圆锥曲线与方程

1

圆锥曲线

圆锥曲线一章是高考和教学中的重点内容，蕴涵着多种数学思想、方法，教

学中应遵循重基础、抓共性、讲通法、善变化的原则，使基础知识、基本技能、

基本方法得到巩固，提高学生知识和方法的运用能力。

一、基本思想和基本方法

⒈基本思想：运动与联系、特殊与一般、函数与方程、转化与类比

⒉基本方法：代数方法、几何方法、向量方法、三角代换

⒊基本问题：①由性质求轨迹方程②由方程研究性质

二、常见的几种题型

⒈求轨迹方程

⒉弦长公式极其应用

⒊垂直半径的问题

⒋弦的中点与斜率的关系

⒌圆锥曲线上关于直线的对称点问题

⒍圆锥曲线的切线问题

⒎圆锥曲线中的不等式问题

三、几组公式：

㈠三类弦长（e表示离心率,p表示焦准距,α弦所在直线的倾斜角）：

1．焦点弦的弦长：

椭圆：|AB|=

22cos1

2

e

ep



；

双曲线：|AB|=

|cos1|

2

22e

ep



；当

22cos1e

＞0时，AB是内点弦，当

22cos1e＜0时，AB是外点弦．

抛物线：|AB|=

2sin

2p

．

说明：利用圆锥曲线的统一定义证明．

2．中心弦的弦长：

椭圆：|AB|=

22cos1

2

e

b



；双曲线：|AB|=

1cos

2

22e

b．

说明：可结合圆锥曲线的参数方程证明．

3．顶点弦的弦长（这里的顶点在长轴、实轴上）：

椭圆：|AB|=

22cos1

2

e

ep



|cosα|；

双曲线：|AB|=

|cos1|

2

22e

ep



|cosα|；

抛物线：|AB|=

2sin

2p

|cosα|．

说明：可利用直线、圆锥曲线的参数方程证明．

㈡与圆锥曲线离心率相关的几个角（以椭圆为例）：

2

⒈命题1：设P（x，y）是椭圆

2

2

2

2

b

y

a

x



=1（a＞b＞0）上一点，F

1

、F

2

是

椭圆的两个焦点，∠F

1

PF

2

=α，则y=±b时，

max



＝2arctg

b

c

，

简证：由△PF

1

F

2

的面积为S=b2tg

2



=c|y|，所以tg

2



=

2b

yc

．（或由均值定

理）．

2．命题2.设P（x，y）是椭圆

2

2

2

2

b

y

a

x



=1（a＞b＞0）上一点。∠A

1

PA

2

=α，

∠B

1

ＰB

2

=β，则当y=±b时，

b

a

arctg2

max



；当x=±a时，

a

b

arctg2

max

．

简证：设PA

1

、PA

2

的斜率分别为K

1

、K

2

，则K

1

=

ax

y

，K

2

=

ax

y

；

可得：K

1

K

2

＝－

2

2

a

b

；由到角公式和均值定理既可证明．

⒊命题3：设P、Q是椭圆

2

2

2

2

b

y

a

x



=1（a＞b＞0）的左焦点弦，倾斜角为α，

O是原点，∠POQ=β，则当α=900时，

ac

b

arctg

2

min

2

．

⒋命题4：设P，Q是椭圆

1

2

2

2

2



b

y

a

x

（a＞b＞0）的左焦点弦，倾斜角

为



，O是原点，A

1

，A

2

是椭圆长轴的两个顶点。设∠PA

2

Q=



，∠PA

1

Q=，

则当



=900时，

ca

ep

arctg



2

min



；当



=900时，

ca

ep

arctg



2

max



．

说明：命题在双曲线、抛物线形式略有变化，研究方法相同．

㈢圆锥曲线中的三角形：

⒈焦点三角形：

①面积：S=c|y|/2=b2tg

2



=b2

21

brr

②离心率：e=





sinsin

)sin(





⒉与焦点弦有关的三角形：

3

S=





22cos1

sin

e

epc



S=





22cos1

sin2

e

epc



S=





22cos1

sin)(

e

caep





⒊与准线有关的三角形

EF

1

平分∠

QEP，

S=





22

2

cos1

sin

e

ep



；FQ⊥OQ，S=abp/c．

四、例题讲解

㈠轨迹方程的求法

例题⒈（坐标法）点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为p，MN为l

上的定长线段，且|MN|=2p，

⑴当|MN|在直线l上滑动时，求△AMN外心C的轨

迹E。

⑵当圆心C在E上什么位置时，|AM|+|AN|=23p？

说明：一般步骤：

①选择适当的直角坐标系．②设所求点为P（x，y），并写出相关点的坐标．

③出一个含已知点和所求点的等式．④用坐标表示这个等式，并化简整理．

⑤去“坏”点．

例题⒉（判断轨迹法）已知⊙O的方程为x2+y2=4；定点A（4，O）；求过定

点A且与⊙O相切的动圆圆心P的轨迹方程．

答案：（x-2）2-y2/3=1

说明：一般步骤：

①根据条件判断是否为学过的点的轨迹方程．②判断轨迹的位置．

③利用已知的方程形式，设出待定系数求解．④整理检验．

例题⒊（转移法）F

1

、F

2

是椭圆x2/2+y2=1的两个焦点，P是抛物线y=x2上的

动点，求三角形F

1

PF

2

的重心轨迹方程．

答案：y=3x2（消参法，交轨法）

说明：一般步骤

①设所求点为P（x，y），相关点为Q（x

0

，y

0

）。②建立P、Q坐标的关系式，

解出x

0

，y

0

；③代入F（x，y）=0。④整理检验。

例题⒋已知三点A（-4，0）、B（4，0）、F（8，0），直线l的方程为x=2，

过F作互相垂直的两条直线，分别交l于M、N点，直线AM、BN交于P点，求P

点的轨迹方程．答案：（x2/16-y2/48=1）

说明：一般步骤：

4

①若所求动点P（x，y）的坐标关系不易找到，也没有相关点可以利用，可

先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，然后再消去参数，建立普通方程．

②参数的选择丰富多彩，常用的有变角、变斜率、有向线段数量等等．

㈡直线与圆锥曲线：

例题⒈（弦长公式、垂直应用）

⒈直线l：y=

5/3

（x-C）交双曲线C：x2-y2/3=1于A、B点，OA⊥OB，求|AB|．

答案：4

⒉已知抛物线y2=2x，直线l在y轴上的截距为2，且与抛物线交于P、Q

两点，以|PQ|为直径的圆过原点，求该直线的方程。

答案：y=-x+2

例题⒉（弦的中点与斜率的关系）

⑴已知椭圆01

2

2

2

2

ba

b

y

a

x



与直线x+y=1交于A、B两点，|AB|=2

2

，AB

的中点M与椭圆中心连线的斜率为2/2，求椭圆的方程。

答案：（Ax2+By2=1；x2+

2

y2/=3）

⑵双曲线C：x2/4-y2/2=1。①过M（1，1）的直线，交双曲线于A、B两点，

求直线AB的方程。②是否存在直线l，使N（1，1/2）为l被双曲线所截弦的中

点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。

答案：x-2y+1=0；不存在，因为直线与双曲线无公共点。

例题⒊(圆锥曲线中的对称问题)

⑴若抛物线y=ax2-1（a＞0）上存在关于直线x+y=0对称的两个点，求a

的取值范围。

答案：a＞3/4

（提示：由交点弦的中点在x+y=0上及△＞0求出；或由弦的中点在内部求

出）

⑵已知椭圆方程为C：x2/4+y2/3=1。试确定m的范围，使得椭圆C上存在

着不同的两个点，关于直线l：y=4x+m对称。

答案：M∈（-2

13

/13，2

13

/13）

㈢圆锥曲线的切线问题

例⒈（江苏理本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系

xOy

中，过

y

轴

正方向上一点

(0,)Cc

任作一直线，与抛物线2yx相交于

AB

两点，一条垂直于

x

轴的直线，分别与线段

AB

和直线

:lyc

交于

,PQ

，

5

（1）若

2OAOB

，求

c

的值；

（2）若

P

为线段

AB

的中点，求证：

QA

为此抛

物线的切线；

（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。

解：（1）设过C点的直线为

ykxc

，所以

20xkxcc，即20xkxc，设

A

1122

,,,xyBxy，

OA

=

11

,xy，

22

,OBxy，

因为

2OAOB

，所以

1212

2xxyy，即

1212

2xxkxckxc，22

121212

2xxkxxkcxxc

所以222ckckckc，即220,cc所以21cc舍去

（2）设过Q的切线为

111

yykxx，/2yx，所以

11

2kx，即

22

11111

222yxxxyxxx，它与

yc

的交点为M1

1

,

22

x

c

c

x









，又

2

1212,,

2222

xxyy

kk

Pc

















，所以Q,

2

k

c









，因为

12

xxc,所以

2

1

c

x

x

，

所以M12,,

222

xx

k

cc















,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的

切线。

（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q,

2

k

c









，因为PQ



x

轴，所以,

2P

k

Py







因为12

22

xx

k





，所以P为AB的中点。

例⒉（安徽文本小题满分14分）设F是抛物线G:x2=4y的焦点.

（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程：

（Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足0·FBFA,延长AF、

BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.

解：（I）设切点

2

0

04

x

Qx







，

．由

2

x

y





，知抛物线在

Q

点处的切线斜率为0

2

x

，故

所求切线方程为

2

00

0

()

42

xx

yxx

．

即

2

0

4

24

x

x

yx

．

因为点

(0)P，

在切线上．

B

A

x

y

O

C

Q

l

P

6

所以

2

04

4

x

，2

0

16x，

0

4x．

所求切线方程为

24yx

．

（II）设

11

()Axy，，

22

()Cxy，．

由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设0k．

因直线AC过焦点

(01)F，

，所以直线AC的方程为

1ykx

．

点AC，的坐标满足方程组

2

1

4

ykx

xy











，

，

得2440xkx，

由根与系数的关系知12

12

4

4.

xxk

xx











，

22222

12121212

()()1()44(1)ACxxyykxxxxk

．

因为ACBD，所以

BD

的斜率为

1

k



，从而

BD

的方程为

1

1yx

k



．

同理可求得

2

2

2

14(1)

41

k

BD

kk



















．

22

2

22

18(1)1

8(2)32

2ABCD

k

SACBDk

kk



≥．

当1k时，等号成立．所以，四边形ABCD面积的最小值为32．

例3（06全国卷I）在平面直角坐标系

xOy

中，有一个以1

0,3F

和

2

0,3F

为焦点、离心率为

3

2

的圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点

P在C上，C在点P处的切线与

xy、

轴的交点分别为A、B，且向量

OMOAOB

。

求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）

OM

的最小值。

7

.解:椭圆方程可写为:

y2

a2

+

x2

b2

=1式中a>b>0,且











a2－b2=3

3

a

=

3

2

得a2=4,b2=1,

所以曲线C的方程为:x2+

y2

4

=1(x>0,y>0).y=21－x2(0

2x

1－x2

设P(x

0

,y

0

),因P在C上,有0

0

<1,y

0

=21－x

0

2,y'|

x=x0

=－

4x

0

y

0

,得切线AB的

方程为:

y=－

4x

0

y

0

(x－x

0

)+y

0

.设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=

1

x

0

,y=

4

y

0

.

由=+得M的坐标为(x,y),由x

0

,y

0

满足C的方程,得点M的轨迹方程为:

1

x2

+

4

y2

=1(x>1,y>2)

(Ⅱ)||2=x2+y2,y2=

4

1－

1

x2

=4+

4

x2－1

,

∴||2=x2－1+

4

x2－1

+5≥4+5=9.且当x2－1=

4

x2－1

,即x=3>1时,上式取等号.

故||的最小值为3.

五、07高考题再现

⒈（北京文理本小题共14分）如图，矩形ABCD的两

条对角线相交于点

(20)M，

，

AB

边所在直线的方程为

360xy

点

(11)T，

在

AD

边所在直线上．

（I）求

AD

边所在直线的方程；

（II）求矩形ABCD外接圆的方程；

（III）若动圆

P

过点

(20)N，

，且与矩形ABCD的外接

圆外切，求动圆

P

的圆心的轨迹方程．

解：（I）因为

AB

边所在直线的方程为

360xy

，且

AD

与

AB

垂直，所

以直线

AD

的斜率为3．

又因为点

(11)T，

在直线

AD

上，

所以

AD

边所在直线的方程为

13(1)yx

．

320xy

．

D

T

N

O

A

B

C

M

x

y

8

（II）由

360

32=0

xy

xy











，

解得点

A

的坐标为

(02)，

，

因为矩形ABCD两条对角线的交点为

(20)M，

．

所以

M

为矩形ABCD外接圆的圆心．

又22(20)(02)22AM

．

从而矩形ABCD外接圆的方程为22(2)8xy．

（III）因为动圆

P

过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆

P

与圆

M

外

切，所以22PMPN，

即22PMPN．

故点

P

的轨迹是以MN，为焦点，实轴长为

22

的双曲线的左支．

因为实半轴长

2a

，半焦距2c．

所以虚半轴长222bca．

从而动圆

P

的圆心的轨迹方程为

22

1(2)

22

xy

x≤．

⒊（福建理本小题满分12分）如图，已知点

(10)F，

，

直线:1lx，

P

为平面上的动点，过

P

作直线

l的垂线，垂足为点

Q

，且QPQFFPFQ．

（Ⅰ）求动点

P

的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点

F

的直线交轨迹C于AB，两点，交直线l于点

M

，已知

1

MAAF，

2

MBBF，求

12

的值；

解法一：（Ⅰ）设点

()Pxy，

，则

(1)Qy，

，由QPQFFPFQ得：

(10)(2)(1)(2)xyxyy，，，，

，化简得2:4Cyx．

（Ⅱ）设直线

AB

的方程为：

1(0)xmym

．

O

y

x11

l

F

9

设

11

()Axy，，

22

()Bxy，，又

2

1M

m









，，

联立方程组

24

1

yx

xmy











，

，

，消去

x

得：

2440ymy，2(4)120m，故

12

12

4

4

yym

yy











，

．

由

1

MAAF，

2

MBBF得：

111

2

yy

m



，

222

2

yy

m



，整理得：

1

1

2

1

my

，

2

2

2

1

my

，

12

12

211

2

myy











12

12

2

2

yy

myy





24

2

4

m

m





0．

解法二：（Ⅰ）由QPQFFPFQ得：()0FQPQPF，

()()0PQPFPQPF，

220PQPF，PQPF．

所以点

P

的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：24yx．

（Ⅱ）由已知

1

MAAF，

2

MBBF，得

12

0．

则：1

2

MAAF

MBBF







．…………①

过点AB，分别作准线l的垂线，垂足分别为

1

A，

1

B，

则有：1

1

MAAAAF

MBBBBF



．…………②

由①②得：1

2

AFAF

BFBF







，即

12

0．

P

B

Q

M

F

O

A

x

y

10

⒋（江西理本小题满分12分）已知双曲线222xy的左、右焦点分别为

1

F，

2

F，过点

2

F的动直线与双曲线相交于AB，两点．

（I）若动点

M

满足

1111

FMFAFBFO（其中O为坐标原点），求点

M

的

轨迹方程；

（II）在

x

轴上是否存在定点C，使

CA

·

CB

为常数？若存在，求出点C的坐

标；若不存在，请说明理由．

解：由条件知

1

(20)F，，

2

(20)F，，设

11

()Axy，，

22

()Bxy，．

解法一：（I）设

()Mxy，

，则则

1

(2)FMxy，，

111

(2)FAxy，，

1221

(2)(20)FBxyFO，，，，由

1111

FMFAFBFO得

12

12

26xxx

yyy











，

即12

12

4xxx

yyy











，

于是

AB

的中点坐标为

4

22

xy







，．

当

AB

不与

x

轴垂直时，12

12

2

4

8

2

2

y

yy

y

x

xxx











，即

1212

()

8

y

yyxx

x





．

又因为AB，两点在双曲线上，所以22

11

2xy，22

22

2xy，两式相减得

12121212

()()()()xxxxyyyy，即

1212

()(4)()xxxyyy．

将

1212

()

8

y

yyxx

x





代入上式，化简得22(6)4xy．

当

AB

与

x

轴垂直时，

12

2xx，求得

(80)M，

，也满足上述方程．

所以点

M

的轨迹方程是22(6)4xy．

（II）假设在

x

轴上存在定点

(0)Cm，

，使

CACB

为常数．

当

AB

不与

x

轴垂直时，设直线

AB

的方程是

(2)(1)ykxk

．

代入222xy有2222(1)4(42)0kxkxk．

则

12

xx，是上述方程的两个实根，所以

2

12

2

4

1

k

xx

k





，

2

12

2

42

1

k

xx

k







，

11

于是2

1212

()()(2)(2)CACBxmxmkxx

2222

1212

(1)(2)()4kxxkmxxkm

2222

22

22

(1)(42)4(2)

4

11

kkkkm

km

kk







2

22

22

2(12)244

2(12)

11

mkm

mmm

kk







．

因为

CACB

是与k无关的常数，所以440m，即1m，此时

CACB

=

1

．

当

AB

与

x

轴垂直时，点AB，的坐标可分别设为(22)，，(22)，，

此时(12)(12)1CACB，，．

故在

x

轴上存在定点

(10)C，

，使

CACB

为常数．

解法二：（I）同解法一的（I）有12

12

4xxx

yyy











，

当

AB

不与

x

轴垂直时，设直线

AB

的方程是

(2)(1)ykxk

．

代入222xy有2222(1)4(42)0kxkxk．

则

12

xx，是上述方程的两个实根，所以

2

12

2

4

1

k

xx

k





．

2

1212

2

44

(4)4

11

kk

yykxxk

kk











．

由①②③得

2

2

4

4

1

k

x

k





．…………………………………………………④

2

4

1

k

y

k





．……………………………………………………………………⑤

当0k时，

0y

，由④⑤得，

4x

k

y



，将其代入⑤有

2

22

2

4

4

4(4)

(4)

(4)

1

x

yx

y

y

x

xy

y















．整理得22(6)4xy．

12

当0k时，点

M

的坐标为

(40)，

，满足上述方程．

当

AB

与

x

轴垂直时，

12

2xx，求得

(80)M，

，也满足上述方程．

故点

M

的轨迹方程是22(6)4xy．

（II）假设在

x

轴上存在定点点

(0)Cm，

，使

CACB

为常数，

当

AB

不与

x

轴垂直时，由（I）有

2

12

2

4

1

k

xx

k

，

2

12

2

42

1

k

xx

k







．

⒌（湖北理本小题满分12分）在平面直角坐标系

xOy

中，过定点

(0)Cp，

作

直线与抛物线22xpy（

0p

）相交于AB，两点．

（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB△面积的最小值；

（II）是否存在垂直于

y

轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒

为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为

(0)Np，

，可设

1122

()()AxyBxy，，，，

直线

AB

的方程为

ykxp

，与22xpy联立得

22xpy

ykxp











，

．

消去

y

得

22220xpkxp．

由韦达定理得

12

2xxpk，2

12

2xxp．

于是

12

1

2

2ABNBCNACN

SSSpxx

△△△

·

．

2

121212

()4pxxpxxxx

222224822ppkppk

，

∴

当0k时，2

min

()22

ABN

Sp

△

．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为

ya

，

AC的中点为O



，l与AC为直径的圆相交于点

P

，

QPQ，

的中点为

H

，

N

O

A

C

B

y

x

13

则

OHPQ





，

Q



点的坐标为11

22

xyp







，．

2222

111

111

()

222

OPACxypyp



∵

，

1

1

1

2

22

yp

OHaayp





，

222PHOPOH



∴222

11

11

()(2)

44

ypayp

1

()

2

p

ayapa









，

2

2(2)PQPH∴

1

4()

2

p

ayapa















．

令

0

2

p

a

，得

2

p

a

，此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程

为

2

p

y

，

即抛物线的通径所在的直线．

解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

2222222

121212

11()4148ABkxxkxxxxkpkp··

22212pkk·，

又由点到直线的距离公式得

2

2

1

p

d

k





．

从而2222

2

112

21222

22

1ABN

p

SdABpkkpk

k



△

·····，

∴

当0k时，2

min

()22

ABN

Sp

△

．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为

ya

，则以AC为直径的圆的方程

为

11

(0)()()()0xxxypyy，

将直线方程

ya

代入得2

11

()()0xxxapay，

则2

111

4()()4()

2

p

xapayayapa















△．

设直线l与以AC为直径的圆的交点为

3344

()()PxyQxy，，，，

N

O

A

C

B

y

x

O



l

14

则有

3411

4()2()

22

pp

PQxxayapaayapa















．

令

0

2

p

a

，得

2

p

a

，此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程

为

2

p

y

，

即抛物线的通径所在的直线．

⒍（辽宁理本小题满分14分）已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线

22yx上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）

（I）求圆C的方程；

（II）设圆

M

的方程为22(47cos)(7cos)1xy，过圆

M

上任意一

点

P

分别作圆C的两条切线PEPF，，切点为EF，，求

CECF，

的最大值和最小

值．

（I）解法一：设AB，两点坐标分别为

2

1

12

y

y







，

，

2

2

22

y

y







，

，由题设知

222

2222

222

1112

2212

()

2222

yyyy

yyyy









．

解得22

12

12yy，

所以(623)A，，(623)B，或(623)A，，(623)B，．

设圆心C的坐标为

(0)r，

，则

2

64

3

r

，所以圆C的方程为

22(4)16xy．···········································································4分

解法二：设AB，两点坐标分别为

11

()xy，，

22

()xy，，由题设知

2222

1122

xyxy．

又因为2

11

2yx，2

22

2yx，可得22

1122

22xxxx．即

1212

()(2)0xxxx．

由

1

0x，

2

0x，可知

12

xx，故AB，两点关于

x

轴对称，所以圆心C在

x

轴

上．

15

设C点的坐标为

(0)r，

，则

A

点坐标为

33

22

rr









，

，于是有

2

33

2

22

rr











，解

得

4r

，所以圆C的方程为22(4)16xy．······································4分

（II）解：设2ECFa，则

2||||cos216cos232cos16CECFCECF．·····························8分

在RtPCE△中，

4

cos

||||

x

PCPC

，由圆的几何性质得

||||17PCMC≤18，

||||1716PCMC≥

，

所以

12

cos

23

≤≤

，由此可得

16

8

9

CECF≤≤

．

则

CECF

的最大值为

16

9



，最小值为8．

⒎（全国1理本小题满分12分）已知椭圆

22

1

32

xy



的左、右焦点分别为

1

F，

2

F．过

1

F的直线交椭圆于BD，两点，过

2

F的直线交椭圆于AC，两点，且

ACBD，垂足为

P

．

（Ⅰ）设

P

点的坐标为

00

()xy，，证明：

22

001

32

xy



；

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距321c，

由ACBD⊥知点

P

在以线段

12

FF为直径的圆上，故22

00

1xy，

所以，

222

2

000

2

1

1

32222

yxy

x

≤

．

（Ⅱ）（ⅰ）当

BD

的斜率k存在且0k时，

BD

的方程为

(1)ykx

，代入

椭圆方程

22

1

32

xy



，并化简得2222(32)6360kxkxk．

16

设

11

()Bxy，，

22

()Dxy，，则

2

12

2

6

32

k

xx

k





，

2

12

2

36

32

k

xx

k







2

222

122212

2

43(1)

1(1)()4

32

k

BDkxxkxxxx

k











；

因为AC与BC相交于点

P

，且AC的斜率为

1

k



，

所以，

2

2

2

2

1

431

43(1)

1

23

32

k

k

AC

k

k

















．

四边形ABCD的面积

2222

2

22

22

124(1)(1)96

2(32)(23)25

(32)(23)

2

kk

SBDAC

kk

kk















≥

．

⒏（山东理本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在

x

轴

上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为

1

．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线

:lykxm

与椭圆C相交于

A

，

B

两点（AB，不是左右顶点），

且以

AB

为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的

坐标．

解：(I)由题意，设椭圆的标准方程为

22

22

1(0)

xy

ab

ab



3,1acac

，22,1,3acb

22

1.

43

xy



(II)设

1122

(,),(,)AxyBxy，由22

1

43

ykxm

xy















得

222(34)84(3)0kxmkxm，

22226416(34)(3)0mkkm，22340km.

2

1212

22

84(3)

,.

3434

mkm

xxxx

kk







17

22

22

12121212

2

3(4)

()()().

34

mk

yykxmkxmkxxmkxxm

k







以AB为直径的圆过椭圆的右顶点

(2,0),D

1

ADBD

kk，

12

12

1

22

yy

xx





，

121212

2()40yyxxxx，

222

222

3(4)4(3)16

40

343434

mkmmk

kkk







，

2271640mmkk

，解得

12

2

2,

7

k

mkm

，且满足22340km.

当2mk时，

:(2)lykx

，直线过定点

(2,0),

与已知矛盾；

当

2

7

k

m

时，

2

:()

7

lykx

，直线过定点

2

(,0).

7

综上可知，直线l过定点，定点坐标为

2

(,0).

7

⒐（重庆文本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线xy82的焦点F，且与抛物线

交于A、B两点。

题（21）图

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明

|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

（21）（本小题12分）

（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为pxy22，则82p，从而.4p

因此焦点

)0,

2

(

p

F

的坐标为（2，0）.

18

又准线方程的一般式为

2

p

x

。

从而所求准线l的方程为

2x

。

答（21）图

（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线

的定义知

|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.

记A、B的横坐标分别为x

x

x

z

，则

|FA|＝|AC|＝

4cos||

22

cos||

2

aFA

pp

aFA

p

x

x

解得

a

FA

cos1

4

||





，

类似地有aFBFBcos||4||，解得

a

FB

cos1

4

||





。

记直线m与AB的交点为E，则

a

a

aa

FBFA

FBFA

FAAEFAFE

2sin

cos4

cos1

4

cos1

4

2

1

|)||(|

2

1

2

||||

||||||||

























所以

a

a

FE

FP

2sin

4

cos

||

||。

故8

sin

sin2·4

)2cos1(

sin

4

2cos||||

2

2

2



a

a

a

a

aFPFP。

解法二：设),(

AA

yxA，),(

BB

yxB，直线AB的斜率为aktan，则直线方程为

)2(xky。

将此式代入xy82,得04)2(42222kxkxk，故

2

2)2(

k

kk

xx

BA



。

记直线m与AB的交点为),(

EE

yxE，则

2

2)2(2

2

k

k

xx

xBA

E







，

k

xky

EE

4

)2(

，

故直线m的方程为





















2

24214

k

k

x

kk

y.

19

令y=0,得P的横坐标4

42

2

2







k

k

x

P

故

ak

k

xFP

P

22

2

sin

4

)1(4

2||



。

从而8

sin

sin2·4

)2cos1(

sin

4

2cos||||

2

2

2



a

a

a

a

aFPFP为定值。

⒑（四川理本小题满分12分）设

1

F

、

2

F

分别是椭圆1

4

2

2

y

x

的左、右焦

点.

（Ⅰ）若

P

是该椭圆上的一个动点，求

1

PF

·

2

PF

的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点

)2,0(M

的直线l与椭圆交于不同的两点

A

、

B

，且∠AOB为

锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合

应用数学知识解决问题及推理计算能力。

解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,3abc

所以12

3,0,3,0FF，设,Pxy，则

22

12

3,,3,3PFPFxyxyxy2

22

1

1338

44

x

xx

因为2,2x，故当0x，即点

P

为椭圆短轴端点时，

12

PFPF有最小值

2

当2x，即点

P

为椭圆长轴端点时，

12

PFPF有最大值

1

解法二：易知2,1,3abc，所以12

3,0,3,0FF

，设,Pxy，则

222

1212

12121212

12

cos

2

PFPFFF

PFPFPFPFFPFPFPF

PFPF







22

2222

1

33123

2

xyxyxy









（以下同解法一）

（Ⅱ）显然直线0x不满足题设条件，可设直线



1222

:2,,,,lykxAxyBxy，

联立2

2

2

1

4

ykx

x

y















，消去

y

，整理得：22

1

430

4

kxkx









20

∴

1212

22

43

,

11

44

k

xxxx

kk





由2

2

1

443430

4

kkk









得：

3

2

k或

3

2

k

又000090cos000ABABOAOB

∴

1212

0OAOBxxyy

又

2

12121212

2224yykxkxkxxkxx

22

22

38

4

11

44

kk

kk







2

2

1

1

4

k

k







∵

2

22

31

0

11

44

k

kk







，即24k∴22k

故由①、②得

3

2

2

k或

3

2

2

k

⒒(安徽理本小题满分12分)如图，曲线G的方程为y2=2x（y≥0）.以原点

为圆心，以t（t>0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点

B.直线AB与x轴相交于点C.

（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；

（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：

直线CD的斜率为定值.

解：（Ⅰ）由题意知，(2)Aaa，．

因为OAt，所以222aat．

由于0t，故有22taa．（1）

由点

(0)(0)BtCc，，，

的坐标知，

直线BC的方程为

1

xy

ct



．

又因点

A

在直线BC上，故有

2

1

aa

ct

，

x

y

B

A

O

a2aＣ

D

2:2Gyx

21

将（1）代入上式，得

2

1

(2)

aa

c

aa





，

解得22(2)caa．

（Ⅱ）因为(22(2))Daa，，所以直线CD的斜率为

2(2)2(2)2(2)

1

2

2(22(2))2(2)CD

aaa

k

ac

aaaa









．

所以直线CD的斜率为定值．

22

练习一：(B,C,A,D,A)

1．已知椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

，M为椭圆上一动点，

1

F为椭圆的左焦

点，则线段

1

MF的中点P的轨迹是（）．

（A）圆（B）椭圆（C）线段（D）一段抛物线

2．动圆M过定点A（3，0），且截y轴所得弦长为2，则动圆圆心M的轨

迹是（）

（A）椭圆（B）双曲线的一支（C）抛物线（D）抛物线的一

部分

3．已知动点P到直线

5x

的距离和它到点

(1,0)A

的距离之比为5，则点

P的轨迹方程是（）

（A）

22

1

54

xy



（B）

22

1

45

xy



（C）

22

1

54

xy



（D）

22

1

45

xy



4．当m变化时，抛物线y2－4x－4my=0的顶点M的轨迹方程是（）

（A）24xy（B）24xy（C）24yx（D）24yx

5．已知点A（-1，0），B（1，0），C、D为圆221xy上不同两点，且

CD⊥x轴，则直线AC和BD的交点M的轨迹方程是（）

（A）221(0)xyy（B）221(0)xyy

（C）221(0)xyy（D）221(0)yxx

⒍过椭圆

22

1

369

xy



的左顶点

1

A作任意弦

1

AE并延长到F，使

1

||||EFAE，

2

A为椭圆另一顶点，连结OF交

2

AE于点P，求动点P的轨迹方

程．（转移法）

（第六题图）（第八题图）

⒎已知抛物线22yx，过点

(2,1)Q

作一条直线交抛物线于AB、两点，试

求弦AB的中点轨迹方程，并指出它是什么曲线？（消参法）

23

⒏已知

1

A、

2

A是椭圆

22

22

1

xy

ab

的长轴端点，P、

Q

是椭圆上关于长轴

12

AA

对称的两点，求直线

1

PA和

2

QA的交点M的轨迹．（交轨法）

⒐已知：F是定点，l是定直线，点F到直线l的距离为p，点M在直线l

上滑动，动点N在MF的延长线上，且满足：|FN|/|MN|=1/|MF|，求动点N的轨

迹．

⒑过抛物线y2=2px（P＞0）的顶点，作两条互相垂直的弦OA、OB，①求弦

AB中点的轨迹。②过原点O作OC⊥AB，C点的轨迹．（消参法）

⒒在面积为1的三角形PMN中，tgM=1/2，tgN=2，求以M、N为焦点，且过

P点的椭圆方程。（4x2/5+y2=1）（待定系数法）

⒓P是椭圆x2/4+y2=1上的动点，PR⊥x轴于R点，延长RP到Q点，使

EP/QP=-2，求Q点的轨迹方程．（x2/4+4y2/9=1）（转移法）

⒔已知⊙O的方程为（x－1）2+y2=25；定点A（-1，0），C（1，0）；圆上任

意一点Q与C的连线的垂直平分线交线段AQ于M点，求点的轨迹方程．（定义法）

⒕已知：M是抛物线y=x2上一点，以|OM|为边，按逆时针方向作正方形OMPQ，

求Q点轨迹方程．（y2=±x）

⒖半圆C：x2+y2=2x（y＞0）交x轴正向于B点；过原点作弦OP延长到A

点，使|PA|=|PB|，求点A的轨迹方程．（x2+y2-2x-2y=0）

⒗如下图。直线l

1

、l

2

交于M点，l

1

⊥l

2

，N∈l

1

，以A、B为端点的曲线段

C上的任一点到l

2

的距离与到点N的距离都相等；若

△AMN为锐角三角形，|AM|=

17

，|AN|=3，|BN|=6。

求曲线段C的方程．（坐标法、待定系数法）

答案：y2=8x（1≤x≤4，y＞0）或y2=8（x-2）（3

≤x≤6，y＞0）

⒘A、B是椭圆x2/4+y2=1的长轴上的两个端点，

P是椭圆上异于A、B的动点，直线l

1

过A点垂直于AP，直线l

2

过B点垂直于BP，

求l

1

、l

2

的交点Q的轨迹方程．

答案：x2/4+y2/16=1

⒙过抛物线y2=2px（P＞0）的顶点，作两条互相垂直的弦OA、OB，①求弦

AB中点的轨迹。②过原点O作OC⊥AB，C点的轨迹．

⒚已知：A是X轴上一定点；过A点的直线l与椭圆x2+2y=12相切，若l

斜率为1，求l方程及A点坐标．

答案：y=x±3

2

；A（±3

2

，0）

练习题二：

⑴已知：两个同心圆的半径分别为5和4，AB为小圆的定直径。求以大圆

的切线为准线，且过A、B点的抛物线焦点的轨迹方程。

⑵在面积为1的三角形PMN中，tgM=1/2，tgN=2，求以M、N为焦点，且过

24

P点的椭圆方程。（4x2/15+y2/3=1）

⑶已知：F是定点，l是定直线，点F到直线l的距离为p，点M在直线l

上滑动，动点N在MF的延长线上，且满足：|FN|/|MN|=1/|MF|，求动点N的轨

迹．

⑷已知⊙O的方程为x2+y2=25；定点A（-1，0），C（1，0）；圆上任意一点

Q与C的连线的垂直平分线交线段AQ于M点，求点的轨迹方程．

⑸已知：M是抛物线y=x2上一点，以|OM|为边，按逆时针方向作正方形OMPQ，

求Q点轨迹方程．（y2=±x）

⑹半圆C：x2+y2=2x（y＞0）交x轴正向于B点；过原点作弦OP延长到A

点，使|PA|=|PB|，求点A的轨迹方程．（x2+y2-2x-2y=0）

⑺P是椭圆x2/4+y2=1上的动点，PR⊥x轴于R点，延长RP到Q点，使

EP/QP=-2，求Q点的轨迹方程．（x2/4+4y2/9=1）

⑻求抛物线y2=x上，长度为3的弦的中点的轨迹方程．

⑼过点A（-2，4），作倾斜角为1350的直线l，交抛物线C：y2=2px（P＞0）

于P

1

、P

2

，若|AP

1

|、|P

1

P

2

|、|AP

2

|成等比数列，求抛物线C的方程．（P=1）

⑽斜率为5/3的直线交双曲线C：x2-y2/3=1于A、B点，且过C的右焦点，

求|AB|．（4）

⑾正方形ABCD的AB边在直线y=x+4上，另一边CD在抛物线y2=x上，求

正方形的面积。

⑿椭圆被斜率为3的直线所截，求截得的弦的中点轨迹。（y+x=0）

⒀过双曲线C：x2/9-y2/16=1的右焦点F，作倾斜角为450的直线，交双曲

线于A、B两点，求AB的中点到F的距离。（80

2

/7）

⒁已知：l

1

、l

2

是过（-

2

，0）的两条互相垂直的直线，且l1

、l

2

与双曲

线y2-x2=1各有两个公共点，分别为A

1

、B

1

和A

2

、B

2

。①求l

1

的斜率的范围。

②若|A

1

B

1

|=

5

|A

2

B

2

|，求l

1

、l

2

的方程。|k

1

|∈（

3

/3，

3

）且|k

1

|≠1；|k

1

|=

2

。

⒂过（0，1）点直线，与抛物线x2=-4y交于A、B两点，求线段AB的中点

轨迹。x2=-2（y-1），x∈（-1，1）

⒃过点P（a，1）的直线l，交双曲线C：x2-y2/2=1于A、B点，若P点是

AB的中点，求a的范围。

|a|＞

6

/2，|a|＜

2

/2（提示：△＞0及中点坐标公式）

⒄已知：A是x正半轴上一个定点，过A点斜率为1的直线，被椭圆x2+2y2=12

截得的弦长为4

14

/3，求l的方程及A点坐标．

答案：y=x-2；A（2，0）

练习三

例题1.设O为抛物线的顶点，F是焦点，直线PQ过焦点F，与抛物线

交于P、Q两点，|OF|=a，|PQ|=b，求三角形POQ的面积．

简解：设直线PQ的倾斜角为α．

25

由焦点弦的弦长公式，求得：sinα=

b

a

2

；

再由三角形POQ面积S=

2

sin||||OFPQ

，得S=a

2/2ab

．

例题2.已知：A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B、C在双曲线的右支上，

△ABC为等边三角形。求△ABC的面积S．（2000年全国联赛改）

简解：由顶点弦的弦长公式，得|AB|=2

3

，所以，S=3

3

．

例题3.求过椭圆b2x2+a2y2=1（a＞b＞0）中心的弦AB，与右焦点F组成

的三角形的面积的最大值．

简解：由中心弦的弦长公式，得|AB|=

22cos1

2

e

b



；

由△ABF的面积S=

2

sin||||OFAB

=





22cos1

sin

e

bc



，

得知：当α=900时，S

max

=bc．

例题是过椭圆b2x2+a2y2=1（a＞b＞0）中心的弦，AB是过该椭圆

焦点的弦．若MN∥AB，求证：|MN|2：|AB|是定值．（证明略）．

例题5.过双曲线b2x2-a2y2=1（a、b＞0）右焦点且斜率为

5

3的直线，交

双曲线于P、Q两点，OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．（1991全国理科高考

试题改）

答案：

1

3

2

2

y

x

为所求.

例题6.设p是椭圆上一点，F

1

，F

2

是它的两个焦点，若恒有∠F

1

PF

2

=600，

求椭圆离心率的范围．

简解：由命题1．

例题7.双曲线

1

169

22



yx

的两个焦点为F

1

、F

2

；点P在双曲线上。若PF

1

⊥PF

2

，求点P到x轴的距离．（2001年全国高考题）

简解：由命题1在双曲线中形式：ctg

2



=

2b

yc

，得y＝

5

16，所以点P到x轴

距离为

5

16．

例题8．已知椭圆C：

1

2

2

2

2



b

y

a

x（a＞b＞0），其长轴的两个端点为A

1

、

A

2

．如果C上存在一点Q，使∠A

1

QA

2

=1200，求离心率的范围．

简解：由命题2得：tg

3

2

0

b

a



，得

e

3

6

＜1．

26

例题9：椭圆C：

1

2

2

2

2



b

y

a

x

（a＞b＞0）．过椭圆的左焦点F的直线P、Q

两点，且OP⊥OQ，求椭圆离心率范围．

简解：由命题3得：

1

2

15

1

2

tg

2

0e

ac

b





，得



．

例题10．双曲线的两个焦点为F

1

、F

2

；过F

1

且垂直于x轴的直线交双曲线

于A、B两点，若△ABF

2

为锐角三角形，求双曲线的离心率的范围．

例题11．设p是以F

1

、F

2

为焦点的椭圆上一点，若∠PF

1

F

2

=2∠PF

2

F

2

=2α，

求椭圆离心率的范围．

例题12．双曲线的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为

F，若△ABF为等边三角形，求双曲线的离心率．

例题13．点P在双曲线上，且PF

1

、PF

2

的倾斜角之差为600，求△PF

1

F

2

的面积．

例题14．设抛物y2=2px（p＞0）的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、

B两点。点C在抛物线的准线上，且BC∥X轴。证明直线AC经过原点O．

（2001年全国高考题）

我们运用极端性原理，根据这些角在取得最值时的特性，求解相关问题，不

仅解法上显得轻巧快捷，更是对椭圆认识的深化．