十字相乘法怎么用

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9.15十字相乘法

教学目标：

1.理解十字相乘法的概念，掌握用十字相乘法分解二次项系数为1的

二次三项式的方法。

2.通过复习导入，启发学生从现有的知识探索新知。

3.通过课堂交流思考，形成从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质，

让学生在学习中体验成功的喜悦。

教学重点：能较熟练地用十字相乘法把形如qpxx2的二次三项式分

解因式。

教学难点：把qpxx2分解因式时，准确地找出a、b，使qba

pba。

教学过程：

一、复习导入：

师：前几节课我们学习了因式分解，首先请同学们先回忆一下什么叫

做因式分解。

1.复习因式分解

因式分解：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把

这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

实质是(和差化积)与（整式乘法）是“积化和差”的过程正好（相反）

2.师：之前我们都学习了哪些分解因式的方法？

答：提取公因式法，公式法，

在日常生活中，如取款，上网等都需要密码，有一种用因式分解法产

生的密码，方便记忆，原理是如对于多项式44nm，因式分解的结果

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是))()((22nmnmnm，取7,7nm时，则各个因式的值是

,98)(,14)(,0)(22nmnmnm于是便可把“01498”作为一个密码，

那么对于2256yxyx，取8,6yx时，用上述方法产生的密码可以

是_________.

师：要想知道密码是什么，关键要将上式分解因式，那2256yxyx能

用提取公因式法和公式法来因式分解吗？不能！那类似于这样的多项

式又该如何分解呢？这就是我们今天这节课要学习的一种新的分解

因式的方法——十字相乘法。（在讲新课之前我们先看几个小练习）

3.填空：

)4)(3(xx)4)(3(xx

)4)(3(xx)4)(3(xx

4.问题：你有什么快速计算类似多项式的方法吗?

答:仔细观察分析各题，我们可以得出，在整式的乘法中,有



填空

abxbaxbxax)())((2

二、探索新知：

1、观察与发现

等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积

的形式转化成和差形式,进行的是整式乘法运算。

反过来可得2xabxabxaxb

等式的左边是（二次三项式）,

右边是两个(一次二项式)相乘,这个过程将(和差)的形式转化成(积)的

形式,进行的是(因式分解).

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师：既然从左到右进行的是因式分解，那么我们可不可以利用上面等

式左右两边形式上的关系来将和等式左边具有相同特点的多项式进

行因式分解呢？（答：可以）

师：方法是什么呢？（教师启发）等式右边是因式分解的结果，结果

是两个二项式相乘，在这两个二项式中有一项是相同的，都是x，相

乘正好得到2x，还剩下a和b，那么要想确定因式分解的结果，我们

关键要确定什么呢？（确定a和b）那么a和b如何确定呢？满足什

么条件呢？(它们的乘积等于常数项，它们的和等于一次项系数)这样

我们就可以把这个二次三项式因式分解了。

提问：试一试，现在有一个多项式342xx让你分解因式，我们该如

何分解呢？

分析：根据总结的方法，要找到a+b=一次项系数4ab=常数项3

（板书）各种情况

师：能否找到两个整数使它们同时满足和为4，积为3呢？

答：能！所以)3)(1(342xxxx

师：那么通过上面的尝试，你能说一说在寻找这两个整数的时候我们

是从它们的和着手较方便还是从它们的积着手方便呢？

答：乘积。

师：在对342xx进行因式分解的时候，我们还可以借助画十字交叉

线来分解，2x分解为,xx常数项3可分解为31，把它们用交叉线来

表示：x+1

x+3

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按十字交叉相乘，它们积的和就是xxx43恰好等于一次项，所以得

到)3)(1(342xxxx

定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫

做十字相乘法。

2、小结步骤：

师：那么讲了这么多，我们能不能来总结一下用十字相乘法进行因式

分解的步骤呢？

关键：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；

（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；

3、例题分析

接下来我们通过几个例题来加深一下理解：

例1：分解因式

1.1272xx2.3.1282xx4.12112xx

（注：其中1.2.3教师板书讲解，4学生练习，1题如果我写验证一下

我分解的对不对，该如何检验呢？按照整式乘法从右向左乘回去。）

练一练：在下列各式的横线上填入“+”和“—”号。

)4____)(3___(1272xxxx

)2____)(6____(1242xxxx

)6_____)(2____(1282xxxx

)1_____)(12____(12112xxxx

师：由上述练习请你说一说你寻找的两数的符号是如何确定的？

在))((2bxaxqpxx中，

1242xx

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当q>0时，a、b（同号），且a、b的符号和p的符号（相

同）.

当q<0时，a、b（异号），且绝对值较大的因数与p的符号（相

同).

师：如果分的更加详细些，又该如何呢？

思考1：例如，若二次三项式qpxx2能找到两数a、b使它分解为

))((2bxaxqpxx，则：

）且（或且时，则）当（

）且（或且时，则）当（

时，则）当（

时，则）当（

babababapq

babababapq

bapq

pq









,0,0;_____,0______,0_____0,04

,0,0;_____,0______,0_____0,03

0______,0_____0,02

b______0a______0,0,01

（这留作我们今天课后的第一个思考题，希望同学们利用中午的时间

讨论一下。）

例2：分解因式

1.2.2245yxyx3.4524xx

3.4)2(5)2(2yxyx练：1.36524xx

2.3)2(2)2(222xxxx

（注：其中3和4小题，应用数学中的整体思想）

思考2：我们现在所研究的都是二次项系数是1的二次三项式用十字

相乘法进行因式分解，那么当二次项的系数不是1，而是其他数字时

呢？

例如：1232xx

这是我们今天这节课的第二个思考题。

4、拓展练习：

452xx

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问题：若0BA，下面两个结论对吗？

（1）A和B同时都为0，即A=0且B=0；

（2）A和B中至少有一个为0，即A=0或B=0。

请结合上面的结论，运用十字相乘法解下列一元二次方程：

1）0672xx；2）1272xx；

分析：此例是运用十字相乘法因式分解，先把等号左边因式分解，

然后再求解。

三．分层布置作业：

四．本课小结：

这节课主要学了什么？

用十字相乘法进行因式分解，步骤是：

（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；

（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；

师：还记不记得我们刚刚上课时提到的那个密码问题，那么密码究竟

是什么呢？我们一起来看一下！

思考3：老师在读书的时候学到十字相乘法时，曾经心里有这样一个

疑惑，是不是所有的二次三项式都可以用十字相乘法进行因式分解

呢？如果不是，那满足什么条件的二次三项式可以用十字相乘法进行

因式分解呢？这留作我们今天这节课的第三个思考题。