立体星星

1

第一讲立体图形的展开与折叠

知识清单

1.棱柱

棱柱分为直棱柱和斜棱柱，初中阶段只讨论直棱柱.

n

棱柱的定点有n2个，棱有n3条，

面有（2n）个，因此任意一个棱柱的顶点数、棱数和面数之间存在着这样的关系：顶点

数＋面数－棱数＝2.

2.点、线、面、体

从运动的角度看：点动成线，线动成面，面动成体.

3.展开图与折叠图

（1）几种常见的立体图形的展开图：

棱柱（如三棱柱）圆柱圆锥

图形

侧面展开图

表面展开图

（2）将正方体表面沿着某些棱剪开展成一个平面图形，需要剪开7条棱，由于剪开的

方法不同，会得到11种不同形状的展开图.

①“一四一”型：如下图，四个一行中排列，上下各一任意放，共6种；

①“二三一”型：如下图，二在三上露一端，一在三下任意放，共3种；

①“二二二”型：如下图，两两三行排有序，恰是登天上云梯，仅1种；

2

①“三三”型：如下图，三个三排两行，中间一“日”放光芒，仅1中.

题型突破

题型1识别几何体

1．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有

4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（）

A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥

2．下列几何体中，是圆柱的为（）

A．B．C．D．

3．下列图形中，属于立体图形的是（）

A．B．C．D．

4．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有

4个面是三角形；乙同学，它有6条棱，则该模型对应的立体图形可能是（）

A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥

5．一个棱柱共有9条棱，这个棱柱是（）

A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱

题型2立体题图像的表面积

1．已知正方体的边长为a．

（1）一个正方体的表面积是多少？体积是多少？

（2）2个正方体（如图②）叠放在一起，它的表面积是多少？体积是多少？

（3）n个正方体按照图②的方式叠放在一起，它的表面积是多少？体积是多少？

3

2．一个六棱柱模型如图所示，底面边长都是5cm，侧棱长为4cm，这个六棱柱的所有侧面

的面积之和是（）

A．20cm2B．60cm2C．120cm2D．240cm2

3．小华自己动手做了一个铁皮圆柱形笔筒，它的底面直径为6cm，高为10cm，则其表面积

为（）

A．156πcm2B．120πcm2C．69πcm2D．60πcm2

4．棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积为（）

A．36cm2B．33cm2C．30cm2D．27cm2

5．如图所示的五棱柱的底面边长都是5cm，侧棱长12cm，它有多少个面？它的所有侧面的

面积之和是多少？

6．棱长为a的正方体，摆成如图所示的形状．

（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；

（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积．

（3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下n层，求该物体的表面积．

4

题型3点、线、面、体

1．将第一行的图形绕轴旋转一周，便得到第二行的几何体，用线连一连．

2．将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（）

A．B．C．D．

3．天上一颗颗闪烁的星星给我们以“”的形象；中国武术中有“枪扎一条线，棍扫一

大片”的说法，这句话给我们以“”的形象；宾馆里旋转的大门给我们以

“”的形象．

4．流星划过天空时留下一道明亮的光线，用数学知识解释为．

5．如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立体图形，请你把有对应关系的

平面图形与立体图形连接起来．

5

题型4几何体的展开图

1．下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（）

A．B．C．D．

2．下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是（）

A．B．C．D．

3．有一种正方体如图所示，下列图形是该方体的展开图的是（）

A．B．C．D．

4．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（）

A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱

B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱

C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱

D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱

6

5．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与“创”字所在

的面相对的面上标的字是（）

A．庆B．力C．大D．魅

6．如图所示的正方体的展开图是（）

A．B．C．D．

7．如图，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可

以构成一个正方体的表面展开图．（在图1和图2中任选一个进行解答，只填出一种答案即

可）

题型5展开图折叠成几何体

1．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（）

A．B．C．D．

7

2．把图1所示的正方体的展开图围成正方体（文字露在外面），再将这个正方体按照图2，

依次翻滚到第1格，第2格，第3格，第4格，此时正方体朝上一面的文字为（）

A．富B．强C．文D．民

3．下列图形通过折叠能围成一个三棱柱的是（）

A．B．C．D．

4．如图1，观察一个正方体骰子，其中点数1与6相对，点数2与5相对，点数3与4相

对，现在图2中②、②、②、②中的某一处画○，然后去掉其余3处后，能围成正方体骰子的

是（）

A．②B．②C．②D．②

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题组A基础过关

一．选择题（共4小题）

1．毕业前夕，同学们准备了一份礼物送给自己的母校．现用一个正方体盒子进行包装，六

个面上分别写上“祝、母、校、更、美、丽”，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上．则

此包装盒的展开图（不考虑文字方向）不可能是（）

A．B．

C．D．

2．小明同学中考前为了给自己加油，课余时间制作了一个六个面分别写有

“17”“中”“考”“必”“胜”“！”的正方体模型，这个模型的表面展开图如图所示，与“胜”相对的

一面写的（）

A．17B．！C．中D．考

3．将一个棱长为3的正方体的表面涂上颜色，分割成棱长为1的小正方体（如图）．设其中

9

一面、两面、三面涂色的小正方体的个数分别为为x

1

、x

2

、x

3

，则x

1

、x

2

、x

3

之间的关系为

（）

A．x

1

﹣x

2

+x

3

=1B．x

1

+x

2

﹣x

3

=1C．x

1

﹣x

2

+x

3

=2D．x

1

+x

2

﹣x

3

=2

4．如图，模块②由15个棱长为1的小正方体构成，模块②﹣②均由4个棱长为1的小正方

体构成．现在从模块②﹣②中选出三个模块放到模块②上，与模块②组成一个棱长为3的大

正方体．下列四个方案中，符合上述要求的是（）

A．模块②，②，②B．模块②，②，②C．模块②，②，②D．模块②，②，②

二．填空题（共3小题）

5．墙角处有若千大小相同的小正方体堆成如图所示实体的立体图形，如果打算搬走其中部

分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后的实体的三种视围分别保持不变，那

么最多可以搬走个小正方体．

6．“齐天大圣”孙悟空有一个宝贝﹣﹣金箍棒，当他快速旋转金箍棒时，展现在我们眼前的

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是一个圆的形象，这说明．

7．用棱长是1cm的小正方体组成如图所示的几何体，把这个几何体放在桌子上，并把暴露

的面涂上颜色，那么涂颜色面的面积之和是cm2．

三．解答题（共3小题）

8．如图所示为8个立体图形．

其中，柱体的序号为，锥体的序号为，有曲面的序号为．

9．如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体．

（1）这个几何体由个小正方体组成．

（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有个正方

体只有一个面是黄色，有个正方体只有两个面是黄色，有个正方体只有三个

面是黄色．

（3）这个几何体喷漆的面积为cm2．

10．值得探究的“叠放”！

问题提出：把八个一样大小的正方体（棱长为1）叠放在一起，形成一个长方体（或正方体），

这样的长方体（或正方体）表面积最小是多少？

方法探究：

第一步，取两个正方体叠放成一个长方体（如图②），由此可知，新长方体的长、宽、高分

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别为1，1，2．

第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大

面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体（如图②），该长方体的长、宽、高分别为2，

1，2．

第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨

最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体（如图②），该正方体的长、宽、高分别

为2，2，2．

这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为6×2×2=24．

仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题：

（1）如图②，长方体的长、宽、高分别为2，3，1，请计算这个长方体的表面积．提示：长

方体的表面积=2×（长×宽+宽×高+长×高）

（2）取如图②的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积

最小是多少？

（3）取四个长、宽、高分别为2，3，c的长方体进行叠放如图②，此时，形成一个新的长

方体表面积最小，求c的取值范围．

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题组B提优过关

一．选择题（共3小题）

1．如图为一直棱柱，其底面是三边长为5、12、13的直角三角形．若下列选项中的图形均

由三个矩形与两个直角三角形组合而成，且其中一个为如图的直棱柱的展开图，则根据图形

中标示的边长与直角记号判断，此展开图为何？（）

A．B．

C．D．

2．把小正方体的6个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色和

花的朵数情况如表：现将上述大小相等、颜色花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平

放置的长方体（如图），那么长方体下底面有（）朵花．

颜色红黄蓝白紫绿

花的朵数123456

13

A．15B．16C．21D．17

3．10个棱长为1的正方体木块堆成如图所示的形状，则它的表面积是（）

A．30B．34C．36D．48

二．填空题（共2小题）

4．如图，是由8个相同的小立方块达成的几何体，它的三个方向看到的都是2×2的正方形，

拿掉若干个小立方块后，其三个方向观察到图形仍都为2×2的正方形．若已知该几何体不

论拿掉哪一块小立方块，剩余立方块在几何体中的位置不变即几何体不会倒掉，则最多能拿

掉小立方块的个数为

5．墙角处有若千大小相同的小正方体堆成如图所示实体的立体图形，如果打算搬走其中部

分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后的实体的三种视围分别保持不变，那

么最多可以搬走个小正方体．

三．解答题（共2小题）

6．如图所示，左边是小颖的圆柱形的笔筒，右边是小彬的六棱柱形的笔筒．仔细观察两个

笔筒，并回答下面问题．

（1）圆柱、六棱柱各由几个面组成？它们都是平的吗？

（2）圆柱的侧面与底面相交成几条线？它们是直的吗？

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（3）六棱柱有几个顶点？经过每个顶点有几条棱？

（4）试写出圆柱与棱柱的相同点与不同点．

7．一个正方体木块粘合成如图所示的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在模型

表面涂油漆，如果除去粘合部分不涂外，求模型的涂漆面积（可列式计算）．