沙壶

球体

球体的概念

定义：空间中到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做球，如图右图所示的图形为

球体。

球面是一个连续曲面，由球面围成的几何体称为球体。

球形的立体物

指球形的体育用品，球类运动，包括手球、篮球、足球、排球、羽毛球、网球、高尔夫球、

冰球、沙滩排球、棒球、垒球、藤球、毽球、乒乓球、台球、鞠蹴、板球、壁球、沙壶、冰

壶、克郎球、橄榄球、曲棍球、水球、马球、保龄球、健身球、门球、弹球等

球体的组成球的表面是一个曲面,这个曲面就叫做球面。

球和圆类似,也有一个中心叫做球心。

星体，特指“地球”。

目录

1数学中的球体

2计算公式

3数学中的球

4球字本意古义--„

5汉字中的圆

6与球体的知识圆„

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目录

1数学中的球体

2计算公式

3数学中的球

4球字本意古义--„

5汉字中的圆

6与球体的知识圆„

7圆的平面几何性„

8圆的解析几何性„

9圆知识点总结

收起

编辑本段数学中的球体

半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。

球面所围成的几何体叫做球体，简称球。

半圆的圆心叫做球心。

连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。

连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。

用一个平面去截一个球，截面是圆面。球的截面有以下性质：

1球心和截面圆心的连线垂直于截面。

2球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R^2-d^2

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。

在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧

的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

编辑本段计算公式

半径是R的球的体积计算公式是：V=（4/3）πR^3(三分之四乘以π乘以半径的三次方)

V=（1/6）πd^3(六分之一乘以π乘以直径的三次方)

半径是R的球的表面积计算公式是：S=4πR^2（4倍的π乘以R的二次方）

证明：

证：V球=4/3*pi*r^3

欲证V球=4/3pi*r^3，可证V半球=2/3pi*r^3

做一个半球h=r,做一个圆柱h=r(如图1)

∵V柱-V锥

=pi*r^3-pi*r^3/3

=2/3pi*r^3

∴若猜想成立，则V柱-V锥=V半球

∵根据卡瓦列利原理，夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被平行于这两个平面的

任意平面所截，如果所得的两个截面面积相等，那么，这两个立体图形的体积相等。

∴若猜想成立，两个平面：S1(圆)=S2(环)

1.从半球高h点截一个平面根据公式可知此面积为pi*(r^2-h^2)^0.5^2=pi*(r^2-h^2)

2.从圆柱做一个与其等底等高的圆锥：V锥根据公式可知其右侧环形的面积为

pi*r^2-pi*r*h/r=pi*(r^2-h^2)

∵pi*(r^2-h^2)=pi*(r^2-h^2)

∴V柱-V锥=V半球

∵V柱-V锥=pi*r^3-pi*r^3/3=2/3pi*r^3

∴V半球=2/3pi*r^3

由V半球可推出V球=2*V半球=4/3*pi*r^3

证毕

球的组成球的表面是一个曲面,这个曲面就叫做球面。

球和圆类似,也有一个中心叫做球心。

星体，特指“地球”。

编辑本段数学中的球

半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。

球面所围成的几何体叫做球体，简称球。

半圆的圆心叫做球心。

连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。

连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。

用一个平面去截一个球，截面是圆面。球的截面有以下性质：

1球心和截面圆心的连线垂直于截面。

2球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R^2-d^2

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。

在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧

的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

半径是R的球的体积计算公式是：V=（4/3）πR^3(三分之四乘以π乘以R的三次方)。

半径是R的球的表面积计算公式是：S=4πR^2（4倍的π乘以R的二次方）

编辑本段球字本意古义--美玉

《康熙字典》中“球”字

【唐韵】巨鸠切

【集韵】【韵会】

【正韵】渠尤切，音求。

【说文】玉磬也。

【书·益稷】夔曰：戛击鸣球。

【传】球，玉磬也。又【广韵】美玉也。

【书·顾命】天球河图在东序。

【诗·商颂】受小球大球。

【传】球，玉也。又琉球，国名。详後琉字注。又【集韵】渠幽切，音虬。美玉名。

【集韵】或作璆。圆球坐标系圆球坐标系也称球坐标系

球坐标是一种三维坐标。

设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，

其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段与z轴正向所夹的角，φ为从正z轴来看自

x轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，

θ叫做点P的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为

0≤r<+∞,

0≤φ≤2π,

0≤θ≤π.

r=常数，即以原点为心的球面；

θ=常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；

φ=常数，即过z轴的半平面。

其中

x=rsinθcosφ

y=rsinθsinφ

z=rcosθ

?

圆yuán

编辑本段汉字中的圆

【解释】

①圆周所围成的平面：～桌∣～柱∣～筒；

②圆周的简称；

③像球的形状：滚～∣滴溜～；

④圆满；周全：这话说的不～∣这人做事很～，各方面都能照顾到；

⑤使圆满；使周全：～场∣～谎∣自～其说；

⑥圆形的货币：银～∣铜～；

⑧姓氏。

【组词】

〖圆场〗为打开僵局而从中解说或提出折衷办法：这事最好由你出面说几句话圆圆场。

〖圆成〗成全：完成好事。

〖圆雕〗雕塑的一种，用石头、金属、木头等雕出立体形象。

〖圆房〗旧指童养媳和未婚夫开始过夫妇生活。

〖圆坟〗旧俗在死人埋葬三天后去坟上培土。

〖圆规〗两脚规的一种，一脚是尖针，另一脚可以装上铅笔芯或鸭嘴笔头，是画圆和弧

的用具。

〖圆滑〗形容人只顾各方面敷衍讨好，不负责任。

〖圆谎〗弥补谎话中的漏洞：他想圆谎，可越说漏洞越多。

〖圆浑〗①（声音）婉转而圆润自然：语调圆浑∣这段唱腔流畅而圆浑；②（诗文）意

味浓厚，没有雕琢的痕迹。

〖圆寂〗佛教用语，称僧尼死亡。

〖圆满〗没有欠缺、漏洞，使人满意：圆满的答案∣两国会谈圆满结束。

〖圆梦〗解说梦的吉凶（迷信）。

〖圆全〗圆满；周全：想的圆全∣事情办的圆全。

〖圆润〗①饱满而润泽：圆润的歌喉；②（书、画技法）圆熟流利：他的书法圆润有力。

〖圆实〗圆而结实：西瓜长的挺圆实∣莲子饱满圆实。

〖圆熟〗①熟练；纯熟：笔体圆熟∣演技日臻圆熟。②精明练达；灵活变通：处事极圆

熟。

〖圆通〗（为人、做事）灵活变通，不固执己见。

〖圆舞曲〗一种每节三拍的民间舞曲，起源于奥地利，后来流行很广。

〖圆珠笔〗用油墨书写的一种笔，笔芯里装有油墨，笔尖是个小钢珠，油墨由钢珠四周

漏下。

〖圆桌〗桌面是圆形的桌子。

〖圆子〗①糯米粉等做成的一种食品，大多有馅。②〈方〉丸子。

编辑本段与球体的知识圆的基本知识

〖几何中圆的定义〗

几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，

定长称为半径。

轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称

圆。

集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

〖圆的相关量〗

圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是

3.9793238462643383279599375192308

9986280679...，通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3

或3.1416)。

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半

圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆

有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。

和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗

圆—⊙半径—r弧—⌒直径—d

扇形弧长／圆锥母线—l周长—C面积—S

〖圆和其他图形的位置关系〗

圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P

在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割

线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；

AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有

唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆

心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；

外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。

编辑本段圆的平面几何性质和定理

一有关圆的基本性质与定理

⑴圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对

称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2

条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，

两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。一

条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角

所对的弦是直径。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交

点，到三角形三个顶点距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③S三角=1/2*△三角形周长*内切圆半径

④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的线段）

⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则

M为XY之中点。

〖有关切线的性质和定理〗

圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个

圆的切线。

切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切

线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

〖有关圆的计算公式〗

1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr^2;3.扇形弧长l=nπr/180

4.扇形面积S=π（R^2-r^2）5.圆锥侧面积S=πrl

编辑本段圆的解析几何性质和定理

〖圆的解析几何方程〗

圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准

方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

〖圆与直线的位置关系判断〗

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，

即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的

位置关系如下：

如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，

并且规定x1

当x=-C／Ax2时，直线与圆相离；

当x1

半径r，直径d

在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

=>(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F

=>圆心坐标为(-D/2,-E/2)

其实不用这样算太麻烦了

只要保证X方Y方前系数都是1

就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)

这可以作为一个结论运用的

且r=根号（圆心坐标的平方和-F）

编辑本段圆知识点总结

平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

圆心：圆中心固定的一点叫做圆心。用字母0表示

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的1／

2.

圆的半径决定了圆的大小，圆心决定了圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆周率是一个固定的数，它是一个无限不循环小数，用字母π表示。近似等于3.14。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：πr方，用字母S表示。