分解因式的方法与技巧

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因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主

要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等

因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤

都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或

可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数

法、试除法、拆项（添项）等方法；。

注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因

式分解中常用的公式，例如：

(1)(a+b)(a-b)=a2-b2-----------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2)(a±b)2=a2±2ab+b2---------a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3--------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知

abc，，

是

ABC

的三边，且222abcabbcca，

则

ABC

的形状是（）

A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形

解：222222222222abcabbccaabcabbcca

222()()()0abbccaabc

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：

bnbmanam

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用

2/23

公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有

b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考

虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bnbmanam

=)()(nmbnma每组之间还有公因式！

=))((banm

例2、分解因式：bxbyayax5102

解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bxbyayax原式=)510()2(byaybxax

=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax

=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba

练习：分解因式1、bcacaba22、1yxxy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ayaxyx22

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因

式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(22ayaxyx

=)())((yxayxyx

=))((ayxyx

例4、分解因式：2222cbaba

解：原式=222)2(cbaba

=22)(cba

=))((cbacba

练习：分解因式3、yyxx39224、yzzyx2222

综合练习：（1）3223yxyyxx（2）baaxbxbxax22

（3）181696222aayxyx（4）abbaba4912622

（5）92234aaa（6）ybxbyaxa222244

（7）222yyzxzxyx（8）122222abbbaa

（9）)1)(1()2(mmyy（10）)2())((abbcaca

（11）abcbaccabcba2)()()(222（12）abccba3333

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

3/23

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜a≤5，且a为整数，若223xxa能用十字相乘法分解因

式，求符合条件的a.

解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求

24bac>0而且是一个完全平方数。

于是

98a

为完全平方数，1a

例5、分解因式：652xx

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3

的分解适合，即2+3=5。12

解：652xx=32)32(2xx13

=)3)(2(xx1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数

的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672xx

解：原式=)6)(1()]6()1[(2xx1-1

=)6)(1(xx1-6

（-1）+（-6）=-7

练习5、分解因式(1)24142xx(2)36152aa(3)542xx

练习6、分解因式(1)22xx(2)1522yy(3)24102xx

（二）二次项系数不为1的二次三项式——cbxax2

条件：（1）

21

aaa

1

a

1

c

（2）

21

ccc

2

a

2

c

（3）

1221

cacab

1221

cacab

分解结果：cbxax2=))((

2211

cxacxa

例7、分解因式：101132xx

分析：1-2

3-5

（-6）+（-5）=-11

解：101132xx=)53)(2(xx

练习7、分解因式：（1）6752xx（2）2732xx

（3）317102xx（4）101162yy

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：221288baba

分析：将

b

看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相

4/23

乘法进行分解。

18b

1-16b

8b+(-16b)=-8b

解：221288baba=)16(8)]16(8[2bbabba

=)16)(8(baba

练习8、分解因式(1)2223yxyx

(2)2286nmnm(3)226baba

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、22672yxyx例10、2322xyyx

1-2y把

xy

看作一个整体1-1

2-3y1-2

(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3

解：原式=)32)(2(yxyx解：原式=)2)(1(xyxy

练习9、分解因式：（1）224715yxyx（2）8622axxa

综合练习10、（1）17836xx（2）22151112yxyx

（3）10)(3)(2yxyx（4）344)(2baba

（5）222265xyxyx（6）2634422nmnmnm

（7）3424422yxyxyx（8）2222)(10)(23)(5bababa

（9）10364422yyxxyx（10）2222)(2)(11)(12yxyxyx

思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222

五、换元法。

(1)、换单项式

例1分解因式x6+14x3y+49y2.

分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3=m，则x6=m2，

原式变形为

m2+14my+49y2=(m+7y)2=(x3+7y)2.

(2)、换多项式

例2分解因式(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2.

分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分

换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为

(m+4x)(m+6x)+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2

5/23

=(m+5x)2=(x2+6+5x)2

=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.

以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”.

当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体

换元法”.比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为

m(m+2x)+x2=m2+2mx+x2=(m+x)2=(x2+4x+6+x)2=(x2+5x+6)2

=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.

另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被

称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m=

1

2

[(x2+4x+6)+(x2+6x+6)]=x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，

(m+x)(m-x)+x2=m2-x2+x2=m2=(x2+5x+6)2=[(x+2)(x+3)]2

=(x+2)2(x+3)2.

例3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.

分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，

使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2，常数项

不相等，所以只能设法使一次项相同.因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组

为[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]=(x2+x-2)(x2+x-12)，从而转化成例2形式加以

解决.

我们采用“均值换元法”，设m=

1

2

[(x2+x-2)+(x2+x-12)]=x2+x-7，则

x2+x-2=m+5，x2+x-2=m-5，原式变形为

(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=(x2+x-7+1)(x2+x-7-1)

=(x2+x-6)(x2+x-8)=(x-2)(x+3)(x2+x-8).

(3)、换常数

例1分解因式x2(x+1)-2003×2004x.

6/23

分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效.注意到2003、2004两

个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比如，设m=2003，则2004=m+1.

于是，原式变形为

x2(x+1)–m(m+1)x=x[x(x+1)-m(m+1)]=x(x2+x-m2-m)

=x[(x2-m2)+(x-m)]=x[(x+m)(x-m)+(x-m)]

=x(x-m)(x+m+1)=x(x-2003)(x+2003+1)=x(x-2003)(x+2004).

例13、分解因式（1）2005)12005(200522xx

（2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx

解：（1）设2005=a，则原式=axaax)1(22

=))(1(axax

=)2005)(12005(xx

（2）型如

eabcd

的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=222)65)(67(xxxxx

设Axx652，则xAxx2672

∴原式=2)2(xAxA=222xAxA

=2)(xA=22)66(xx

练习13、分解因式（1）)(4)(22222yxxyyxyx

（2）90)384)(23(22xxxx

（3）222222)3(4)5()1(aaa

例14、分解因式（1）262234xxxx

观察：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，

并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式=)

11

62(

2

22

x

x

xxx=6)

1

()

1

(2

2

22

x

x

x

xx

设t

x

x

1

，则2

1

2

2

2t

x

x

∴原式=6)2222ttx（=10222ttx

=2522ttx=

























2

1

5

2

22

x

x

x

xx

=

























2

1

··5

2

2·

x

xx

x

xx=1225222xxxx

7/23

=)2)(12()1(2xxx

（2）144234xxxx

解：原式=22

2

41

(41)xxx

xx

=









































1

1

4

1

2

22

x

x

x

xx

设y

x

x

1

，则2

1

2

2

2y

x

x

∴原式=22(43)xyy=2(1)(3)xyy

=)3

1

)(1

1

(2

x

x

x

xx=13122xxxx

练习14、（1）673676234xxxx

（2）)(2122234xxxxx

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）4323xx

解法1——拆项。解法2——添项。

原式=33123xx原式=444323xxxx

=)1)(1(3)1)(1(2xxxxx=)44()43(2xxxx

=)331)(1(2xxxx=)1(4)4)(1(xxxx

=)44)(1(2xxx=)44)(1(2xxx

=2)2)(1(xx=2)2)(1(xx

（2）3369xxx

解：原式=)1()1()1(369xxx

=)1()1)(1()1)(1(333363xxxxxx

=)111)(1(3363xxxx

=)32)(1)(1(362xxxxx

练习15、分解因式

（1）893xx（2）4224)1()1()1(xxx

（3）1724xx（4）22412aaxxx

（5）444)(yxyx（6）444222222222cbacbcaba

七、待定系数法。

例16、分解因式613622yxyxyx

分析：原式的前3项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式

必定可分为)2)(3(nyxmyx

解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx

∵)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622

∴

8/23

613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622

对比左右两边相同项的系数可得

















6

1323

1

mn

mn

nm

，解得











3

2

n

m

∴原式=)32)(23(yxyx

例17、（1）当m为何值时，多项式6522ymxyx能分解因式，并分

解此多项式。

（2）如果823bxaxx有两个因式为

1x

和

2x

，求

ba

的值。

（1）分析：前两项可以分解为))((yxyx，故此多项式分解的形式必

为))((byxayx

解：设6522ymxyx=))((byxayx

则6522ymxyx=abyabxbayx)()(22

比较对应的系数可得：

















6

5

ab

ab

mba

，解得：

















1

3

2

m

b

a

或

















1

3

2

m

b

a

∴当

1m

时，原多项式可以分解；

当

1m

时，原式=)3)(2(yxyx；

当

1m

时，原式=)3)(2(yxyx

（2）分析：823bxaxx是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，

因此第三个因式必为形如cx的一次二项式。

解：设823bxaxx=))(2)(1(cxxx

则823bxaxx=cxcxcx2)32()3(23

∴

















82

32

3

c

cb

ca

解得

















4

14

7

c

b

a

，

∴

ba

=21

练习17、（1）分解因式2910322yxyxyx

（2）分解因式6752322yxyxyx

（3）已知：pyxyxyx1463222能分解成两个一次因式

之积，求常数

p

并且分解因式。

（4）

k

为何值时，253222yxkyxyx能分解成两个一次

因式的乘积，并分解此多项式。

第二部分：习题大全

经典一：

9/23

一、填空题

1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解

因式。

2分解因式：m3-4m=.

3.分解因式：x2-4y2=_______.

4、分解因式：

244xx

=_________________。

5.将x

n

-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值

为.

6、若

5,6xyxy

，则

22xyxy

=_________，

2222xy

=__________。

二、选择题

7、多项式

3222315520mnmnmn

的公因式是()

A、

5mn

B、

225mn

C、

25mn

D、

25mn

8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()

A、

2339aaa

B、

22ababab

C、

24545aaaa

D、

2

3

232mmmm

m









10.下列多项式能分解因式的是（）

(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4

11．把（x－y）

2

－（y－x）分解因式为（）

A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）

C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）

12．下列各个分解因式中正确的是（）

A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）

B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）

C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）

D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）

13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（）

10/23

A.2B.4C.2y2D.4y2

三、把下列各式分解因式：

14、

nxny

15、

2294nm

16、

mmnnnm

17、

3222aabab

18、

2

22416xx

19、

22)(16)(9nmnm

；

五、解答题

20、如图，在一块边长

a

=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长

b

=3.33cm

的正方形。求纸片剩余部分的面积。

21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径

45dcm

，外径

75Dcm，

长

3lm

。利用分解因式计算浇制一节这样

的管道需要多少立方米的混凝土？(



取3.14，结果保留2位有效数字)

22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。









2

42

842

16842

(1)111

(2)1111

(3)11111

(4)111111

(5)_________________________________________________

xxx

xxxx

xxxxx

xxxxxx









经典二：

1.通过基本思路达到分解多项式的目的

例1.分解因式xxxxx54321

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把

xxxxx54321和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取

公因式后，再进一步分解；也可把xx54，xx32，x1分别看成一组，

此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解一：原式()()xxxxx54321

l

d

D

11/23







xxxxx

xxx

xxxxx

322

32

22

11

11

111

()()

()()

()()()

解二：原式=()()()xxxxx54321











xxxxx

xxx

xxxx

xxxxx

42

4

422

22

111

11

121

111

()()()

()()

()[()]

()()()

2.通过变形达到分解的目的

例1.分解因式xx3234

解一：将32x拆成222xx，则有

原式







xxx

xxxx

xxx

xx

322

2

2

2

24

222

22

12

()

()()()

()()

()()

解二：将常数4拆成13，则有

原式







xx

xxxxx

xxx

xx

32

2

2

2

133

11133

144

12

()

()()()()

()()

()()

3.在证明题中的应用

例：求证：多项式()()xxx2241021100的值一定是非负数

分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。

本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：()()xxx2241021100

12/23







()()()()

()()()()

()()

xxxx

xxxx

xxxx

2237100

2723100

5145610022

设

yxx25

，则

原式

无论取何值都有

的值一定是非负数







()()()

()

()()

yyyyy

yy

xxx

1461008164

40

41021100

22

2

22



4.因式分解中的转化思想

例：分解因式：()()()abcabbc2333

分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c

的关系，努力寻找一种代换的方法。

解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B











原式()

()

()()()

ABAB

AABABBAB

ABAB

ABAB

abbcabc

333

322333

22

33

33

3

32

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要

的。

中考点拨

例1.在ABC中，三边a,b,c满足abcabbc222166100

求证：acb2

证明：abcabbc222166100

13/23















aabbcbcb

abcb

abcabc

abc

abcabc

abc

acb

2222

22

6910250

350

820

880

20

2

即

，即

于是有

即

()()

()()



说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不

能丢分。

例2.已知：

x

x

x

x



1

2

1

3

3

，则

__________

解：

x

x

x

x

x

x

3

3

2

11

1

1

()()







()[()]x

x

x

x

11

21

21

2

2

说明：利用

x

x

x

x

2

2

2

11

2()

等式化繁为易。

题型展示

1.若x为任意整数，求证：()()()7342xxx的值不大于100。

解：100)4)(3)(7(2xxx











()()()()

()()

[()()]

()

()()()

xxxx

xxxx

xxxx

xx

xxx

7232100

51456100

58516

540

734100

22

22

22

2

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大

于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形

14/23

成完全平方是一种常用的方法。

2.将

aaaa222222216742()()分解因式，并用分解结果计算。

解：aaaa22221()()







aaaaa

aaaa

aa

2222

222

22

21

21

1

()

()()

()

67423662()

说明：利用因式分解简化有理数的计算。

实战模拟

1.分解因式：

（）

（）

131083108

233315

5432

22

xxxxx

aaaa



()()

（）

（）

323352

476

22

3

xxyyxy

xx





2.已知：

xyxyxy6133，，求：

的值。

3.矩形的周长是28cm，两边x,y使

xxyxyy32230

，求矩形的面

积。

4.求证：nn35是6的倍数。（其中n为整数）

5.已知：a、b、c是非零实数，且

abca

bc

b

ca

c

ab

2221

111111

3，()()()

，求a+b+c的值。

6.已知：a、b、c为三角形的三边，比较abcab222224和的大小。

经典三：因式分解练习题精选

15/23

一、填空：（30分）

1、若16)3(22xmx是完全平方式，则m的值等于_____。

2、22)(nxmxx则m=____n=____

3、232yx与yx612的公因式是＿

4、若nmyx=))()((4222yxyxyx，则m=_______，n=_________。

5、在多项式2353515yyy中，可以用平方差公式分解因式的

有________________________，其结果是_____________________。

6、若16)3(22xmx是完全平方式，则m=_______。

7、_____))(2(2(_____)2xxxx

8、已知,xxxx则.________2006x

9、若25)(162Mba是完全平方式M=________。

10、22)3(__6xxx，22)3(9___xx

11、若229ykx是完全平方式，则k=_______。

12、若442xx的值为0，则51232xx的值是________。

13、若)15)(1(152xxaxx则a=_____。

14、若6,422yxyx则

xy

___。

16/23

15、方程042xx，的解是________。

二、选择题：（10分）

1、多项式))(())((xbxaabbxxaa的公因式是（）

A、－a、B、))((bxxaaC、)(xaaD、)(axa

2、若22)32(9xkxmx，则m，k的值分别是（）

A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、

3、下列名式：4422222222,)()(,,,yxyxyxyxyx中能

用平方差公式分解因式的有（）

A、1个，B、2个，C、3个，D、4个

4、计算)

10

1

1)(

9

1

1()

3

1

1)(

2

1

1(

2232

的值是（）

A、

2

1

B、

20

11

.,

10

1

.,

20

1

DC

三、分解因式：（30分）

1、234352xxx

2、2633xx

3、22)2(4)2(25xyyx

4、22414yxyx

5、xx5

17/23

6、13x

7、2axabaxbxbx2

8、811824xx

9、24369yx

10、24)4)(3)(2)(1(xxxx

四、代数式求值（15分）

1、已知

3

1

2yx，2xy，求43342yxyx的值。

2、若x、y互为相反数，且4)1()2(22yx，求x、y的值

3、已知

2ba

，求)(8)(22222baba的值

五、计算：（15）

（1）0.75

66.2

4

3

66.3

（2）

20002001

2

1

2

1





























（3）2244222568562

六、试说明：（8分）

1、对于任意自然数n，22)5()7(nn都能被动24整除。

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇

数之间的偶数与较大奇数的积。

18/23

七、利用分解因式计算（8分）

1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果

保留两位有效数字）

2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘

米求这两个正方形的边长。

八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进

行了描述：

甲：这是一个三次四项式

乙：三次项系数为1，常数项为1。

丙：这个多项式前三项有公因式

丁：这个多项式分解因式时要用到公式法

若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将

它分解因式。（4分）

经典四：

因式分解

一、选择题

1、代数式a3b2－

2

1

a2b3,

2

1

a3b4＋a4b3,a4b2－a2b4的公因式是（）

A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b3

2、用提提公因式法分解因式5a(x－y)－10b·(x－y)，提出的公

因式应当为（）

A、5a－10bB、5a＋10bC、5(x－y)D、y－x

3、把－8m3＋12m2＋4m分解因式，结果是（）

A、－4m(2m2－3m)B、－4m(2m2＋3m－1)

C、－4m(2m2－3m－1)D、－2m(4m2－6m＋2)

4、把多项式－2x4－4x2分解因式，其结果是（）

A、2(－x4－2x2)B、－2(x4＋2x2)C、－x2(2x2＋4)D、－

2x2(x2＋2)

5、（－2）1998＋（－2）1999等于（）

A、－21998B、21998C、－21999D、21999

6、把16－x4分解因式，其结果是（）

19/23

A、(2－x)4B、(4＋x2)(4－x2)

C、(4＋x2)(2＋x)(2－x)D、(2＋x)3(2－x)

7、把a4－2a2b2＋b4分解因式，结果是（）

A、a2(a2－2b2)＋b4B、(a2－b2)2C、(a－b)4D、(a＋

b)2(a－b)2

8、把多项式2x2－2x＋

2

1

分解因式，其结果是（）

A、(2x－

2

1

)2B、2(x－

2

1

)2C、(x－

2

1

)2D、

2

1

(x－1)2

9、若9a2＋6(k－3)a＋1是完全平方式，则k的值是（）

A、±4B、±2C、3D、4或2

10、－（2x－y）(2x＋y)是下列哪个多项式分解因式的结果（）

A、4x2－y2B、4x2＋y2C、－4x2－y2D、－4x2＋y2

11、多项式x2＋3x－54分解因式为（）

A、(x＋6)(x－9)B、(x－6)(x＋9)

C、(x＋6)(x＋9)D、(x－6)(x－9)

二、填空题

1、2x2－4xy－2x=_______(x－2y－1)

2、4a3b2－10a2b3=2a2b2(________)

3、(1－a)mn＋a－1=(________)(mn－1)

4、m(m－n)2－(n－m)2=(__________)(__________)

5、x2－(_______)＋16y2=()2

6、x2－(_______)2=(x＋5y)(x－5y)

7、a2－4(a－b)2=(__________)·(__________)

8、a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)=(x＋y－

z)·(________)

9、16(x－y)2－9(x＋y)2=(_________)·(___________)

10、(a＋b)3－(a＋b)=(a＋b)·(___________)·(__________)

11、x2＋3x＋2=(___________)(__________)

12、已知x2＋px＋12=(x－2)(x－6)，则p=_______.

三、解答题

1、把下列各式因式分解。

(1)x2－2x3(2)3y3－6y2＋3y

(3)a2(x－2a)2－a(x－2a)2(4)(x－2)2－x＋2

(5)25m2－10mn＋n2(6)12a2b(x－y)－4ab(y－

x)

(7)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)(8)a2＋5a＋6

20/23

(9)x2－11x＋24(10)y2－12y－28

(11)x2＋4x－5(12)y4－3y3－28y2

2、用简便方法计算。

（1）9992＋999（2）2022－542＋256×352

(3)

7

1997

2

3、已知：x＋y=

2

1

,xy=1.求x3y＋2x2y2＋xy3的值。

四、探究创新乐园

1、若a－b=2,a－c=

2

1

,求(b－c)2＋3(b－c)＋

4

9

的值。

2、求证：1111－1110－119=119×109

五、证明(求值)

1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．

2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平

方数．

3．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．

4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－

2bc－2ac的值．

5．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．

6．当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以

分解为两个一次因式的乘积．

7．若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．

8．两个连续偶数的平方差是4的倍数．

经典五：

因式分解分类练习题

因式分解—提公因式法

21/23

1、下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是()

22C.22yxD.22yxyx

2、在把xyaayxa32分解因式时，应提取的公因式是()

.

ay

3、下列变形是因式分解的是()

A.)3(322xxyyxyyxB.2)1(3222xxx

C.)1)(1(1222xyxyxyyx

D.)1(212xxxxxxnnnn

4、多项式344342243223babababababa，，的公因式

是。

5、多项式

))(())((yxzxzyzyxzyx=。

6、已知

cba2

，则代数式

)()()(cbaccbabcbaa。

7、用提公因式法将下列各式因式分解：

⑴

ayax

；⑵236xzxyz；⑶yxzx43；⑷

ababxaby61236；

⑸)(2)(3abybax；⑹

))(())((mymxmymxmx

8、若

587ba

，求)78)(1211()87)(43(abbababa的值。

9、利用因式分解计算：

⑴31×3.14+27×3.14+42×3.14

⑵当

4

1

20

7

5

2

zyx，，时，求yzxzxyxyz222的值。

因式分解—公式法

1、若16)3(22xmx是完全平方式，则m的值等于()

A.

3

B.

5

C.

7

D.

7

或

1

2、若202kxx能在整数范围内因式分解，则

k

可取的整数值有

()

A.2个B.3个C.4个D.6个

3、下列分解正确的是()

A.)3)(3(322yxyxyxB.)32)(32(942xxx

22/23

C.222)32(964yxyxyxD.22)1(12xxx

4、yxyx22分解因式的结果是。

5、为使bxx72在整数范围内可以分解因式，则

b

可能取的值

为。(任写一个)

6、分解因式：

⑴229)(yyx；⑵baba22；⑶

22)(5)(10xyayxb；

⑷22)1()(abab；⑸2222)(4)(axaxxa；⑹

22)()(zyxzyx

7、已知cba,,是△ABC的三边，且满足关系式

222222bbcabca，试判断△ABC的形状。

8、⑴研究下列算式你会发现有什么规律，4×1×2+1=23，4×2×3+1=25，

4×3×4+1=27，4×4×5+1=29，…….请你将找出的规律用含一个字母的

等式表示出来。

⑵试用上述规律计算：4×2006×2007+1=。

9、当ba,为何值时，多项式186422baba有最小值？并求出这

个最小值。

因式分解—分组分解法

1、用分组分解法把

acbcab

分解因式，分组的方法有（）

A、1种B、2种C、3种D、4种

2、用分组分解法分解bccba2222，分组正确的是（）

A、bcbca2222B、bccba2222

C、bccba2222D、bccba2222

3、填空：（1）

ayaxbybxayax

（2）xyyx2242

（3）

bccba444222

4、把下列各式因式分解：

1）xyxyx215652；2）baaba32172；3）

124322axax

23/23

5、把下列各式因式分解：

1）4423xxx；2）axabbxax222；3）

12224yyxxx

6、把下列各式因式分解：

1）1122bbaa；2）2222bacddcab

3）cbbcbaa222

因式分解—十字相乘法

1、若35xx是代数式152kxx分解因式的结果，则

k

的值为

（）

A、－2B、2C、8D、－8

2、在多项式（1）672aa，（2）342aa，（3）862aa，

（4）1072aa，（5）44152aa中，有相同因式的是（）

A、只有（1）（2）B、只有（3）（4）C、只有（2）（5）D、不同于以

下答案

3、把22865yxyx分解因式得（）

A、452xxB、452xxC、yxyx452D、

yxyx254

4、把下列各式因式分解：

（1）1032xx（2）232xx

（3）22152914yxyx（4）22152812ayaxyax

5、把下列各式因式分解：

（1）354422axxa（2）102322yxyx

（3）102292102xx（4）22224108393xxaxa

6、把下列各式因式分解：

（1）124742

2

2xxxx（2）142yxxyy

（3）624422yxyxyx（4）

95311aaaa