集合的分类

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名：高魁年级：新高一课时数：2A

辅导科目：数学学科教师：许攀

课题集合及其表示方法

授课时间：备课时间：

教学目标

1、通过具体的例子了解集合的含义，知道常用数集及其记法

2、初步了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义

3、初步掌握集合的两种表示方法----列举法和描述法，并能正确地表示一些简单的

集合

重点、难点集合的概念及其表示；正确理解集合的概念；集合表示法的恰当选择

考点及考试要求

教学内容

一、集合的概念

1.请看下列一组语句：

（1）在非洲大草原上，一群大象正缓步走来；

（2）蓝色的天空中有一群鸟在欢快地飞翔；

（3）高一（4）班教室里一群学生在上数学课；

以上描述中“一群大象”，“一群鸟”，“一群学生”这些概念有什么共同特征？

2、推进新课

（1）集合、元素

举例：

①一条直线可以看作由（无数个点）组成的集合

②一个平面可以看作由（无数条直线）组成的集合

③“young中的字母”构成一个集合，其元素是y,o,u,n,g

④“book中的字母”构成一个集合，其元素是b,o,k

集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素（elment）,把一些元素组成的

总体叫做集合（t）（简称为集）。

（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

例1、判断下列对象能否构成一个集合

（1）参加北京奥运会的男运动员

（2）某校比较聪明的学生

（3）本课中的简单题

（4）小于5的自然数

（5）方程0

2

1

2xx的实根

常用数集及记法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N+

（3）整数集：全体整数的集合。记作Z

（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q

（5）实数集：全体实数的集合。记作R

注：

（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。

（2）非负整数集内排除0的集。记作N*或N+、Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表

示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*

二、元素与集合的关系是：“属于”、“不属于”

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作．

三、集合的特性

①确定性：

按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

②互异性：

集合中的元素没有重复。

③无序性：

集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

注：

1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

2、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。

方法：怎样判断一组对象能否构成集合？

四、集合的表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

例如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}．

注：（1）有些集合亦可如下表示：

从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}

所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。

描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的

方法。

格式：{x∈A|P（x）}?

含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。

例如，不等式的解集可以表示为：或

?????所有直角三角形的集合可以表示为：

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。

???????如：{直角三角形}；{大于104的实数}

（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

3、文氏图（Venn图示法）：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法，如：“book

中的字母”构成一个集合

注：何时用列举法？何时用描述法？

（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。

如：集合

（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描

述法。

如：集合；集合{1000以内的质数}

b,o,k

注：集合与集合是同一个集合吗？

答：不是。

集合是点集，集合=是数集。

五、集合的分类：有限集与无限集

1、?有限集：含有有限个元素的集合。

2、?无限集：含有无限个元素的集合。

3、?空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如：

3、例题

例1.⑴求不等式2x-3＞5的解集

⑵求方程组1

0





yx

yx

解集

⑶求方程012xx的所有实数解的集合

⑷写出012x的解集

例2.已知集合A=｛2,22aaa｝，若4A，求a的值

例3.已知M=｛2,a,b｝N=｛2a,2,2b｝且M=N，求a,b的值

例4.已知集合A=｛x|Raxax,0122｝,若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个

元素。

变题：若A中至多只有一个元素，求a的值

5、用描述法表示下列集合

①{1，4，7，10，13}????????????

②{-2，-4，-6，-8，-10}??????????

6、用列举法表示下列集合

①{x∈N|x是15的约数}???????????

②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}?

③?????????????

④??????????????

⑤?

⑥

巩固练习

1.已知-3A，且A=｛1,3,12mmm｝（*Nm），求

m

的值。

2.设Rba,，若集合｛aba,,1｝=｛b

a

b

,,0｝，求ab的值

3.设集合P=｛1，2，3，4｝，Q=｛Rxxx,2|｝，求由P与Q的公共元素组成的集

合

练习：

1、给出下列说法：

（1）较小的自然数组成一个集合；

（2）集合{1，-2，3，π}与集合{π，-2，3，1}是同一个集合；

（3）若aR，则a

Q；

（4）已知集合{x，y，z}与集合{1，2，3}是同一个集合，则x=1，y=2，z=3

其中正确说法个数是（）

2、下面6个式子，正确的是___________

①{a，b}{a，b}②{a，b}={b，a}③φ{0}

④0



{0}⑤φ



{0}⑥φ＝{0}

3、下列各式中错误的是（）

A、{奇数}={|21,}xxkkZB、{|*,||5}{1,2,3,4}xxNx

C、

1

{(,)|}

2

xy

xy

xy











{(2,1),(1,2)}D、33N

4、（1）满足条件}4,3,2,1{}1{A的集合A有______________个；

（2）满足条件}1{A}4,3,2,1{的集合A有______________个。

5、(1)用列举法表示不超过10的非负偶数的集合，并用另一种方法表示出来；

(2)设集合A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，试用列举法表示集合A；

6、

cba,,

的子集个个数，真子集的个数分别是多少？

7、已知集合A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}，且1A，求实数a的值。

8、由实数

3

32,,,xxxxx及

组成的集合，最多含有多少个元素

9．已知集合A＝

{

－1，3，2

m

－1

}

，集合B＝

{

3，2m

}

．若BA，则实数

m

＝．

10、下列四个集合中，表示空集的是

[]

A．{0}

B．{(x，y)|y

2

＝－x

2

，x∈R，y∈R}

D．{x|2x

2

＋3x－2＝0，x∈N}

11、设a，b都是非零实数，

ab

ab

b

b

a

a

y

可能取值组成的集合是多少？

课后习题：

1、求不等式

235x

的解集。

2、已知集合

}5|{xaxA

，

xxB|{

≥

}2

，且满足BA，求实数a的取值范围。

3、用描述法表示下列集合。

（1）{1,4,7,10,13}（2）{2,4,6,8,10}

4、写出集合{0，1，2)的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

5、求方程2210xx的所有实数解的集合。

6、已知2{2,,},{2,2,}MabNab，且

MN

，求

,ab

的值。

7、已知集合0662xxxP

，01axxS，若PS，求实数a的取值集合。

8、设集合{|12}Axx，{|0}Bxxa，若A





B，求实数a的取值范围。

9、用列举法表示下列集合。

（1）{|xx是15的正约数}

（2）{(,)|{1,2},{1,2}}xyxy

（3）{(,)|2,24}xyxyxy

（4）{|(1),}nxxnN

（5）

{(,)|3216,,}xyxyxNyN

10、将集合{x│-3x3，x∈N}，用列举法表示出来的是（）

A、{-3，-2，-1，0，1，2，3}B、{-2，-1，0，1，2}

C、{0，1，2，3}D、{1，2，3}

11、下面对集合{1，5，9，13，17}用描述法表示，其中正确的是（）

A、{x│x是小于18的正奇数}B、{x│x=4

k

+1，

k



z且

k

<5}

C、{x│x=4t-3，t

N且t5}D、{x│x=4s-3，s

N+且s<6}

12、化简集合

{|32},{|5}AxxBxx

，并表示

,AB

的关系。

13、（1）已知集合{-2，0}{m-1，-2，m2+m}，则实数m=______；

（2）求方程02mxx有解的m的集合A；

（3）求方程02mxx无解的m的集合B。

14、若集合2{|60}Mxxx，

{|20,}NxaxaR

，且NM，求a的

取值集合。

15、设a，b,c都是非零实数，

abc

abc

c

c

b

b

a

a

y

可能取值组成的集合是多少？