曲线与方程

曲线与方程知识点及题型归纳总结

知识点精讲

、曲线的方程和方程的曲线

在直角坐标系中，如果是某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点

与一个二元方程

fx,y0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线。事实上，曲线可以看作一

个点集

二、直接法求动点的轨迹方程利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：

（1）建系建立适当的坐标系

（2）设点---设轨迹上的任一点Px,y

（3）列式列出有限制关系的几何等式

（4）代换---将轨迹所满足的条件用含x,y的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转

化为

x,y的方程式化简

（5）证明（一般省略）--证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外

补

充检验）。

简记为：建设现代化，补充说明。注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要

说明轨迹是什么曲线。

题型归纳及思路提示

题型1求动点的轨迹方程

思路提示：动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理

解，所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标x,y所满足的等量关系式，通常的方

法有直译法，定义法，相关点法（代入法），参数法。

一、直译法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于

表达，那么只需把这些关系“翻译”成含x,y的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹

方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。

1

斜率之积等于，求动点P的轨迹方程。

3

1

分析设点Px,y，将题设中直线AP与BP斜率之积等于1翻译成含x,y的等式。

3

B的坐标为1,1，设点Px,y，由题意得

22

，故动点P的轨迹方程为x23y24x1

元方程的解作为坐标的点也组成一

个点集

F，上诉定义

中

条件

（1）

条件

（2）

CF

CF

FC

C，以一个二

例10.30在平面直角坐标系xOy中，点B与点A

1,1关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的

解析：

A1,1关于原点O对称，所以

点

13，化简得x23y24x1

变式1已知动圆过定点A4,0，且在y轴上截得的弦的长为8，求动圆圆心的轨迹C的方程

变式2在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,1,B点在直线y3上，M点满足

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

MBPOA,MAgABMBgBA，M点的轨迹为曲线C，求C的方程。

变式3（2012江西理20（1））已知三点O0,0A2,1B2,1，曲线C上任意一点Mx,y

uuuuruuuruuur

2，求曲线C的方程。

二、定义法若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定

义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。

心轨迹L的方程。

方程是

的方程。

22

如图10-15所示，F1,F2为椭圆xy1的左，右焦点，A为椭圆上任因点，过焦点F2向

43

的外角平分线作垂线，垂足为D，并延长F2D交F1A于点B，则点D的轨迹方程

，点B的轨迹方程是

变式3

已知平面内一动点P到

点

1,0的距离与点P到y轴的距离的差等于1，求动点P的轨

迹C

满足

uuuruuur

MAMBOMgOAOB

例10.31M2,0

和N

2,0是平面上的两点，动点P满足PM

PN

6，求点P的轨迹方程

分析动点P满足

解析因为PM

PM

PN

点，长轴长为6的椭圆，

所以

ba

2

c

2

5

PN

64，则动点P满足椭圆定义

6MN

4，所以由椭圆定义，动点P的轨迹是以M

2,0和N2,0为焦

22

设椭圆方程为x2y2

1ab

ab

，则有2a6,a

3，半焦距c2，

，所以所求动点的轨迹方程为

9

评注：椭圆的定义：在平面内到两定点F1,F2的距离和等于定长（大于F1F2）

的点的轨迹是椭圆。

于圆，曲线，双曲线的定义也应

熟记。

C

变式14,

x5y24,重点一个内切，另一个外切，求C的圆

变式2

已知动圆P与定圆C:x22

2

y2

1外切，又与定直线l:x1相切，那么动圆圆心P的轨迹

例10.32

F1AF2

分析由AD平分BAF2，得ADF2B，易得到AF2AB,DF2DB,ODPBF1故OD2

1BF1a2

解析因为BADF2AD,ADBF2,所以VADF2≌VADB故BDF2D,BAF2A,又O11

为F1F2中点,所以ODP2BF1,OD2AF1AF22,则点D

的轨迹为以

O

为圆心,2为半径的

圆,故点D的轨迹为x2y24（y0）,同理,点B的轨迹是以F11,0为圆心,4为半径的圆,故点B的轨

迹方程为x12y216（y0）

评注:在应用角平分线性质的同时,要会很好的结合已知曲线的定义,这里用到了圆的定义以及椭圆

的定义.

变式1已知F1,F2是双曲线的左，右焦点，Q是双曲线上任一点（不是顶点），从焦点F1引F1QF2

的平分线的垂线，垂足为P，则动点的轨迹方程所在的曲线是（）

A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线

变式2已知点P为双曲线又支上异于顶点的任一点，连接PF1,PF2，作VPF1F2的内切圆，其圆心

为O，则动圆圆心O的轨迹所在的曲线是（）

A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线

A1B1C1D1中，P是侧面BCC1B1内一动点，若P到直线

BC

与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）

、相关点法（代入法）

有些问题中，所求轨迹上点Mx,y的几何条件是与另一个已知方程的曲线上

点

的，这时要通过建立这两点之间关系，并用x,y表示x,y，再x,y将代入已知曲线方程，即得x,y

关系

变式3如图10-16所示，在正方体ABCD

A．直线B．圆

．双曲线D．抛物线

Mx,y相关联

变式3如图10—19所示，抛物线C

1:x24y,C2:x2

过M作C1的切线，切线为A,B（M为原点O时，

式。

x2

例10.33已知A为椭

圆

y

2uuuruuur

1上的点，点B坐标为2,1，有AP2PB求点P的轨迹方

程。16

分析本题已知A

椭圆方程便可解

出。

相关点）在椭圆上，点

B坐标已知，只需用点P的坐标表示点A的坐标，然后代入

解析设Ax0,y0,Px,y

uuur因

为AP

uuu

r

uuuuuur

APxx0,yy

0

,PB

2

x,1y

x0

22x

x03x4

2x

即代入

y021yy03y225

得3x1

25

3y2

16

，因此点P的轨迹方程为

4

3

25

9

2

2

y16231

16

9

评注关键在于用点

P的坐标表示点A的坐标，然后根据点A所满足的方程就可求得动点P的轨迹方程。

所示，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上

的轨迹C的方程.

变式2

2x如图10--18所示，已知M,N是椭圆

4

1上两动点，且直线OM与ON的斜率之积为

uuur其中O为坐标原点），若点P

满足OP

uuu

ur

uuur

2ON，问：是否存在两个定点F1,F2，使得

PF2为定植？若存在，求F1,F2的坐标：

若不存在，

说明理由。

2pyp0，点Mx0,y0在抛物线C2上，

重合于O），当x012时，切线MA的斜

x

故

y

2

2y16

变式1如图10--17

求

PF1

A,B

4

x

4

uuur

足OP

uuur

uuur

OAOB

，求动点P的轨迹方程。

分析动点

P因A,B而动，点A,B因直线l而动，直线l过定点M

1,0，故因其斜率（倾斜角）而动，

解析

故引如参数

斜率"k"

设Ax1,y1x2,y2Px,y

uuur因

为OP

uuur

uuur

OAOB，所以

x1x1

2

1率为1

。2

（1）求P的值

（2）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程。

四、参数法

有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发

现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制

约，即动点坐标随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立

轨迹的参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去

参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角

度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定

的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响。

2

x2

y41，过点M1,0的直线l交椭圆于点A,B，点O是坐标原点，点P满

y1y2

2

1

）

当直线l斜率存在时，设斜

率为

则l:

kx

y

1，由

2

kx

2

y

x2

kx121即4k2x22kx30

则有

x1

x2

2k

4k2,x1x2

3，

2

，

4k

2

x,y中的x,y分别

例10.34

设椭圆方程为

x1x2

k

k2

y1y2

2kg4

k

k2

4

k2

得出

k

4k

2

4

4k

2

即x

y

k

，所以

4

4x

，解

出

4

24x

化简

得

4x

20(0y1)

y

整理得

1

2

1

4

2

x

1

16

1(

0

y1)

（2）当直线的斜率不

存在时，

l:x0

x2

0

2

y2

1

4

02或

综

上

1）

（2）

得，

点

A0,2,B

0,2

P0,0，将P0,0代入③等式成

立

P的轨迹方程

为

2

1

y2

1

4

2x

1

1

6

1(0y1)

动点P的坐标随着变量斜率的变化而变化，故利用设参消参的方法求出轨迹方

程，千万要注意，

评注

当动直线斜率可变化时，一定要讨论斜率的存在与否，历年高考在

该处屡考不鲜。

2

变式1已知过点D2,0的直线l与椭圆y21交于不同的两

点

2

uuuruuuruuur

A,B，若OPOAOB，求点

P的轨迹方

程。

2x变式2（2012辽宁理20（1））如图10—20所示，椭圆

C0:

2a2

2

yb21ab0,a,b为常数，动圆

C

1

:x2

22

y2t2

1,bt1a，点A1,A2分别为C0的左，右顶点，

C1与C0相交于A,B,C,D四点，

求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹

方程

P向eO和eO所引的切线长相等，则动点P的轨迹方

程是

有效训练题

相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为

1．已知定点Px0,y0

不在直线l

:f

x,y0上，则方程fx,y

x0,y00表示一条（）

A．过点P且垂直于l的直

线

C不过点P但垂直于l的直

过点P且平行于l的直线

不过点P但平行于l的直

线

x轴和y轴的正半轴交于A,B，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原

uuuuuuruuur

点，

若

BP2PA且

OQgAB

A3x

232y1

x0,y

2

C

32

x

3y21x0,y

则点Q的轨迹方程是（）

232

B3x2y21x0,y0

2

3x23y21x0,y0

2

1上移动时，

它与定点B3,0连线的中点的轨迹方程是（）

2

32

2x2

32

4y

2

21

y2

2

4．已知椭圆

2

x

2a

2y

b2

，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的

轨迹是

（）

椭圆线段段抛物线

5．线段

AB的长度是

10，它的两个端点分别在

x轴，y轴上滑动，则AB中点P的轨迹方程是（

6．如图

x

2

y

2

5x2y225222

xy100Dx

50

10-21所示，已知点M3,0,N3,0

,B1,0，动圆C与直线MN切于点B，

过M,N与圆C

Ax2x2x2x2

2

y10

x1

7．已知eO的方程是x20，eO的方程是x2

2

y28x100，如图

10-22

所示,若由动点

2．过点Px,y的直线分别

与

1

，

0

0

3．动2yA在圆x

2

B8yx1

18．如图10-23所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AMAB，点P在平

1111

3

面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与点P到点M的距离的平方差为1，在平面直

角坐标系

xAy中，动点P的轨迹方程是

l1与l2，且l1与x轴交于M点，l2与y轴交于N点，

则线段MN

中点P的轨迹方程为

10如图10-24所示，从双曲线x2y2

1上一点Q引直线xy2的垂线，垂

足

为N，求线段QN的中点P的轨迹方程

11．如图10-25所示，动点M与两定点A1,0,B2,0构成VMAB，且

MBA2MAB，设动点M的轨迹为C（1）求轨迹C的方程

（2）设直线y2xm与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q,R且PQ

范围。

2

12．过抛物线y24pxp0的顶点作互相垂直的两弦OA,OB

1）求AB中点p的轨迹方程

2）求抛物线顶点O在AB上的射影M的轨迹方程

9．过定点Aa,b任作互相垂直的两直线

RQ

PP求

R