高中数学思想方法

高中常见数学思想方法

方法一函数与方程的思想方法

函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，

就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从

变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中

的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问

题获解.

函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)

不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，

把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易，化繁为简的目的.有时，还实现函数与方程的互相转

化、接轨，达到解决问题的目的.

【例1】设等差数列

n

a

的前

n

项的和为

n

S

，已知

31213

12,0,0aSS

.

（1）求公差d的取值范围；

（2）指出

1

S、

2

S、…、

12

S中哪一个值最大，并说明理由.

【分析】（1）利用公式

n

a与

n

S建立不等式，容易求解d的范围；（2）利用

n

S是

n

的二次函数，将

n

S中哪

一个值最大，变成求二次函数中

n

为何值时

n

S

取最大值的函数最值问题.

【解】（1）由

3

a＝

1

2ad＝12,得到

1

a＝12－2d，

所以

12

S＝12

1

a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d0，

13

S

＝131

a

＋78

d

＝13(12－2

d

)＋78

d

＝156＋52

d

0.

解得：

24

3

7

d.

（2）解法一：（函数的思想）

n

S＝

2

1

115

(1)(12)

222

nannddndn

＝

22124124

55

2222

dd

n

dd

因为0d，故

2124

5

2

n

d

最小时，

n

S最大.

由

24

3

7

d得

124

656.5

2

n

d

，故正整数n＝6时

2124

5

2

n

d

最小，所以

6

S最大.

解法二：（方程的思想）

由0d可知

12313

aaaa.

因此，若在112n中存在自然数n，使得0

n

a，

1

0

n

a，

则

n

S就是1S，

2

S，，

n

S中的最大值．

12

13

0

0

S

S

1

1

50

2

60

d

ad

ad

6

7

0

0

a

a

,

故在

1S、

2

S、…、

12

S中

6

S的值最大．

【点评】数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析,

即用函数方法来解决数列问题；也可以利用方程的思想，利用不等式关系，将问题进行算式化，从而简洁明快.

由此可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、

独创性.

【例1】在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆1

59

22yx

的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T

（mt,）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M

),(

11

yx

，

),(

22

yxN

，其中m>0,

0,0

21

yy

（1）设动点P满足422PBPF,求点P的轨迹；

（2）设

3

1

,2

21

xx，求点T的坐标；

（3）设9t,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.

【解】（1）由题意知)0,2(F，)0,3(A，设),(yxP，则

4)3()2(2222yxyx

化简整理得

2

9

x.

（2）把2

1

x，

3

1

2

x代人椭圆方程分别求出)

3

5

,2(M，)

9

20

,

3

1

(N

直线)3(

3

1

:xyAM①

A

B

O

F

直线)3(

6

5

:xyBN②

①、②联立得

10

7,

3

T

.

（3）),9(mT，

直线)3(

12

:x

m

yTA，与椭圆联立得)

80

40

,

80

)80(3

(

22

2

mm

m

M

直线)3(

6

:x

m

yTB，与椭圆联立得)

20

20

,

20

)20(3

(

22

2

mm

m

N

直线

2

22

2222

22

4020

203(20)

8020

:

3(80)3(20)2020

8020

m

mm

MNyx

mmmm

mm

,

化简得

2

222

20103(20)

204020

m

yx

mmm

令0y，解得1x，即直线MN过

x

轴上定点(1,0).

【点评】本题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问

题的能力.而且，本题在解决问题时，无论求点的坐标，还是求点P的轨迹方程，都灵活运用了方程的思想，特别

是在证明过程中更是很好地利用方程的有关知识，使问题画繁为简，华难为易.

方法二数形结合的思想方法

正确利用数形结合，应注意三个原则：

（1）等价性原则

数形信息的转换应该是等价的、充要的.要注意由于图形的直观性，往往可以成为严格推证的启导，但有时不

能完整表现数的一般性，考虑问题可能不完备.

（2）双向性原则

数形结合的含意是双向的，即考虑问题既注意代数问题几何化，也注意几何问题代数化，而不仅仅指前者.

（3）简单性原则

有了解题思路，思考用几何方法，还是代数方法，还是两者兼而用之，要取决于解题的简单性原则，而不能

形而上学地让几何问题代数化，代数问题几何化成为一种机械模式.

运用数形结合的思想方法解题的途径主要有三条:

第一，以形助数：把一些数式的几何意义明朗化，构造出解题的几何模型，突显问题的直观性，使解题思路

变得形像而通畅;

第二，以数助形：利用几何图形或图像图表中隐含的数式特征，构造出解题的代数模型(必要时建立坐标系)，

突显问题的本质，另辟解题的捷径;

第三，数形互助：根据问题的需要，将以形助数和以数助形二方面结合运用.

数形结合的应用是广泛的，数与形的结合点主要集中在以下几个方面：

1.研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域与最值等)，可从函数图像的直观性得到鲜明的

启示.

2.利用数轴与坐标系(包括直角坐标系、极坐标系)，使数与点对应，使函数与图像、方程与曲线结合，使代

数与几何联结.这样，可利用坐标或向量的运算，探索几何图形的相关性质；利用函数图像与方程曲线的直观性，

探索函数或方程的性质.

3.从统计图表、图像中，收集分析出“数”的信息，由破译的数量关系建立代数模型，探索相关的结论.这类

数形信息的转换能力是近年高考的新亮点.

4.三角函数与单位圆、三角函数曲线的联系.

5.复平面与复数、向量的沟通.

6.利用类比法、换元法(如三角换元)、构造法、坐标法等构造代数问题的几何模型、几何问题的代数模型，

开辟解题的新思路.

【例1】（12年上海模拟）若函数()()yfxxR满足(2)()fxfx，且[1,1]x时，2()1fxx

，

函数

lg(1),1

1

(),0

0,01

xx

gxx

x

x

，则函数()()()hxfxgx在区间[5,6]内的零点个数为_________.

【答案】9

【解】由题意，直接求解会很麻烦，且不易得到正确的答案，所以该题中求()()()hxfxgx的零点,可

以转化为求()fx与()gx两函数图像的交点.则画出()fx与()gx的图像,由于()fx在[1,1]x上为2()1fxx

,

且为周期函数,周期为2,而()gx是分段函数,注意其图像共分为三部分,如图,可等共有9个交点,其中有一个易错

点,即其中1个交点为(1,0)很容易被遗漏.

【点评】要求()()()hxfxhx在区间[5,6]内的零点的个数，可转化为求()fx与()hx交点的个数，

可以作出图形，观察图形易得交点的个数.本题体现了数形结合的思想,正是运用数形结合的思想方法解题的途径

中的以形助数.

【例2】函数y=f(x)的图像为圆心在原点的两段圆弧，试解不等式f(x)＞f(－x)十x．

【解】解法一：（以数助形）

由题意及图像，有

011

101

)(

2

2

xx

xx

xf，

（1）当0f(－x)+x得21x

>－2)(1x+x,解得0

5

52

;

（2）当－1≤x<0时,得－21x>2)(1x+x,解得－1≤x<－

5

52

,

∴原不等式的解集为[－1,－

5

52

)∪(0,

5

52

).

解法二：（数形互助）

由图象知f(x)为奇函数，∴原不等式为f(x)>

2

x

，而方程f(x)=

2

x

的解为x=±

5

52

，据图像可知原不等

式解集为[－1,－

5

52

)∪(0,

5

52

).

【点评】本题以形看数（解式，奇偶性），以数解形（曲线交点A、B），最后以形解数（不等式），这才是真

正意义上的数形结合，扬长避短．

方法三分类讨论的思想方法

1.通常引起分类讨论的原因，大致可归纳为如下几点：

(1)涉及的数学概念是分类定义的；

(2)涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的；

(3)涉及题中所给的限制条件或研究对像的性质而引起的；

(4)涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的；

(5)涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的；

(6)一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的.

2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步：

(1)确定讨论的对像及其范围；

(2)确定分类讨论的标准，正确进行分类；

(3)逐类讨论，分级进行；

(4)归纳整合，作出结论.

其中最重要的一条是“不漏不重”.学生必须对相关知识点或涉及的概念、定义、定理相当清楚，对于一些结

论成立的条件掌握牢固，这样才能在解题时思路清晰，才能知道何时必须进行分类讨论，而何时无须讨论，从而

可以知道怎样进行分类讨论.

【例1】（12年上海二模）点),(yxQ是函数1

2

2x

y图像上的任意一点，点(0,5)P，则P、Q两点之间

距离的最小值是______________.

【答案】11

【解】①当

2

10

2

x

时，

2

2

2221,(5)(6)9

2

x

yPQxyy.

63y时，即y＝9或y＝3，PQ取最小值0，但

222xy都为负数，∴不成立；

②当

2

10

2

x

时，

2

1

2

x

y

，

2

222(5)(4)11PQxyy.当y＝4时，

PQ

取最小值为

11

．综上

所述，P、Q两点之间距离的最小值为11．

【点评】由于题中给出的是绝对值函数，需要利用分类讨论的思想去掉绝对值，然后再求解.体现了数学概

念是分类定义的而引起的分类讨论.

【例2】设等比数列{}

na的公比为q，前

n

项和0(1,2,3,)

n

Sn，求q的取值范围.

【分析】在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况.

【解】{}

na是等比数列，且前

n

项和0(1,2,3,)

n

Sn，

11

0aS，且0q

当1q时，

1

0

n

Sna；

当1q时，1

(1)

0

1

n

n

aq

S

q

，即

1

0(1,2,3,)

1

nq

n

q

.

上式等价于

10

10

nq

q

①或

10

10

nq

q

②,

由①得

1q

,由②得

11q

,

q的取值范围为1,00,.

【点评】本题正是分类讨论中运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的体现.

【例4】已知实数0a,函数

2,1,

2,1.

xax

fx

xax

若11fafa,则a的值为________.

【答案】

3

4

【解】首先讨论1a，1a与1的关系.

当0a时，11a，11a，所以1121faaaa；

12(1)32faaaa.

因为11fafa，所以132aa，所以

3

4

a；

当0a时，11a，11a，所以1212faaaa；

1(1)231faaaa

.

因为11fafa，所以231aa，所以

3

2

a（舍去）.

综上，满足条件的

3

4

a

.

【点评】本题的解题关键在于讨论1a，1a与1的关系，正是体现了数学问题中参变量的不同取值导致

不同结果而引起的分类讨论.

方法四概括归纳的思想方法

概括是在思维中将同一种类型的对像共同的本质属性集中起来，结合为一般类型的属性.归纳是一种逻辑型的

思维形状，是从几个特殊情形做出一般结论的不完全的属性.一类是性质和法则的归纳，如数列的基本性质，对数

运算的法则的归纳过程；另一类是解题方法的归纳，如向量在物理中的应用等；第三类是归纳猜想，如由表格所

给数据归纳几个连续奇数的和等.

【例2】在数列{

n

a}中，

1a=13，且前n项的算术平均数等于第n项的2n-1倍（n∈N*）．

（1）写出此数列的前5项；

（2）归纳猜想{

n

a}的通项公式，并用数学归纳法证明．

【分析】（1）利用数列{

n

a}前

n

项的算术平均数等于第

n

项的2

n

-1倍，推出关系式，通过

n

=2，3，4，5

求出此数列的前5项；

（2）通过（1）归纳出数列{

n

a}的通项公式，然后用数学归纳法证明．第一步验证

n

=1成立；第二步，假设

n

=k猜想成立，然后证明

n

=1k时猜想也成立.

【解】（1）由已知

1

a=

1

3

，123n

aaaa

n

=（2n-1）

n

a，分别取n=2，3，4，5，得

21

111

53515

aa，

312

111

145735

aaa，

4123

111

277963

aaaa，

51234

111

4491199

aaaaa，

所以数列的前5项是：

1

1

3

a

，

2

1

15

a

，

3

1

35

a

，

4

1

63

a

，

5

1

99

a

.

（2）由（1）中的分析可以猜想

1

(21)(21)n

a

nn

（n∈N*）．

下面用数学归纳法证明：

①当

n

=1时，猜想显然成立.

②假设当n=k（k≥1且k∈N*）时猜想成立，即

1

(21)(21)k

a

kk

．

那么由已知，得1231

1

(21)

1

kk

k

aaaaa

ka

k

，

即

2

1231

(23)

kk

aaaakka

．所以

22

1

(2)(23)

kk

kkakka

，

即

1

(21)(23)

kk

kaka，又由归纳假设，得

1

1

(21)(23)

(21)(21)k

kka

kk

，

所以

1

1

(21)(23)k

a

kk

，即当1nk时，猜想也成立.

综上①和②知，对一切n∈N*，都有

1

(21)(21)n

a

nn

成立．

【点评】本题考查数列的项的求法，通项公式的猜想与数学归纳法证明方法的应用，注意证明中必须用上假

设，考查计算能力，分析问题解决问题的能力．正是体现了概括归纳的思想方法.

方法五化归与等价变换的思想方法

在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化成一个新问题（相对来说，对自己

较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.这一思想方法我们称之为“转换化归思想”.而转换化

归思想的基本原则就是：化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知.

1.利用转换化归思想解决数学问题时必须明确三个问题：

（1）把什么东西进行转换化归，即化归对像；

（2）化归转换到何处，即化归转换的目的；

（3）如何进行转换化归，即转换化归的方法.

2.化归与转化常遵循以下几个原则.

（1）目标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化；

（2）和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向

进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；

（3）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；

（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；

（5）正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题

获解．

3．转化与化归常用到的方法

（1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．

（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转

化为易于解决的基本问题．

（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径．

（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．

（5）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．

（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．

（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．

（8）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．

（9）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题

的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：原命题往往难以得证，这时常

把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证．

（10）补集法：如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含该问题的整体问题的结果

类比为全集U，通过解决全集U及补集使原问题得以解决.

化归与等价变换的思想方法所涉及到的具体问题很多很多，如果不断努力地用这种方法去解决一些数学问题

或数学范畴以外的问题时，往往会出现事半功倍的奇特效果.

【例1】设x、y∈R且22326xyx，求

22xy的范围.

【解】方法一：等价转化法(转化为函数问题)

由22623xyx≥0得0≤

x

≤2.

设22kxy，则

22ykx，代入已知等式得：

2620xxk，

即21

3

2

kxx

，其对称轴为

x

=3.

由0≤

x

≤2得k∈[0,4].

所以

22xy

的范围是：0≤

22xy

≤4.

方法二：数形结合法（转化为解几何问题）：

由22326xyx得

2

2

11

3

2

y

x，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点.

22xy的范围就是

椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点.

设圆方程为22xyk，代入椭圆中消y得

2620xxk.由判别式3680k得4k,所以

22xy的

范围是：2204xy.

方法三：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：

由22326xyx得

2

211

3

2

y

x，设

1cos

6

sin

2

x

y

，则

22222

331

12coscossin12coscos

222

xy

2

15

cos2cos0,4

22

所以22xy的范围是：

2204xy.

【点评】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能

力.而且各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型,正是体现了熟悉化原则，将不

熟悉的知识转化为自己熟悉的知识.

【例2】设等比数列｛a

n

｝的公比为q，前n项和为S

n

，若S

n+1

、S

n

、S

n+2

成等差数列，则q=___________.

【答案】-2

【解】qaaS

112

，

11

Sa，

2

3111

Saaqaq

∵

132

2SSS∴

1

2

111

222aqaqaa(a1

≠0)

∴2q或0q（舍去）.

【点评】由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q的值.如：

213

,,SSS成等差，求q的值.这样就避

免了一般性的复杂运算.既体现简单化原则，也是特殊化方法的使用，正是转化与化归的思想方法的典型体现。

【例4】对于满足2p的所有实数p，求使不等式pxpxx21恒成立的x取值范围.

【解】原不等式化为0)1()1(2xpx，令

2)1()1()(xpxpf，它是关于p的一次函数，定

义域为]2,2[。由依次函数的单调性知

0)1)(1()2(

0)3)(1()2(

xxf

xxf

解得：1x或3x

【点评】本题正是利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）,简化问题在求解，

正是转化与化归思想的典型体现.

人生中每一次对自己心灵的释惑，都是一种修行，都是一种成长。相信生命中的每一次磨砺，都会让自己的人生折射出异常的光芒，都会让自己的身心焕发出不一样的香味。

我们常常用人生中的一些痛，换得人生的一份成熟与成长，用一些不可避免的遗憾，换取生命的一份美丽。在大风大雨，大风大浪，大悲大喜之后，沉淀出一份人生的淡然与淡泊，静好与安宁，深邃与宽厚，慈悲与欣然……

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世界上的幸福，没有一处不是来自用心经营和珍惜。当你一味的去挑剔指责别人的时候，有没有反思过自己是否做得尽善尽美呢？

假如你的心太过自我，不懂得经营和善待，不懂得尊重他人的感受，那么你永远也不会获得真正的爱和幸福……

人生就像一场旅行，我们所行走的每一步都是在丰富生命的意义。我们一边穿越在陌生的吸引里，一边咀嚼回味着一抹远走光阴的旧味，一切都是不可预料，一切又似在预料之中。

人生看的多了，走的多了，经历的多了，也就懂得多了。每一份深刻的感悟大多来自一个人深刻的经历。

人生总有那么一两件重大的事情让你成熟和改变。这份错失，会让你反思自己，检讨自己，叩问自己，也让你意识到了自己真正的缺失，这或许就是一份痛苦的领悟吧！

人生可以平平淡淡，亦可以异彩纷呈。相信只要自己的德馨足够善美，上天就会把最好的一切赐予你。予人快乐，收获快乐；予人幸福，收获幸福；予人真情，收获厚意。人生的一切往来皆有因果，生活只善待有心人……

假如你有一颗计较的心，你就会很难获得一份幸福。当一个人放下了自己内心的那份累心的奢求，你的心空就会变得更加蔚蓝干净。

宽容，不仅是一种豁达的态度，更是一种心灵的品德，是一种处事的修行，宽容别人不是低矮了自己，而是释放了自己，升华了自己。你把世界宽待在心中，世界也同样装饰了你的一份美丽。

当你简约、释然了自己的时候，你会发现另一份生命中的快乐。那快乐是发自一颗简单的心，那快乐是从心灵的草地里欢快的迸发出来，通过你温柔的眼眸和开心的笑声来传递。

所以，心宽便心悦，你人生的天空是什么颜色，往往取决于你对人生的态度和对于自己情绪的驾驭……

世界上美好的东西那么多，有缘来到你的身旁，被你握到掌心的却又那么少。所以一切在的时候请学会珍惜，因为大多美丽的东西只会为你来过一次。你一不小心就会失落，无处找寻，增加了你人生的又一次遗憾……

过往，终是回不去的曾经。人总是在失去的时候才懂得珍惜，人总是在回味的时候才知道甜美。往事已矣，该放下的终归要放下，该忘记的一定要学会忘记。

其实这个世界上什么都不是我们的，在人间，我们只是一场心灵的路过而已……或许唯一属于过我们的，只是生命刹那的快乐与悲伤，以及自己一颗思索的灵魂……

站在时光的路口回望曾经，盘点每一份经历过的心情，人生有太多得不到的美好，有太多想不到的结局。终有一天，我们热望过的，贪念过的，彷徨过的，握紧过的，放手过的，都将化作尘埃随风飞去……

人生渺如尘埃，小如露珠，寻常如泥土，从不可知处而来，到不可知处而去。我们用灵魂结伴身体，走过这短暂的一朝一夕的寒暖，踏过流年的坎坷与花香，便是在世间真正的来过了。