分数与除法

分数与除法的关系

追求“真正意义上的理解”

江苏省泰州市高港实验小学季晶

【教学内容】

苏教版《义务教育教科书》五年级下册第53—54页。

【教学构想】

数学概念教学到底是教“形式化的定义”，还是追求学生“真正意义上的理解”？

显然，我们应该追求后者。学生是否理解一个概念，不在于能否说出它的“定义”，而

在乎能否把握概念的本质特征，能否在具体情境中正确运用概念解决问题。

对于《分数和除法的关系》的认识，很多人定位在会用分数表示除法算式的商。

比如，学生看到3÷4，能够说出商是

4

3

，就被认为掌握了分数和除法的关系。我认为，

这样教学，学生对于分数和除法的关系并不深入，也不全面。分数与除法的关系是在

学生已经建立起除法意义的“平均分”和分数意义的基础上教学的，是今后继续学习

分数的基本性质、分数运算以及解决有关分数问题的基础。本节课以分数意义为教学

起点，结合自然数除法的推广，从分数的真正起源上认识分数，知道分数也可以表示

商，从而改变学生孤立地认识分数只是表示部分与整体的关系。至此，透析分数与除

法关系背后的本质，分数与除法的关系教学只是一个载体，而教学的核心应该是对分

数意义的进一步理解和完善。对数学概念的学习，只有将思维水平提升到这一层次，

才能实现从数学知识到数学能力的发展目标。

【教学目标】：

1．使学生结合具体情境，探索并理解分数与除法的关系，会用分数表示两个

整数相除的商，会用分数表示有关单位换算的结果，并能用分数与除法的关系解

决一些实际问题。

2．使学生在探索分数与除法关系的过程中，进一步发展数感，培养观察、比

较、分析、推理等思维能力。

3．在运用数学知识和方法解决问题的过程中，增强自组探究与合作交流的意

识，激发学生学习数学的兴趣和学好数学的信心。

【教学重点】

理解分数与除法的关系

【教学难点】

对分数意义的进一步认识

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

1.出示：12÷4=指名口答得数

提问：你能给这道除法算式编一个小故事吗？

生：把8块饼平均分给4个小朋友，每人分得几个？（板书：平均分）

2.出示：8÷4=指名口答得数

提问：这个除法算式背后有隐藏着什么故事呢？

生：把8块饼平均分给4个小朋友，每人分得几个？

小结：把一些物体平均分，求每份是多少，用除法计算。（板书：除法）

3.出示：1÷4=指名口答得数

生1:1÷4的商是0.25,是一个小数，有点麻烦。0.25也可以写成分数

100

25

。

生2：我觉得1÷4的商可能是

4

1

。他表示把1块饼平均分给4个小朋友，每人分

得多少块？

师：当两个数相除得不到整数商时，的确可以用分数来表示，到底怎样用分数表

示呢？这节课我们就来研究分数与除法之间的关系。（板书课题：分数与除法的关系）

（说明：趣味化的导课，不仅能复习旧知，还能迅速安定学生的学习情绪，使学

生产生学习兴趣，营造学生渴望学习的心理状态，为整节课的教学打下良好的基础。

利用口算题的形式帮助学生复习以前学过的知识，其中“1÷3”因除不尽只能用循环

小数表示。这时教师要求用另一种形式表示商，使学生产生认知冲突，也激起认识新

知的极大兴趣，为下面的学习做好了铺垫。）

二、操作实践，探究新知

1.设置冲突，激发学习需求

提问：12÷4表示把12块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？8÷4表示

把8块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？那1÷4表示什么意思呢？

生：把1块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？

启发：用1个圆形纸片表示1块饼来想想看，可以怎么表示？

同桌讨论，指名汇报。

课件演示：把1块饼看作单位“1”平均分成4份，这样的1份就是它的

4

1

。

小结：把1块饼平均分给4个小朋友，每人分得这块饼的

4

1

，也就是

4

1

块。

指名说一说怎么得到

4

1

块的。

小结：1÷4的商不能用整数表示，我们可以用分数

4

1

来表示。（板书：

4

1

块）

（说明：数学问题来源于生活，运用数学知识去解决生活中各种各样的实际问

题，既能体现学习数学的社会意义，又能最大限度地唤起学生学习数学的兴趣。教学

中，根据学生已有的知识经验和能力水平，巧妙地创设生活化的情境，使学生产生新

奇感和求知欲，从而激发学生的学习兴趣。）

2.操作体验，积累感性认识

（1）出示：3÷4表示什么意思呢？

生：把3块饼，平均分给4个小朋友，每人分得多少块？

小组合作研究，教师巡视指导，全班交流。

预设一：一块一块地分，每人分得3个

4

1

块，3个

4

1

块是

4

3

块。

预设二：三块合起来分，每人分得3块的

4

1

，3块的

4

1

是

4

3

块。

结合学生的交流,呈现相应的示意图，帮助学生理解分法。

追问：比较这两种分法，你发现他们有什么相同之处和不同之处？

先在小组里说一说，再全班交流。

小结：不管是3个

4

1

块还是3块的

4

1

，它们都可以拼成1块的

4

3

，也就是

4

3

块。

3.想象演绎，激发理性思考。

如果把3块饼平均分给5个小朋友，每人分得多少块呢？

学生口答算式，教师板书：3÷5

引导：结果是多少呢？可以继续用操作的方法，也可以在纸上画一画，当然也可

以直接在头脑中想象。最后同桌交流。

学生交流后再指名回答，并完成板书：3÷5=

5

3

（块）

（说明：数学思维是需要时间的，只有给予充分的时间，学生才有可能达到真正

的思维状态，才有可能想得充分，想得明白。为此，这一环节，教师应该舍得让学生

在思考中“浪费”时间，要让课堂有机会进入一种“胶着”的对话状态；让学生获得

正确结论的速度来得慢一些，让课堂能够提供学生更多“讨价还价”的机会，从而获

得“真正意义上的概念的理解”。）

4.关系表达，形成认知表征。

（1）观察黑板上的三个等式，你发现分数与除法有什么关系？在小组里交流。

（2）你能用自己的办法把这样的关系表示出来吗？在练习纸上独立试一试。

学生汇报交流，教师板书。被除数÷除数=

除数

被除数

a÷b=

b

a

（3）追问：b可以是0吗?为什么？（补充板书：b≠0）

5.反思过程，明晰关本质，感悟区别。

刚才，我们已经成功地找到了分数与除法的关系，但如果只知道他们表面形式上

的联系还不够，我们得知道他们之间内在的本质联系。

提问：

（1）除号相当于什么？除号和分数线都表示什么？这说明除法与分数有一个相通

的地方，都是以怎样分为基础？进一步突出“平均分”

（2）分母相当于除法算式中的除数，这是为什么呢？分母和除数都表示什么？

（3）分子又为什么相当于除法算式中的被除数呢？

（说明：转变学习方式，其核心是“以人为本”，即以学生为主体，以学会学习

为核心。教师的教和学生的学应该在数学的活动中实现统一，实现“有指导的再创造”。

教师的责任就是创设适合于学生进行数学化活动的、具体的、现实的情境，并有效地

指导他们参与到数学化的各个方面去。本部分是整个教学课堂中的核心部分，如果在

教学中直接让学生探索3÷4的结果，我们会发现绝大部分的学生都有一定困难，因此

从分数的意义开始，先让学生探索1÷4的结果，让学生在动手操作时有个初步的感性

认识，从一定程度上提高学生的认识，引导学生操作的方法，从而真正理解了分数和

除法之间的关系。）

三、巩固练习，内化新知

1.根据分数与除法的关系填一填。

（1）7÷12=

（）

（）

（2）

9

5

=（）÷（）

（3）（）÷n=

()

m

(n≠0)

小结：两个数相除，结果可以用分数表示；一个分数也可以看作是两个数相除。

2.完成练习八第6题。

（1）把1米长的绳子平均分成3份，每份长

（）

（）

米。

（2）把2根1米长的绳子平均分成3份，每份有2个

（）

（）

米，是

（）

（）

米。

学生独立完成，指名交流。

追问：每份长多少米？还可以怎样列式？

（3）把1根2米长的绳子平均分成3份，每份是这根绳子的

（）

（）

米，是

（）

（）

米。

比较：这两个问题有什么不同？

同桌互相说说，再全班汇报交流。

（说明：通过练习及时巩固对分数与除法关系的认识，训练学生准确快速地用分

数表示除法的商，并引导学生将课堂所学用于解决身边的数学问题。

3.试一试：自主进行单位换算

一块烧饼平均重45克，合多少千克？（用分数表示）

你是怎么想的？能用今天学习的知识解决吗？

7分米=

（）

（）

米

23分=

（）

（）

时

4.解决实际问题。

把一盒饼平均分给43个小朋友，

（1）用一个分数表示每人分得多少？你是怎么想的？能否列一道除法算式1÷43

中“1”指的是什么？

（2）提供数据“16块饼，净重750克”填空

平均每人分得这盒烧饼的（）

平均每人分得（）块。

平均每人分得（）克。

（3）更改数据，研究变与不变。

（说明：数学的魅力就在乎它能对人的心智产生挑战，学生正是在攻克一个个数

学难关中体验到学习数学的乐趣。因此，激发学习兴趣最好的做法就是让学生感受到

“数学好玩”。此题的设计，把“枯燥”的练习题转化成了“好玩”的规律探究之旅，

“平淡”的问题解决变得“一波三折”，充盈着思考，充满了趣味，使得学生获得“真

正意义上的理解”！）

四、回顾反思，全课总结

教师：今天这节课继续认识了分数，说说看现在你对分数又有了哪些新的认识？

还有什么问题？

根据学生的回答，教师完善认知结构。

小结：从不同的角度出发，随着学习的深入，同学们对分数的认识会越来越全面。

（说明：引导学生对所学的知识及时地进行反思，同时利用学生的问题引出下节

课要探究的主题，引发学生的好奇心和求知欲，为下节课的教学做好铺垫。）

【总体设计说明】

数学是研究事物的数量和空间形式的科学，数学概念是人脑对客观事物中有关数

量关系和空间形式方面本质属性的反映。因此，数学概念是数学学习和研究的基础，

也是重要内容之一。小学数学课程中的数学概念学习，是小学生学好数学知识的基础，

是培养小学生抽象概括能力，形成数学素养的重要载体，更是帮助学生形成合理的数

学观的有力保证。

分数与除法的关系是学生在已经建立起分数意义的基础上教学的，其实是对分数

意义概念理解的一个延续，是今后继续学习分数的基本性质、分数运算以及解决有关

分数问题的基础。

传统的概念教学流程通常是：感知材料——呈现概念——学生记忆概念——辨析

强化概念——巩固运用概念。这样的教学存在如下几个问题：意识教学中教师虽然提

供了感知材料，也对材料进行一些分类比较，但教师利用材料的目的多是为了引出概

念，对概念背后的本质内涵思考不多；二是教师对概念形成的过程关注不够，把数学

概念只当做一个对象来认识，使得学生置身于概念形成的过程之外，缺少参与，缺乏

体验；三是教师一半不太关注所教概念的上位概念是什么，也不注意从上位概念出发

给学生提供足够的背景材料，这就使学生对概念的内涵缺乏丰富的认识和深刻的理解；

四是重视对概念定义文本的精确表达，漠视概念的个性化理解，甚至排斥学生自主建

构的等价性定义。

本节课笔者根据数学概念的特点以及小学生学习数学概念的基本形式，按以下流

程进行教学：

1.创设情境，激发兴趣，引入概念名称。

由简单的除法算式，学生自编故事情境，激发学生的学习兴趣，由能整除的，到

不能整除的，进一步引起学生的注意，使学生产生学习的需求，同时能够和所学的内

容有着密切的关联，对学习概念有所帮助。

2.观察比较，动手操作，体会概念本质属性

把3块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？学生通过动手操作发现可以一

块一块地分，也可以三块一起分，再将两种分法进行观察比较，这样的动手操作有利

于学生将外部的事物转化为内部的表象，然后进行思考，这比只用眼睛观察更容易习

得概念。

3.抽象概括，用合理的语言表达概念内涵。

通过动手操作，观察比较几组除法算式和商，教师引导学生用合理的语言去抽象

和概括概念的本质属性；同时，教师适当给出数学语言的规范表达，给学生以示范。

这样做的目的是给学生的能力培养提供一个平台，同时也指出一个方向。毕竟抽象概

括能力是随着学生年龄的增长而发展的，是一项持续的工作。

4.变式练习，及时反馈，巩固概念。

在揭示分数与除法的关系这一概念内涵后，通过变化概念的非本质属性，设计变

式练习，可以帮助学生明确概念的外延，达到巩固概念的目的。在这个过程中，学生

判断、推理等能力也会得到训练。通过练习，及时、完整地了解学生掌握情况，既可

以让教师知道学生学习中的障碍和困难，也可以帮助学生意识到自己的学习进程。

5.拓展引申，沟通联系，应用概念。

数学概念有些来源于生活实际，有些来自于数学内部，因此判断学生是否真正理

解、掌握某一概念，要通过他的外部行为特征来诊断其头脑中的理解情况，课尾借助

解决生活中的问题这一形式，帮助学生将学习概念与其相关联的内容进行沟通、联系，

以便形成合理的认知结构。