一题多解

例题一、如图1，已知AB//CD，试找出B、BED和D的关系并证明。

我们找出他们的关系是：DBBED。证明如下：

方法一：如图2，过点E作EF//AB。因为EFAB//，所以BBEF；因为CDAB//，

EFAB//，所以CDEF//，所以DFED，所以

DBFEDBEFBED。

方法二：如图3，过点E作EF//AB。

因为EFAB//，所以180BBEF，即BBEF180；因为CDAB//，

EFAB//，所以CDEF//，所以180DFED，即DFED180；因为

360FEDBEDBEF，所以

)180180(360)(360DBFEDBEFBEDDB。

方法三：如图4，连接BD。因为CDAB//，所以180BDCABD，即

)(180EDBEBDEDCABE；在ΔBED中，

)(180EDBEBDBED，所以EDCABEBED。

方法四：如图5，过点E做ABFG，垂足为点F，交CD于点G。因为CDAB//，

所以90180EFBEGD；在直角ΔEGD中，DGED90，在直角ΔEFB

中，BFEB90，所以

)9090(180)(180BDFEBGEDBEDDB。

方法五：如图6，延长BE交CD于点F。因为CDAB//，所以BEFD；在ΔEFD

中，FEDDEFD180，又因为FEDBED180，所以

DBDEFDBED。

例题二、证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直

角三角形．

已知：如图1，在△ABC中，AD=BD=CD．

求证：△ABC是直角三角形．

证法1如图1，利用两锐角互余．

∵AD=CD，CD=BD，

∴∠1=∠A，∠2=∠B。

在△ABC中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，

∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°，

∴2（∠A+∠B）=180°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。

证法2如图2，利用等腰三角形的三线合一．

延长AC到E使CE=AC，连接BE．

∵AD=BD，

∴CD是△ABE的中位线．

∴

BE

2

1

CD

。

∵

AB

2

1

CD

，

∴AB=BE．

∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．

证法3如图3，利用此三角形与某个直角三角形相似（或全等）．

过点D作DE⊥BC交BC于点E．

∴CD=BD，

∴

BC

2

1

BE

，

∴

2

1

AB

BD

BC

BE



，

∵∠B是公共角，

∴△BDE∽△BAC。

∴∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC是直角三角形。

证法4如图4，利用如果一条直线垂直于两平行线中的一条，则也垂直于另一条．

取BC中点E，连接DE．

∵AD=BD，∴DE是△ABC的中位线．

∴DE∥AC．

∵CD=BD，CE=BE，

∴DE⊥BC．

∴AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．

证法5如图5，构造四边形，并证其为矩形．

延长CD到E使DE=CD，连接AE、BE．

∵AD=BD=CD．

∴AD=BD=CD=DE,且AB=CE．

∴四边形ABCD是矩形．

∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．

证法6如图6，利用勾股定理的逆定理．

设AC=b，BC=a，AB=c，取BC中点E，连接DE．

∴DE是△ABC的中位线．

∴

b

2

1

AC

2

1

DE

。

∵CD=BD，∴DE⊥BC。

在Rt△DEB中，∵222BDBEDE

，

∴

222

c

2

1

a

2

1

b

2

1









































。

∴222cba，∴△ABC是直角三角形。

证法7如图7，利用两直线平行，再证同旁内角相等。

延长CD到E使DE=CD，连接BE。

∵AD=BD，∠1=∠2，

∴△ADC≌△BDE（SAS），

∴∠ACD=∠E，AC=BE，

∴AC∥BE，

∴∠ACB+∠EBC=180°。

又∵AD=CD，∴AB=CE。

∵BC是公共边，

∴△ACB≌△EBC（SSS）。

∴∠ACB=∠EBC。

∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。

证法8如图8，利用直径所对的圆周角是直角。

以D为圆心，DA长为半径作圆。

∵AD=BD=CD，

∴点C、B在圆上，AB是直径。

∴∠ACB=90°。

∴△ABC是直角三角形。

例题三、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元，如果买2个鸡蛋、

4个鸭蛋、3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需多少

钱？

这类题目的特点是所能列出的方程的个数少于未知数的个数，看似不可解，但由于所求

的并不是每一个未知数的值，而是一个代数式的值。所以可解。这类题对学生来说是有一些

难度的，但如果掌握了以下方法，既可以化繁为简，又可以收到一题多解，提高学生能力的

效果。

下面让我们先来列出方程。

设鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，可得方程











20.3342

25.99513

zyx

zyx

，求zyx的值。

解法一：变元法：

把z看成常数，解关于x、y的方程，可得























20

1011

2

1

z

y

z

x

然后代入所求式zyx中，得：05.1

20

1011

2

1









z

zz

zyx

答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需1.05元。

解法二：直接构造法：

因为题目中要求zyx的值，所以将原方程互助组变形直接构造出zyx。























20.32)(4

25.948)(5

20.3342

25.99513

zxzyx

zxzyx

zyx

zyx

②



4+①得05.22)(21zyx

05.1zyx

答：略

解法三：间接构造法：

将原方程组中的①两边同乘以常数a，②的两边同乘以常数b，得











bbzbybx

aazayax

20.3342

25.99513

①+②得bazbaybaxba20.325.9)39()45()213(

∵我们想要求的代数式是x+y+z，

∴令bababa3945213

可得a=1，b=4，代入上式得21x+21y+21z=9.25+12.80=22.05

∴x+y+z=1.05

例题四、三角形一题多解

如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。

求证：FD=DE。

证法一

证明：过E点作EM∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=

∠B

∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF从而EM=BF，∠BFD=∠DEM

则△DBF≌△DME，故FD=DE；

证法二

证明：过E点作EM∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因

为∠ACB=∠B

∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF从而EM=BF，∠

BFD=∠DEM

则△DBF≌△DME，故FD=DE；

证法二

证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M，

则∠1=∠2=∠B所以BF=FM，

又∠4=∠3∠5=∠E

所以△DMF≌△DCE，故FD=DE。

例题五、平行四边形一题多解

如图4，平行四边形ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，且

AE=BF=AB,求证：DF⊥CE.

证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F,∠2=

∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F,∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而

∠1+∠2+∠3+∠4=1800，故∠3+∠4=900，表明∠COD=900，所以DF

⊥CE。

证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD为平行

四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥DM，得平行四

边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根据菱形的对角线互相垂

直，结论成立。

证法三、如图6，连接BM、AN,可证ΔAFN中，BN=BF=BA,则ΔAFN

为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，故DF⊥CE。

证法四、如图7，作DG∥CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故

AD=AG=AF,从而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE

例题六、如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个

阴影都是长为c的矩形与平行四边形，则阴影部分面

积是多少。

解法一

将大矩形进行平移将平行四边形

进行转换。

(a-c)(b-c)

解法二

重叠面积为c的平方，大矩形面积为ab，小矩形为ac，平行四边形为bc，阴影面积为

ab-ac-bc+cc=（a-c）（b-c）

图2