集合知识点

高中数学第一章-集合

考试内容：

集合、子集、补集、交集、并集．

考试要求：

（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等

关系

的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

集合知识要点

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑

三部分：

二、知识回顾：

（一）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.

2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.

集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为AA；

②空集是任何集合的子集，记为A；

③空集是任何非空集合的真子集；如果AB，同时BA，那么A=B.如果AB，BC，那么AC.

［注］：①Z=｛整数｝（√）Z=｛全体整数｝（×）

②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N；A=N，则CsA=

｛0｝）③空集的补集是全集.

④若集合A=集合B，则CBA=，CAB=CS（CAB）=D（注：

CAB=）.

3.①｛（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R｝坐标轴上的点集.

②｛（x，y）|xy<0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.

③｛（x，y）|xy>0，x∈R，y∈R｝一、三象限的点集.［注］：①对方程组解的集合应是点集.

例：xy3解的集合{(2，1)}.

2x3y1

②点集与数集的交集是.(例：A={(x，y)|y=x+1}B={y|y=x2+1}则A∩B=)

4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n－1个.③n个元素的非空真子集有2n－2个.

5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.

例：①若ab5，则a2或b3应是真命题.解：逆否：a=2且b=3，则a+b=5，成立，所以此命

题为真.

②x1且y2，xy3.

解：逆否：x+y=3x=1或y=2.

x1且y2xy3,故xy3是x1且y2的既不是充分，又不是必要条件.

⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.

3.例：若x5，x5或x2.

4.集合运算：交、并、补.

【并集】在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合，而不

包含其他元素。

基本定义：

若A和B是集合，则A和B并集是有所有A的元素和所有B的元素，而没有其他元素的集合。

A和B的并集通常写作"A∪B"。

形式上：x是A∪B的元素，当且仅当x是A的元素，或x是B的元素。举例：集合{1,2,3}和

{2,3,4}的并集是{1,2,3,4}。数字9不属于素数集合{2,3,5,7,

11,⋯}和偶数集合{2,4,6,8,10,⋯}的并集，因为9既不是素数，也不是偶数。更通常的，多个集合

的并集可以这样定义：例如，A，B和C的并集含有所有A的元素，所有B的元

素和所有C的元素，而没有其他元素。

形式上：x是A∪B∪C的元素，当且仅当x属于A或x属于B或x属于C。代数性质：二元

并集(两个集合的并集)是一种结合运算，即A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。事实上，A∪B∪C也等于

这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的，并集运算满足交换率，即集合的顺序任意。空集是并集运算的单位元。即{}∪A=A，对

任意集合A。可以将空集当作零个集合的并集。结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布

尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成

对称差运算，可以获得相应的布尔环。

【交集】数学上，两个集合A和B的交集是含有所有既属于A又属于B的元素，而没有其他元素

的集合。A和B的交集写作"A∩B"。形式上：x属于A∩B当且仅当x属于A且x属于B。

例如：集合{1,2,3}和{2,3,4}的交集为{2,3}。数字9不属于素数集合{2,3,5,7,11}和

奇数集合{1,3,5,7,9,11}的交集。

若两个集合A和B的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交。更一般的，交集运算

可以对多个集合同时进行。例如，集合A，B，C和D的交集为A∩B∩C∩D＝A

∩(B∩(C∩D))。交集运算满足结合律，即A∩(B∩C)＝(A∩B)∩C。

最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。若M是一个非空集合，其元素本身也是集合，则x属

于M的交集，当且仅当对任意M的元素A，x属于A。

一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集

A的补

U中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集），写作AC，

即：

集（或余集）记作CsA.在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补

集。补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

A-?=A若给定全集U，

则AC=U-A与补集有关的运算规律求补律

A∪CsA=S

A∩CsA=Φ集合的性质：确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不

能成为集合，例如“个子高的同学”

“很小的数”都不能构成集合。

互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}。

无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。

集合有以下性质：若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B集合的表示方法：常用的有列举法和描述

法。

1.列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集

合的方法叫做列举法。{1，2，3，⋯⋯}

2.描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在

大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集

合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0

3.图式法：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一

个集合。常用数集的符号：

（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N

（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+（或N*）

（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z

（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q

（5）全体实数的集合通常简称实数集，记作R

（6）复数集合计作C

交：AB{x|xA,且xB}并：AB{x|xA或xB}补：CUA{xU,且xA}

5.主要性质和运算律

AA,A,AU,CUAU,

AB,BCAC;ABA,ABB;ABA,ABB.

(2)等价关系：ABABAABBCUABU(3)集合的运算律：

1：若A，C是集则下恒等式成

C-(A

∩B)

=(C-A)

∪(C

-B)

C-(A

∪B)

=(C-A)

∩(C

-B)

C-(B-A)=(A

∩C)∪(C

-B)

(B-A)

∩C

=(B

∩C)

-A=

B∩(C-

(B-A)∪C

=(B∪C)

-(A-C)

A)

A-A=??

-A=?

1.交换律

A∩B=B∩A

A∪B=B∪A

2.结合律

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

3.分配律

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

2德.摩根律

Cs(A∩B)=CsA∪CsB

Cs(A∪B)=CsA∩CsB列举法和描述法是表示集合的常用方式。

吸收律

A∪(A∩B)=A

A∩(A∪B)=A

求补律

A∪CsA=S

A∩CsA=Φ

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法根轴法(零点分段法)

①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)⋯(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统

一方便)②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么？)；

④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是

“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.

xx

++x1x2x3xm-3-xm-2xm-1-xmx

23

(自右向左正负相间)

则不等式a

0

xna

1

xn1a

2

xn2a

n

0(0)(a

0

0)的解可以根据各区间的符号确定

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.

000

2.分式不等式的解法

(1)标准化：移项通分化为

f(x)

>0(或

f(x)

<0)；

f(x)

≥0(或

f(x)

≤0)的形式，g(x)g(x)g(x)g(x)

(2)转化为整式不等式(组)f(x)0f(x)g(x)0;f(x)0g

f

(

(

x

x

)

)g(

0

x)0

g(x)g(x)g(x)0

3.含绝对值不等式的解法

(1)公式法：axbc,与axbc(c0)型的不等式的解法.

(2)定义法：用“零点分区间法”分类讨论.

(3)几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

4.一元二次方程根的分布

2一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)

(1)根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.