小船渡河

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小船渡河问题

小船渡河的问题,可以分解为它同时参与的两个分运动,一是小船相对水的运动(设水

不流时船的运动,即在静水中的运动),一是随水流的运动(即水冲船的运动,等于水流的运

动),船的实际运动为合运动.

两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。

两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。

【例1】一条宽度为L的河，水流速度为水

v

，已知船在静水中速度为船

v

，那么：

（1）怎样渡河时间最短？

（2）若水船

vv

，怎样渡河位移最小？

（3）若水船

vv

，怎样渡河位移最小，船漂下的距离最短？

解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是

小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如右图所示，船头与河岸垂直渡河，

渡河时间最短：

船

v

L

t

min

。

此时，实际速度（合速度）

22

水

船合

vvv

实际位移（合位移）

船

水

船

v

vvL

L22

sin

s









（2）如右图所示，渡河的最小位移即河的宽度。为使渡河位移等于L，必须使船的合速

度v合的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，

并与河岸成一定的角度θ，所以有

水船

vvcos，即

船

水

v

v

arccos。因为θ为锐角，

1cos0，所以只有在

水船

vv时，船头与河岸上游的夹角

船

水

v

v

arccos，船才有可

能垂直河岸渡河，此时最短位移为河宽，即Ls

min

。实际速度

（合速度）sin

船合

vv，运动时间

sin

船合

v

L

v

L

t

（3）若

水船

vv，则不论船的航向如何，总是被水冲向下

游，怎样才能使漂下的距离最短呢？

V船

V水

V合

如右图所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v合与河岸成α角。可以看出：α角越大，

船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画

圆，当v合与圆相切时，α角最大，根据

水

船

v

v

cos，船头与

河岸的夹角应为

水

船

v

v

arccos，此时渡河的最短位移：

船

水

v

Lv

L

s

cos

渡河时间：

sin

船

v

L

t，

船沿河漂下的最短距离为：





sin

)cos(

min

船

船水v

L

vvx

误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最

小对应。

【练习1】小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，

d

v

kkxv0

4

，

水

，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为

0

v，

则下列说法中正确的是（）

A.小船渡河的轨迹为曲线

B.小船到达离河岸

2

d

处，船渡河的速度为

0

2v

C.小船渡河时的轨迹为直线

D.小船到达离河岸

4/3d

处，船的渡河速度为

0

10v

【练习2】小船过河,船对水的速率保持不变.若船头垂直于河岸向前划行,则经10min可

到达下游120m处的对岸;若船头指向与上游河岸成θ角向前划行,则经12.5min可到达正对

岸,试问河宽有多少米?

【例2】如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度

0

v拉水平面上的物体A，当绳

与水平方向成θ角时，求物体A的速度。

图1

解：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的运动（即绳的末端的运动）

可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于

01

vv；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就

可以将

A

v按图示方向进行分解。所以

1

v及

2

v实际上就是

A

v的两个分速度，如图1所示，由

此可得

coscos

0

1

v

v

v

A

。

【练习3】如图所示,在水平地面上做匀速直线运动的汽车,通过定滑轮用轻绳吊起一个

物体m,若汽车和物体m在同一时刻的速度分别为v1和v2,则下面说法正确的是()

A.物体m做匀速运动且v1=v2

B.物体m做减速运动且v1

C.物体m做匀加速运动且v1>v2

D.物体m做加速运动且v1>v2

【练习4】如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的

夹角为θ，此时物体M的速度大小为（用v、θ表示）

【练习5】如图所示，纤绳以恒定的速率v，沿水平方向通过定滑轮牵引小船向岸边运

动，则船向岸边运动的瞬时速度v0与v的大小关系是：

A、v0>vB、v0

C、v0=vD、以上答案都不对。

v

2v

1

m

θ

v

P

M

v

0θ

v

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