互相平行

5.3平行线的性质(第1课时)

平行线的性质(一)

教学目标

1.经历观察、操作、想像、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条

理表达能力。

2.经历探索直线平行的性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理

和计算.

重点、难点

重点:探索并掌握平行线的性质,能用平行线性质进行简单的推理和计算.

难点:能区分平行线的性质和判定,平行线的性质与判定的混合应用.

教学过程

一、引导学生逆向思维

现在同学们已经掌握了利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,判定两条

直线平行的三种方法.在这一节课里:大家把思维的指向反过来:如果两条直线平行,那么

同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达?

二、实践探究

1.学生画图活动:用直尺和三角尺画出两条平行线a∥b,再画一条截线c与直线a、b相交,

标出所形成的八个角(如课本P21图5.3-1).

2.学生测量这些角的度数,把结果填入表内.

角

∠1∠2∠3∠4∠5∠6∠7∠8

度数

3.学生根据测量所得数据作出猜想.

图中哪些角是同位角?它们具有怎样的数量关系?

图中哪些角是内错角?它们具有怎样的数量关系?

图中哪些角是同旁内角?它们具有怎样的数量关系?

在详尽分析后,让学生写出猜想.

4.学生验证猜测.

学生活动:再任意画一条截线d,同样度量并计算各个角的度数,你的猜想还成立吗?

5.师生归纳平行线的性质,教师板书.

c

b

a

43

2

1

平行线具有性质:

性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简称为两直线平行,同位角相等.

性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,简称为两直线平行,内错相等.

性质3:两条直线按被第三条线所截,同旁内角互补,简称为两直线平行,同旁内角互补.

教师让学生结合右图,用符号语言表达平行线的这三条性质,教师同时板书平行线的性质

和平行线的判定.

平行线的性质平行线的判定

因为a∥b,因为∠1=∠2,

所以∠1=∠2所以a∥b.

因为a∥b,因为∠2=∠3,

所以∠2=∠3,所以a∥b.

因为a∥b,因为∠2+∠4=180°,

所以∠2+∠4=180°,所以a∥b.

6.教师引导学生理清平行线的性质与平行线判定的区别.

学生交流后,师生归纳:两者的条件和结论正好相反:

由角的数量关系(指同位角相等,内错角相等,同旁内角互补),得出两条直线平行的论述

是平行线的判定,这里角的关系是条件,两直线平行是结论.

由已知的两条直线平行得出角的数量关系(指同位角相等,内错角相等,同旁内角互补)

的论述是平行线的性质,这里两直线平行是条件,角的关系是结论.

7.进一步研究平行线三条性质之间的关系.

教师:大家能根据性质1,推出性质2成立的道理吗?

结合上图,教师启发分析:考察性质1、性质2的结论发生了什么变化?学生回答∠1换成

∠3,教师再问∠1与∠3有什么关系?并完成说理过程,教师纠正学生错误,规范地给出说理

过程.

因为a∥b,所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等);

又∠3=∠1(对顶角相等),所以∠2=∠3.

教师说明:这是有两步的说理,第一步推理根据平行线性质1,第二步推理的条件不仅有

∠1=∠2,还有∠3=∠1.∠2=∠3是根据等式性质.根据等式性质得到的结论可以不写理由.

学生仿照以下说理,说出如何根据性质1得到性质3的道理.

8.平行线性质应用.

例(课本P23)如图是一块梯形铁片的线全部分,量得

∠A=100°,∠B=115°,梯形另外两个角分别是多少度?

教师把学生情况,可启发提问:①梯形这条件如何使

用?②∠A与∠D、∠B与∠C的位置关系如何,数量关系呢?

为什么?

讲解按课本.

三、巩固练习

1.课本练习(P22).

2.补充:如图,BCD是一条直线,∠A=75°,∠1=53°,∠2=75°,求∠B的度数.

E

2

1D

C

B

A

本题综合应用平行线的判定和性质,教师要引导学生观察图形,考察已知角的数量关系,

确定解题的思路.

四、作业

1.课本P25.1,2,3,4,6.

D

C

B

A

2.补充作业:

一、判断题.

1.两条直线被第三条直线所截,则同旁内角互补.()

2.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么同位角相等.()

3.两条平行线被第三条直线所截,则一对同旁内角的平分线互相平行.()

二、填空题.

1.如图(1),若AD∥BC,则∠______=∠_______,∠_______=∠_______,

∠ABC+∠_______=180°;若DC∥AB,则∠______=∠_______,

∠________=∠__________,∠ABC+∠_________=180°.

8

7

6

5

4

3

2

1

D

C

B

A

56

北

乙

甲

北

F

E

D

C

B

A

(1)(2)(3)

2.如图(2),在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路,从甲地测得公路的走向是南偏西56°,甲、

乙两地同时开工,若干天后公路准确接通,则乙地所修公路的走向是_________,因为

____________.

3.因为AB∥CD,EF∥CD,所以______∥______,理由是________.

4.如图(3),AB∥EF,∠ECD=∠E,则CD∥AB.说理如下:

因为∠ECD=∠E,

所以CD∥EF()

又AB∥EF,

所以CD∥AB().

三、选择题.

1.∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF所截而成的内错角,那么∠1和∠2的大小关系是()

A.∠1=∠2B.∠1>∠2;C.∠1<∠2D.无法确定

2.一个人驱车前进时,两次拐弯后,按原来的相反方向前进,这两次拐弯的角度是()

A.向右拐85°,再向右拐95°;B.向右拐85°,再向左拐85°

C.向右拐85°,再向右拐85°;D.向右拐85°,再向左拐95°

四、解答题

1.如图,已知:∠1=110°,∠2=110°,∠3=70°,求∠4的度数.

4

3

2

1

D

C

B

A

2.如图,已知:DE∥CB,∠1=∠2,求证:CD平分∠ECB.

5.3平行线的性质(第2课时)

平行线的性质(二)

教学目标

1.经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条理表达能

力.

2.理解两条平行线的距离的含义,了解命题的含义,会区分命题的题设和结论.

3.能够综合运用平行线性质和判定解题.

重点、难点

重点:平行线性质和判定综合应用,两条平行的距离,命题等概念.

难点:平行线性质和判定灵活运用.

教学过程

一、复习引入

1.平行线的判定方法有哪些?(注意:平行线的判定方法三种,另外

还有平行公理的推论)

2.平行线的性质有哪些.

3.完成下面填空.

已知:如图,BE是AB的延长线,AD∥BC,AB∥CD,若∠D=100°,则∠C=_____,

∠A=______,∠CBE=________.

4.a⊥b,c⊥b,那么a与c的位置关系如何?为什么?

c

b

a

二、进行新课

1.例1已知:如上图,a∥c,a⊥b,直线b与c垂直吗?为什么?

学生容易判断出直线b与c垂直.鉴于这一点,教师应引导学生思考:

(1)要说明b⊥c,根据两条直线互相垂直的意义,需要从它们所成的角中说明某个角是

90°,是哪一个角?通过什么途径得来?

(2)已知a⊥b,这个“形”通过哪个“数”来说理,即哪个角是90°.

(3)上述两角应该有某种直接关系,如同位角关系、内错角关系、同旁内角关系,你能确定

它们吗?

让学生写出说理过程,师生共同评价三种不同的说理.

2.实践与探究

(1)下列各图中,已知AB∥EF,点C任意选取(在AB、EF之间,又在BF的左侧).请测量各

图中∠B、∠C、∠F的度数并填入表格.

∠B∠F∠C

∠B与∠F度数之和

图(1)

E

D

C

B

A

图(2)

通过上述实践,试猜想∠B、∠F、∠C之间的关系,写出这种关系,试加以说明.

F

E

C

B

A

F

E

C

B

A

(1)(2)

教师投影题目:

学生依据题意,画出类似图(1)、图(2)的图形,测量并填表,并猜想:∠B+∠F=∠C.

在进行说理前,教师让学生思考:平行线的性质对解题有什么帮助?教师视学生情况进一

步引导:

①虽然AB∥EF,但是∠B与∠F不是同位角,也不是内错角或同旁内角.不能确定它们之

间关系.

②∠B与∠C是直线AB、CF被直线BC所截而成的内错角,但是AB与CF不平行.能不

能创造条件,应用平行线性质,学生自然想到过点C作CD∥AB,这样就能用上平行线的性质,

得到∠B=∠BCD.

③如果要说明∠F=∠FCD,只要说明CD与EF平行,你能做到这一点吗?

以上分析后,学生先推理说明,师生交流,教师给出说理过程.

F

E

D

C

B

A

作CD∥AB,因为AB∥EF,CD∥AB,所以CD∥EF(两条直线都与第三条直线平行,这两

条直线也互相平行).

所以∠F=∠FCD(两直线平行,内错角相等).因为CD∥AB.

所以∠B=∠BCD(两直线平行,内错角相等).所以∠B+∠F=∠BCF.

(2)教师投影课本P23探究的图(图5.3-4)及文字.

①学生读题思考:线段B

1

C

1

,B

2

C

2

……B

5

C

5

都与两条平行线的横线A

1

B

5

和A

2

C

5

垂直吗?

它们的长度相等吗?

②学生实践操作,得出结论:线段B

1

C

1

,B

2

C

2

……,B

5

C

5

同时垂直于两条平行直线A1B5和

A

2

C

5

,并且它们的长度相等.

③师生给两条平行线的距离下定义.

学生分清线段B

1

C

1

的特征:第一点线段B

1

C

1

两端点分别在两条平行线上,即它是夹在这

两条平行线间的线段,第二点线段B

1

C

1

同时垂直这两条平行线.

教师板书定义:

(像线段B

1

C

1

)同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这

两条平行线的距离.

④利用点到直线的距离来定义两条平行线的距离.

F

E

D

C

B

A

教师画AB∥CD,在CD上任取一点E,作EF⊥AB,垂足为F.

学生思考:EF是否垂直直线CD?垂线段EF的长度d是平行线AB、CD的距离吗?

这两个问题学生不难回答,教师归纳:

两条平行线间的距离可以理解为:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距

离.

教师强调:两条平行线的距离处处相等,而不随垂线段的位置改变而改变.

3.了解命题和它的构成.

(1)教师给出下列语句,学生分析语句的特点.

①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行;

②等式两边都加同一个数,结果仍是等式;

③对顶角相等;

④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.

这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断.

(2)给出命题的定义.

判断一件事情的语句,叫做命题.

教师指出上述四个语句都是命题,而语句“画AB∥CD”没有判断成分,不是命题.教师让学

生举例说明是命题和不是命题的语句.

(3)命题的组成.

①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.

②命题的形成.

命题通常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的

部分是结论.

有的命题没有写成“如果……，那么……”的形式，题设与结论不明显，这时要分清命题

判断了什么事情，有什么已知事项，再改写成“如果……，那么……”形式.

师生共同分析上述四个命题的题设和结论,重点分析第②、③语句.

第②命题中,“存在一个等式”而且“这等式两边加同一个数”是题设，“结果仍是等式”是

结论。

第③命题中，“两个角是对顶角”是题设，“这两角相等”是结论。

三、巩固练习

1.“等式两边乘同一个数，结果仍是等式”是命题吗？它们题设和结论分别是什么？

2.命题“两条平行线被第三第直线所截，内错角相等”是正确的？命题“如果两个角互补，

那么它们是邻补角”是正确吗？再举出一些命题的例子，判断它们是否正确.

解答：1.是命题，题设是“等式两边乘同一个数”，结论是“结果仍是等式”.

2.第一个命题正确，第二个命题错误。可举出例子说明，如两条直线平行，同旁内角互

补，但这两个同旁内角不是邻补角。对于学生所举的错误命题，教师应给归纳一下，有两类：

第一类是命题题设不足于确定命题结正确，如“同位角相等”，这里条件不够；第二类命题是

在命题的题设下，结论不正确。

四、作业

1.课本P25.5,7,8,11,12.

2.补充作业:

一、填空题.

1.用式子表示下列句子:用∠1与∠2互为余角,又∠2与∠3互为余角,根据“同角的余角相等”，

所以∠1和∠3相等_________________.

2.把命题“直角都相等”改写成“如果……，那么……”形式___________.

3.命题“邻补角的平分线互相垂直”的题设是_____________,结论是____________.

4.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的度数的比为2:7,则这两个角分别是

____________度.

二、选择题.

1.设a、b、c为同一平面内的三条直线,下列判断不正确的是()

A.设a⊥c,b⊥c,则a⊥bB.若a∥c,b∥c,则a∥b

C.若a∥b,b⊥c,则a⊥cD.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c

2.若两条平行线被第三条直线所截,则互补的角但非邻补角的对数有()

A.6对B.8对C.10对D.12对

3.如图,已知AB∥DE,∠A=135°,∠C=105°,则∠D的度数为()

A.60°B.80°C.100°D.120°

E

D

C

B

A

4.两条直线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线的位置关系是()

A.互相平行B.互相垂直;C.相交但不垂直D.平行或相交

三、解答题.

1.已知,如图1,∠AOB纸片沿CD折叠,若O′C∥BD,那么O′D与AC平行吗?请说明理由.

O'

4

3

2

1

O

D

C

B

A

2.如图,已知B、E分别是AC、DF上的点,∠1=∠2,∠C=∠D.

(1)∠ABD与∠C相等吗?为什么.

(2)∠A与∠F相等吗?请说明理由.

F

E

2

1

D

C

B

A

3.如图,已知EAB是直线,AD∥BC,AD平分∠EAC,试判定∠B与∠C的大小关系,并说明理由.

E

D

C

B

A

4.如(图4),DE∥AB,DF∥AC,∠EDF=85°,∠BDF=63°.

(1)∠A的度数;

(2)∠A+∠B+∠C的度数.