六次函数

函数的概念知识点总结第1页

函数的概念知识点总结

本节主要知识点

（1）函数的概念.

（2）函数的三要素与函数相等.

（3）区间的概念及其表示.

知识点一函数的概念

初中学习的函数的传统定义

一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于x的每一个值,y都有

唯一的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量,此时也称y是x的函数.

函数的近代定义

设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系

f

,使对于集合A中的任

意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数xf和它对应,那么就称

f

:BA为

从集合A到集合B的一个函数,记作

)(xfy

,

Ax

.

其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫

作函数值,函数值的集合Axxfyy),(叫做函数的值域.显然,值域是集合B的

子集.

对函数的近代定义的理解

（1）只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数

是不存在的.

如

x

x

y







1

1

就不是函数.

（2）注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性.

任意性:集合A中的任意一个元素x都要考虑到.

存在性:集合A中的任意一个元素x,在集合B中都存在对应元素y.

唯一性:在集合B中,与每一个元素x对应的元素y是唯一的.

函数的概念知识点总结第2页

（3）集合B不一定是函数的值域,值域是集合B的子集.

在集合B中,可以存在元素在集合A中没有与之对应者.

例1.讨论二次函数的定义域和值域.

解:二次函数的一般式为02acbxaxy,为整式函数,所以其定义域为R,其

值域的确定分为两种情况:

①当

0a

时,函数的值域为

















a

bac

yy

4

42

;

②当

0a

时,函数的值域为

















a

bac

yy

4

42

.

注意:上面讨论二次函数值域的结果是定义在实数集R上的,若二次函数的定义

域是R的子集,则其值域的确定要结合二次函数的性质和图象的简图来确定.经

过后面的学习可以知道,求函数的值域前要先确定函数的定义域.

知识点二函数的三要素

函数的三要素分别是定义域、对应关系和值域.

在函数的三要素中,只要定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了.

定义域使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x的取值范围.

确定函数定义域时,要从两个方面考虑:

（1）使函数解析式有意义;

（2）符合客观实际.

对应关系用

f

表示,对应关系又叫对应法则,它是函数的本质特征,是沟通定义域

和值域的桥梁.对应关系的作用相当于对自变量x施以某种运算,类似于程序的作

用.

值域在函数的定义域内,所有对应的函数值的集合,叫做函数的值域.

例2.讨论反比例函数0k

x

k

y

的定义域和值域.

解:反比例函数0k

x

k

y

的定义域为0xx,值域为0yy.

Aaaf与xf的区别与联系

)(af表示当ax时xf的函数值,是其值域内的一个值,它表示的是常量;)(xf

函数的概念知识点总结第3页

表示自变量为x的函数,它表示的是变量.

如

xxf2)(

表示的是一个函数,63f是它的一个函数值,是常量.

知识点三具体函数的定义域的确定方法

所谓具体函数,指的是给出解析式的函数,与之相对的是抽象函数.根据函数解

析式的特点来确定函数的定义域:

（1）如果函数解析式是整式,则函数的定义域是全体实数,即R.

（2）如果函数解析式中含有分式,则函数的定义域是使分式的分母不等于零的实数集;

（3）如果函数解析式中含有二次根式,则函数的定义域是使二次根式的被开方数为非负数

的实数集;

（4）如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则函数的定义域是使底数不等于零的

实数集.

（5）如果函数解析式含有上述两种或两种以上的结构特点,则函数的定义域是使每一部分

有意义的实数集的交集.

（6）如果函数解析式是由实际问题得到的,则函数的定义域还要符合客观实际.

知识点四函数的相等

只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.

对函数的相等理解时要注意:

（1）当一个函数的定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了,所以当两个

函数的定义域和对应关系分别相同时,两个函数才相等,即表示同一个函数.

（2）定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.

（3）定义域和值域分别相同的两个函数,不一定相等.

如函数2)(xxf与函数xxf2)(的定义域都是R,值域都是R,但它们表示

的不是同一个函数,两个函数不相等.

（4）因为函数是两个非空数集之间的对应关系,所以与用什么字母表示自变量,

用什么字母表示因变量没有关系.

如函数1)(2xxf与函数1)(2ttf表示的就是同一个函数.

（5）对)(xf中x的理解:如果两个函数解析式的右边相同,但f施加关系的对象

不同,两个函数也不相等.

函数的概念知识点总结第4页

如函数2)(xxf和函数2)1(xxf表示的就不是同一个函数.

例3.下列各组函数表示同一函数的是【】

（A）

xxf)(

,2)(xxg

（B）1)(2xxf,12ttg

（C）

1)(xf

,

x

x

xg)(

（D）

xxf)(

,xxg

分析:这是判断两个函数相等的问题.只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,

这两个函数才相等,即为同一个函数.所以,当两个函数的定义域和对应关系二者中只

要有一个不相同,两个函数就不相等.

解:（A）选项中,函数

xxf)(

的定义域为R,函数2)(xxg的定义域为0xx,

它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;

（B）选项中,两个函数的定义域和对应关系都相同,所以它们是同一函数,与用哪

个字母表示自变量没有关系;

（C）选项中,函数

1)(xf

为常数函数,其图象为一条平行于x轴的直线,其定义域

为R,函数

x

x

xg)(

的定义域为0xx,它们的定义域不相同,所以它们不是同一

函数;

（D）选项中,函数

xxf)(

与函数xxg的定义域均为R,但二者的对应关系不

相同,它们不是同一函数.

选择【B】.

例4.求下列函数的定义域:

（1）

2322





xx

x

y

;（2）xxy11;

（3）

x

y





11

3

;（4）2253xxy.

分析:例4给出的三个函数均为具体函数,求具体函数的定义域的方法是使函数

解析式有意义的自变量的取值的集合,要表示成集合的形式或区间的形式.

函数的概念知识点总结第5页

解:（1）由题意可知:











0232

0

2xx

x

,即















2

1

2

0

xx

x

且

,解之得:x≤0且

2

1

x

.

∴函数

2322





xx

x

y的定义域为





















2

1

0xxx且;

（2）由题意可知:











01

01

x

x

,解之得:

1x

.

∴函数xxy11的定义域为1xx;

（3）由题意可知:











011

01

x

x

,即











0

1

x

x

,解之得:x≤1且

0x

.

∴函数

x

y





11

3

的定义域为01xxx且;

（4）由题意可知:











05

03

2

2

x

x

,即















55

33

x

xx或

解之得:5≤x≤3或3≤x≤5.

∴函数2253xxy的定义域为5335xxx或

.

注意:

（1）函数的定义域要表示成集合或区间的形式.

（2）若函数的解析式为综合型,则定义域为解析式各部分有意义的交集.若交集

在数轴上表示有两部分,则这两部分之间用“或”字.

知识点五区间的概念及其表示

设

ba,

是两个实数,且ba,规定:

（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合,叫做闭区间,表示为ba,;

（2）满足不等式bxa的实数x的集合,叫做开区间,表示为ba,;

（3）满足不等式a≤xb或xa≤b的实数x的集合,叫做半开半闭区间,分别

表示为ba,,ba,.

这里的实数ba,叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时,包含端点的那

函数的概念知识点总结第6页

一端用中括号表示,不包含端点的那一端用小括号表示.

区间的数轴表示（几何表示）

定义名称符号数轴表示

bxax

闭区间ba,

b

a

bxax

开区间ba,

b

a

bxax

半开半闭区间ba,

b

a

bxax

半开半闭区间ba,

b

a

实数集R可以用区间表示为,.“”读作“无穷大”,“”读作“负无穷

大”,“”读作“正无穷大”.

把满足不等式ax,x≥a,

bx

,x≤

b

的实数x的集合,分别表示为

,a,,a,b,,b,.

定义符号数轴表示

ax,a

a

x≥a,a

a

bxb,

b

x≤bb,

b

对区间的概念及其表示的理解:

（1）区间用来表示连续的数集,并不是所有的集合都可以用区间来表示,如集合

3,2,1就不能用区间来表示.

（2）区间的左端点必须小于右端点.

函数的概念知识点总结第7页

（3）区间符号里的两个字母或数字之间用“,”隔开.

（4）在将连续的数集表示为区间时,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用

小括号表示.

（5）在用数字表示区间时,包含端点的,画成实心点,不包含端点的,画成空心点.

（6）若a为区间的左端点,

b

为区间的右端点,则把

ab

叫做区间的长度.区间的

长度必须大于0.（因为

ab

）

（7）连续的数集既可以用集合表示,也可以用区间来表示.

例5.函数

51

3

)(







x

x

xf

的定义域是【】

（A）,3（B）,44,3

（C）,3（D）4,3

分析:不等式（组）的解集为连续的数集时,既可以用集合表示,也可以用区间来

表示.在用区间表示数集时,一定要弄清是否包含端点,包含端点的用中括号表示,

不包含端点的,用小括号表示.

解:由题意可知:











051

03

x

x

,即











64

3

xx

x

且

,解之得:x≥3且

4x

.

∴函数

51

3

)(







x

x

xf

的定义域用集合表示为43xxx且,用区间表示为

,44,3.

选择【B】.

知识点六复合函数与抽象函数

复合函数的概念

如果y是

u

的函数,记为)(ufy,

u

又是

x

的函数,记为)(xgu,且)(xg的值域与

)(uf的定义域的交集非空,那么y通过

u

的联系也是自变量

x

的函数,我们称y为

x

的复

合函数,记为))((xgfy.其中

u

叫做中间变量,)(xgu叫做内层函数,)(ufy叫做

外层函数.

对复合函数概念的理解

函数的概念知识点总结第8页

由复合函数的定义可知,内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子

集,外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域.

例6.下列函数中,是复合函数的是【】

（A）32)(xxxf（B）1)(xxf

（C）

xxf)(

（D）

x

xf

2

)(

分析:判断一个函数是不是复合函数,就是看它是否是两个函数复合而成的.

解:函数1)(xxf是由函数uy和1xu两个函数复合而成的,是复合函

数.选择【B】.

抽象函数的概念

没有给出具体解析式的函数,叫做抽象函数.

知识点七求抽象函数或复合函数的定义域

理解抽象函数或复合函数的定义域,要明确以下几点:

（1）函数

)(xf

的定义域是自变量x的范围.

（2）函数

))((xgf

的定义域是自变量x的范围,而不是

)(xg

的范围.

（3）)(xf、

))((xgf

两个函数中,x、)(xg在对应关系

f

下的范围相同.

求抽象函数或复合函数定义域的方法

（1）已知)(xf的定义域为A,求))((xgf的定义域,其实质是)(xg的取值范围为A,求

x

的取值范围;

（2）已知))((xgf的定义域为B，求)(xf的定义域,其实质是已知))((xgf中的

x

的取值

范围为B,求)(xg的范围（值域）,此范围就是)(xf的定义域.

（3）已知))((xgf的定义域,求))((xhf的定义域,要先按（2）求出)(xf的定义域.

例7.已知函数

x

x

xf

3

)(



,则函数)1(xf的定义域为【】

（A）1,4xxx且（B）1,2xxx且

（C）0,2xxx且（D）1,4xxx且

函数的概念知识点总结第9页

分析:本题需要根据具体函数

)(xf

的解析式,先求出函数

)(xf

的定义域,然后再确

定抽象函数

)1(xf

的定义域:函数

)(xf

中自变量x的取值范围与1x的范围相

同,从而列出关于x的不等式（组）,解集即为函数

)1(xf

的定义域.

解:∵函数

x

x

xf

3

)(





∴











0

03

x

x

,解之得:x≥

3

且

0x

.

∴函数

x

x

xf

3

)(



的定义域为03xxx且.

对于函数

)1(xf

,则有:











01

31

x

x

,解之得:x≥2且

1x

.

∴函数

)1(xf

的定义域为1,2xxx且.

选择【B】.

例8.已知12xf的定义域为3,0,则)(xf的定义域为_________.

分析:函数12xf的定义域为3,0,指的是x的取值范围是3,0,而不是12x的

范围.

先根据3,0x,求出12x的范围,此范围即为函数)(xf的定义域.

解:∵12xf的定义域为3,0

∴0≤x≤3,根据二次函数的知识可得:1≤12x≤8

∴)(xf的定义域为8,1.

例9.若函数1xf的定义域为













2,

2

1

,则函数1xf的定义域为__________.

分析:本题为已知已知))((xgf的定义域,求))((xhf的定义域,要先确定)(xf的定义

域.

函数的概念知识点总结第10页

解:∵函数1xf的定义域为













2,

2

1

∴

2

1



≤x≤2,∴

1

2

1



≤1x≤12

∴

2

1

≤x≤3

∴函数

)(xf

的定义域为













3,

2

1

.

对于函数1xf,则有:















31

2

1

1

x

x

,解之得:

2

3

≤x≤4

∴函数1xf的定义域为













4,

2

3

.

知识点八求函数的函数值

（1）若函数为具体函数,把自变量的值代入函数解析式即可求得对应额函数值;

（2）求抽象函数的函数值,常采用赋值法求求解.

例10.已知

x

xf





1

1

)(1x,2)(2xxg.

（1）求)2(f和2g;

（2）求2fg,)(xgf;

（3）若



4

)(

1



xgf

,求x.

分析:函数的本质是对应关系

f

,f表示的是对括号里的内容施以某种运算.

计算)(aff的值时,应从内到外依次计算.

解:（1）

3

1

21

1

)2(



f

,62222g;

（2）

9

19

2

3

1

3

1

2

2





























gfg



3

1

21

1

)(1

1

)(

22











xxxg

xgf;

函数的概念知识点总结第11页

（3）∵



4

)(

1



xgf

∴

4

3

1

1

2



x

,432x,解之得:

1x

.

例11.已知函数xf对任意实数

ba,

,都有bfafabf成立.

（1）求0f,1f的值;

（2）若qfpf3,2（qp,为常数）,求36f的值.

解:（1）∵函数xf对任意实数

ba,

,都有bfafabf

∴令0ba,则有:000fff

∴00f.

令

0,1ba

,则有:010fff

∴01f.

（2）∵qfpf3,2

∴pfffff22222224

qfffff23233339

∴qpffff22949436.

例12.已知函数xf的定义域为,0,对任意正实数yx,都有

yfxfxyf,且24f,则2f_________.

解:∵yfxfxyf,且24f

∴令2yx,则有:222224ffff,∴12f.

令2yx,则有:122222ffff

∴

2

1

2f.

函数的概念知识点总结第12页

知识点九求函数的值域

求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图象法、判别式法、反表示

法等.

方法1观察法

通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象

的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域.

如函数

21

1

x

y





,因为12x≥1,所以

y0

≤1,即该函数的值域为

10yy.

方法2配方法

常用于求二次函数的值域.通过配方把二次函数化为顶点式,结合函数的定义

域来求函数值域的一种方法.

注意:在求函数的值域时,要先确定函数的定义域.

方法3分离常数法

形如

bax

dcx

y







的函数常用分离常数法求值域.分离过程为:



bax

a

bc

d

a

c

bax

a

bc

dbax

a

c

bax

dcx

y



















∵

0





bax

a

bc

d

,∴

a

c

y

所以函数的值域为















a

c

yy.

方法4换元法

形如dcxbaxy0a的函数常用换元法求值域.具体做法是:先令

dcxt

（t≥0）,用t表示出x,并标明t的取值范围,并代入函数解析式,将y表

示成关于t的二次函数,最后用配方法求出值域.

用换元法求函数的值域时,注意换元后要标明新元的取值范围.

方法5图象法

有些函数的图象比较容易画出,可以通过其图象得出函数的值域.

函数的概念知识点总结第13页

x

y

O

1234

1

2

3

4

5

6

方法6判别式法

形如

fexdx

cbxax

y







2

2

（

da,

中至少有一个不为0）的函数常用判别式法求值域.

具体做法是:先把函数转化为关于x的一元二次方程,然后通过方程有实数根,判

别式≥0,求出y的取值范围,即为原函数的值域.（注意对二次项系数的讨论）.

方法7反表示法

根据函数解析式用y表示出x,根据原函数中x的取值范围列出关于y的不等式,

不等式的解集即为原函数的值域.

例13.求函数1xy的值域.

分析:采用观察法求其值域.

解:∵x≥0（x≥0）

∴1x≥1

∴函数1xy的值域为,1.

例14.求函数322xxy的值域,其中3,0x.

分析:求二次函数的值域常用配方法.通过配方把函数的一般式转化为顶点式,根

据自变量的取值范围并结合二次函数图象的简图求解.

解:∵21322

2xxxy

∴函数图象的顶点坐标为(1,2)

∵3,0x,13,0

∴函数的最小值为2.

∵633233,303ff

∴函数的值域为6,2.

例15.求函数

3

12







x

x

y

的值域.

分析:求形如

bax

dcx

y







的函数的值域,常用分离常数法.

解:



3

7

2

3

732

3

12

















xx

x

x

x

y

函数的概念知识点总结第14页

y

tO

–1–2–3–412

–1

–2

1

2

∵

0

3

7



x

,∴

2y

∴函数

3

12







x

x

y

的值域为,22,.

例16.函数12xxy的值域为__________.

分析:形如dcxbaxy0a的函数常用换元法求值域.

解:令12xt,则t≥0

∴

2

12



t

x

∴11

2

1

2

1

122

2





tt

t

xxy

∵t≥0,

01

∴y随t的增大而增大

∴当0t时,

2

1

min

y

,无最大值.

∴y≥

2

1



.

∴函数12xxy的值域为







,

2

1

.

注意:用换元法求函数的值域时,必须要根据已知函数的定义域求新元的取值范围,

例17.求下列函数的值域:

（1）

12

34

2

2







xx

xx

y;（2）

32

742

2

2







xx

xx

y.

分析:对于形如

fexdx

cbxax

y







2

2

（da,中至少有一个不为0）的函数,若分子、分

母能进行因式分解并化简,在化简后再求其值域;若不能化简,常用判别式法求其

值域.

要求会用十字相乘法分解二次三项式.

解:方法一（分离常数法）:∵

12

34

2

2







xx

xx

y

函数的概念知识点总结第15页

∴







122

7

2

1

12

2

7

12

2

1

12

3

121

31























xx

x

x

x

xx

xx

y

（1x且

2

1

x

）.

∵



0

122

7



x

,∴

2

1

y

当1x时,

3

2

112

31







y

∴函数的值域为









































,

2

1

2

1

,

3

2

3

2

,.

方法二（反表示法）:由上面的方法得到:

12

3







x

x

y

（1x）

∴

y

y

x

21

3





（

2

1

y

）

∵

1x

,∴1

21

3







y

y

,解之得:

3

2

y

∴函数的值域为









































,

2

1

2

1

,

3

2

3

2

,.

（2）∵

32

742

2

2







xx

xx

y

∴整理得:0732222yxyxy.

当2y时,0723,不符合题意,舍去;

当

2y

时,∵函数

32

742

2

2







xx

xx

y的定义域为R

∴

2734222yyy≥0,解之得:

2

9



≤y≤2.

综上,函数的值域为







2,

2

9

.

例18.已知函数

4

1)(

xx

xf



,求函数)(xf的值域.

分析:先把函数解析式里面的绝对值去掉,化为分段函数的形式,然后画出函数的

图象,由图象得出函数的值域.

函数的概念知识点总结第16页

解:∵

4

1)(

xx

xf





∴





















0

2

1

1

01

)(

xx

x

xf,其图象如图所示.

x

y

O

fx=1+

xx

4

–1–2–3123

–1

1

2

由图象可知,函数的只有为1,.

例19.求函数

12

2







xx

xx

y的值域.

解:方法一（配方法）:∵

12

2







xx

xx

y

∴

4

3

2

1

1

1

1

1

1

1

11

2

22

2





























x

xxxx

xx

y

∵

4

3

2

12















x

≥

4

3

,∴

4

3

2

1

1

0

2



















x

≤

3

4

∴

3

1



≤1

4

3

2

1

1

1

2





















x

∴函数的值域为







1,

3

1

.

方法二（判别式法）:∵

12

2







xx

xx

y

∴xxyxyyx22,整理得:0112yxyxy

∵函数

12

2







xx

xx

y的定义域为R

∴关于x的方程0112yxyxy有实数根.

函数的概念知识点总结第17页

当

1y

时,01,不符合题意,舍去;

当

1y

时,有1412yyy≥0,解之得:

3

1



≤y≤1

综上,

3

1



≤

1y

∴函数的值域为







1,

3

1

.

★例20.已知

)(xf

的值域为













9

4

,

8

3

,试求)(21)(xfxfxF的值域.

解:∵

)(xf

的值域为













9

4

,

8

3

∴

8

3

≤

)(xf

≤

9

4

,∴

9

8



≤

)(2xf

≤

4

3



,∴

9

1

≤1

)(2xf

≤

4

1

∴

3

1

≤)(21xf≤

2

1

.

令)(21xft,则















2

1

,

3

1

t,∴

2

12t

xf





∴11

2

1

2

1

)(2

2





tt

t

tFxF.

∵















2

1

,

3

1

t,∴

)(tF

随着t的增大而增大.

∴当

3

1

t

时,

9

7

11

3

1

2

12

min















tF

当

2

1

t

时,

8

7

11

2

1

2

12

max















tF

∴)(tF的值域即xF的值域为













8

7

,

9

7

.