分析：（1）可直接根据定义计算；（2）因为4cm有可能作腰，也有可能作底，故要分

两种情况。

解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm

xxx2218

x36.

三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm

（2）第一种情况：4cm的长的边为底，设腰长为xcm

则2418x

x7

第二种情况：4cm的长为腰，设底边长为xcm

则x2418

x10

4410，即发生两边的和小于第三边的情况

4cm为腰不能组成三角形，从而得这个三角形其他两边长都是7cm。

说明：三角形的三边，有的各不相等，有的两条边相等，有的三条边相等，解题应注意，

求三角形的边长问题，一定要考虑三角形三边关系定理，不满足定理的应舍去。

例8.草原上有4口油井，位于四边形ABCD的4个顶点，现在要修建一个维修站H，试

问H建在何处，才能使它到4口油井的距离HAHBHCHD为最小，说明理由。

C

D

H

H’

AB

解：维修站应建在两条对角线的交点H处，取异于H的点H’，根据三角形的两边之和

大于第三边，有：

HDHBHDHB

HCHAHCHA

''

''





HDHBHCHAHDHBHCHA''''

HAHBHCHD为最小

例9.已知，ABC中，AD是BC边上的中线，求证：ADBDABAC

1

2

()

A

BDC

分析：由于AD是BC边上的中线，所以BD＝DC

因此，要证明ADBDABBC

1

2

()，只需证明2()()ADBDABAC

即证明ADBDADDCABAC

这就需要在ABD和ACD中，利用三角形三边关系来解决。

证明：AD是BC边上的中线，BDDC

在ABD中，ADBDAB

在ACD中，ADCDAC

（三角形的两边之和大于第三边）

2ADBDCDABAC

22ADBDABAC

ADBDABAC

1

2

()

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

1.通过本节的学习，你觉得几个完全一样的多边形瓷砖能够铺成一片的关键是什么？

2.如图所示，有长方形和正方形两种瓷砖。若单用长方形瓷砖铺地面，你能设计出几种

铺法？若单用正方形瓷砖铺地面，你能设计出几种铺法？若采用这两种瓷砖铺地面，你有几

种铺法？试画出图形。

3.用大小为1×1，2×2，3×3的瓷砖铺一个23×23的正方形地面。

（1）请设计一种方案，只用1块1×1的正方形及若干2×2，3×3的瓷砖铺满地面。

（2）证明要铺满地面，没有1×1的正方形不行。

4.设计并绘制两种不同的瓷砖铺设方案，注意讲究美观。

5.工人师傅常把一批形状、大小完全相同，但不规则的四边形边角余料用来铺地板，按

如图那样拼接四边形木块，就可不留空隙，拼成一片，你能说出其中的原因吗？

6.如图，A55，B45，C30，则1_______。

7.如图，ABCDE__________度。

8.如果等腰三角形一边长是3cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的腰长是

______cm。

9.在ABC中，BC＝10，那么AB＋AC的取值范围是_____________。

10.现有8根木棍，它们的长分别是1，2，3，4，5，6，7，8，若从8根木棍中抽取3

根拼三角形，要求三角形的最长边为8，另外两边之差大于2（以上单位为cm），那么可以

拼成的不同的三角形的种数为_______________。

11.下列说法中正确的是（）

A.斜三角形是锐角三角形B.钝角三角形是斜三角形

C.任意三角形是斜三角形D.等腰三角形是斜三角形

12.下列判断正确的是（）

①平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线

②三角形的中线，角平分线都是线段

③一个三角形有三条角平分线和三条中线

④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线

A.①②③④B.②③④

C.①④D.②③

13.三角形的三条高中，在三角形的外部最多有（）

A.3条B.2条C.1条D.0条

14.三角形的三个外角中，钝角的个数至少有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

15.ABC中，ABC

1

3

1

5

，则ABC是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

16.ABC的B和C的外角平分线交于D，则BDC等于（）

A.

1

2

90()AB.90A

C.

1

2

180()AD.180A

17.已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形（）

A.是锐角三角形B.是直角三角形

C.是钝角三角形D.以上三种情况都有可能

18.以下列长度为边的三条线段不能组成三角形的组数是（）

①1，2，3②2，3，4

③4，5，5④5，6，10

A.①B.②C.③D.④

19.已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边a的取值范围是（）

A.35aB.38a

C.25aD.28a

20.一个三角形的两边分别是5和11，第三边长是一个偶数，则第三边长是（）

A.4B.6C.8D.以上都不对

21.如图，ABC中，已知AD是高，AE是角平分线，BC6054，，求BAE

和DAE的大小。

22.如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角平分线相交于点D，求证：

DA

1

2

23.如图，已知CD＝AB，求证：ADBC

A

BCD

【试题答案】

1.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个

平面图形。

2.

3.（1）在23×23的正方形中央铺设1×1的瓷砖，再把剩下的部分划分为4个11×12

的矩形，其中每一个矩形可分成2×12和9×12的矩形，然后铺上相应的2×2和3×3的瓷

砖。

（2）把23×23的正方形的行连接编号，并把号码为1、4、7…22的行涂成黑色，而把

其余的涂成白色，那么任何2×2或3×3的正方形瓷砖都将含偶数个白格，所以那样的瓷砖

铺成23×23的正方形是不可能的，因为23×23的正方形包含有奇数个白格。

4.略

5.四边形内角和为360°

6.50°

7.180提示：连接CD

8.8

10

10.4种提示：8，7，4；8，7，3；8，7，2；8，6，3

11.B12.D13.B14.C15.C

16.C17.C18.A19.D20.C

21.解：BAC180605466()

BAE33

在RtADB中，BAD906030

故DAE33303

22.证明：DECDBACEBABBA

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

()

23.证明：在ABD中，ABADBD，而BDBCCDCDAB，

因此ADBC