纵横比

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代几综合

1．（2020·东城二模）在平面直角坐标系xOy中，点P与点Q不重合.以点P为圆心作经过点Q的

圆，则称该圆为点P，Q的“相关圆”.

（1）已知点P的坐标为（2，0），

①若点Q的坐标为（0，1）,求点P，Q的“相关圆”的面积；

①若点Q的坐标为（3，n）,且点P，Q的“相关圆”的半径为

5

，求n的值.

（2）已知①ABC为等边三角形，点A和点B的坐标分别为（3，0），（3，0）,点C在y

轴正半轴上.若点P，Q的“相关圆”恰好是①ABC的内切圆且点Q在直线y=2x上，求点

Q的坐标.

（3）已知①ABC三个顶点的坐标为：A（3，0），B（

9

2

，0）,C（0，4），点P的坐标为（0，

3

2

），点Q的坐标为（m,

3

2

）.若点P，Q的“相关圆”与①ABC的三边中至少一边存在公共点，

直接写出m的取值范围.

x

y

()

–5–4–3–2–112345

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

o

x

y

()

–5–4–3–2–112345

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

o

x

y

()

–5–4–3–2–112345

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

o

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2．（2020•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，①ABC的顶点坐标分别是A（x

1

，y

1

），B（x

2

，

y

2

），C（x

3

，y

3

），对于①ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：

将|x

1

﹣x

2

|，|x

2

﹣x

3

|，|x

3

﹣x

1

|中的最大值，称为①ABC的横长，记作D

x

；将|y

1

﹣y

2

|，|y

2

﹣y

3

|，|y

3

﹣y

1

|中的最大值，称为①ABC的纵长，记作D

y

；将叫做①ABC的纵横比，记作λ=．

例如：如图1，①ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），则D

x

=|2

﹣（﹣1）|=3，D

y

=|3﹣（﹣2）|=5，

所以λ==．

（1）如图2，点A（1，0），

①点B（2，1），E（﹣1，2），

则①AOB的纵横比λ

1

=

①AOE的纵横比λ

2

=；

①点F在第四象限，若①AOF的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标；

①点M是双曲线y=上一个动点，若①AOM的纵横比为1，求点M的坐标；

（2）如图3，点A（1，0），①P以P（0，）为圆心，1为半径，点N是①P上一个动点，直

接写出①AON的纵横比λ的取值范围．

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3．(2020·海淀二模)在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标

轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点

即为同族点．

（1）已知点A的坐标为（3，1），

①在点R（0，4），S（2，2），T（2，3）中，为点A的同族点的是；

①若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为；

（2）直线l：3yx，与x轴交于点C，与y轴交于点D，

①M为线段CD上一点，若在直线

xn

上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n

的取值范围；

①M为直线l上的一个动点，若以（m，0）为圆心，2为半径的圆上存在点N，使得

M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．

x

y

Q

P

–1–2–3123

–1

1

2

3

O

y

xO–1–2–3–4–5–6123456

–1

–2

–3

–4

–5

–6

1

2

3

4

5

6

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4.(2020·朝阳二模)在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r(r＞0)的①O和点P，给出如下定义：

若r≤PO≤

3

2

r，则称P为①O的“近外点”．

（1）当①O的半径为2时，点A(4，0)，B(

5

2

，0)，C(0，3)，D(1，-1)中，

①O的“近外点”是；

（2）若点E（3，4）是①O的“近外点”，求①O的半径r的取值范围；

（3）当⊙O的半径为2时，直线

3

3

yxb（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于

点N，若线段MN上存在⊙O的“近外点”，直接写出b的取值范围.

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5.（2020·房山二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是

(1，0)，(7，0).

（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果①APB=45°，则称点P为线段AB的“等角

点”.

显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆.

①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和①C的半径；

①y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”?如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说

明理由；

（2）当点P在y轴正半轴上运动时，①APB是否有最大值？如果有，说明此时①APB最大的理

由，

并求出点P的坐标；如果没有，也请说明理由.

x

y

45°

P

B

A

1

2

3

4

5

6

7

123456789–1–2

–1

–2

–3

–4

–5

O

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6

．（

2020·

顺义二模）在平面直角坐标系

xOy

中，已知点

M

（

1

，

1

），

N

（

1

，

-1

），经过某点且平

行于

OM

、

ON

或

MN

的直线，叫该点关于

①OMN

的

“

关联线

”

．

例如，如图1，点P（3，0）关于①OMN的“关联线”是：y=x+3，y=-x+3，x=3．

（1）在以下3条线中，是点（4，3）关于①OMN的“关联线”（填出所有正确的序号；

①x=4；①y=-x-5；①y=x-1．

（2）如图2，抛物线nmxy2)(

4

1

经过点A（4，4），顶点B在第一象限，且B点有一条

关于①OMN的“关联线”是y=-x+5，求此抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，过点A作AC①x轴于点C，点E是线段AC上除点C外的任意一点，

连接OE，将①OCE沿着OE折叠，点C落在点C′的位置，当点C′在B点关于

①OMN的平行于MN的“关联线”上时，满足（2）中条件的抛物线沿对称轴向下平移多少距离，

其顶点落在OE上？

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7.（2020·丰台二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定

义：

若



















0

0

xy

xy

y，则称点Q为点P的“可控变点”．

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，

﹣3）．

（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为；

（2）若点P在函数

162xy的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q

的横坐标；

（3）若点P在函数

162xy（ax5）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的

取值范围是1616



y，求实数a的取值范围.

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8．（2020·石景山二模）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(,)ab，点P的变换点

P



的坐

标定义如下：

当ab时，点

P



的坐标为(,)ab；当ab≤时，点

P



的坐标为(,)ba.

（1）点(3,1)A的变换点

A



的坐标是；

点(4,2)B的变换点为

B



，连接OB，OB



，则BOB



=°；

（2）已知抛物线2(2)yxm

与

x

轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E.点

P在抛物线2(2)yxm

上，点P的变换点为

P



.若点

P



恰好在抛物线的对称轴上，

且四边形ECPD



是菱形，求

m

的值；

（3）若点F是函数26yx（42x≤≤）图象上的一点，点F的变换点为F



，连接

FF



，以FF



为直径

．．

作①M，①M的半径为

r

，请直接写出

r

的取值范围.

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9．（2020·通州二模）我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图

形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义

点A到图形G的距离跨度为R=D-d.

（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G

1

为以O为圆心，2为半径的圆，直接写

出以下各点到图形G

1

的距离跨度：

A(1,0)的距离跨度；

B(

2

1

,

2

3

)的距离跨度；

C(-3,-2)的距离跨度；

①根据①中的结果，猜想到图形G

1

的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状

是.

（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G

2

为以D(-1,0)为圆心，2为半径的圆，直线

)1(xky上存在到G

2

的距离跨度为2的点，求k的取值范围。

（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线xyOP

3

3

:（0x），①E是以3为半径

的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到①E的距离跨度为2，直接写出

圆心E的横坐标x

E

的取值范围

图1

图2

y

x

C

B

A

O

y

x

D

O

y

x

P

O

图3

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10．（2020·昌平二模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：

对于①C及①C外一点P，M，N是①C上两点，当①MPN最大时，称①MPN为点P关于①C

的“视角”．

（1）如图，①O的半径为1，

①已知点A（0，2），画出点A关于①O的“视角”；

若点P在直线x=2上，则点P关于①O的最大“视角”的度数；

②在第一象限内有一点B（m，m），点B关于①O的“视角”为60°，求点B的坐标；

③若点P在直线

3

2

3

yx上，且点P关于①O的“视角”大于60°，求点P的横坐标

P

x

的取值范围．

（2）①C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，-1），若线段

EF上所有的点关于①C的“视角”都小于120°，直接写出点C的横坐标

C

x的取值范围．

x

y

–1–2123

–1

–2

1

2

3

O

x

y

–1–2123

–1

–2

1

2

3

O

x

y

–1–2123

–1

–2

1

2

3

O

x

y

A

–1–2123

–1

–2

1

2

3

O

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11．（2020·平谷二模）如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点A（2,3），点B（6,3），

连接AB.如果线段AB上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段AB的“环绕点”．

（1）已知点C（3，1.5），D（4，3.5），E（13，），则是线段AB的“环绕点”的点是_______；

（2）已知点P（m，n）在反比例函数

8

y

x

的图象上，且点P是线段AB的“环绕点”，求出点P

的横坐标m的取值范围；

（3）已知①M上有一点P是线段AB的“环绕点”，且点M（4,1），求①M的半径r的取值范围．

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12.（2020·怀柔二模）在平面直角坐标系xOy中，点P和点P

关于xy轴对称，点Q和点P



关于R（

a

，0）中心对称，则称点Q是点P关于xy轴，点R（

a

，0）的“轴中对称点”.

（1）如图1，已知点A（0,1）.

①若点B是点A关于xy轴，点G（3,0）的“轴中对称点”，则点B的坐标为；

①若点C（-3,0）是点A关于xy轴，点R（

a

，0）的“轴中对称点”，则

a

=；

（2）如图2，①O的半径为1，若①O上存在点M，使得点M



是点M关于xy轴，点T（b，

0）的“轴中对称点”，且点M



在射线4xy(x4)上.

①①O上的点M关于xy轴对称时，对称点组成的图形是；

①求b的取值范围;

（3）①E的半径为2，点E（0，t）是y轴上的动点，若①E上存在点N，使得点N



是点N关

于xy轴，点（2，0）的“轴中对称点”，并且N



在直线33

3

3

xy上，请直接写出t的

取值范围.

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13.（2020·门头沟二模）我们给出如下定义：两个图形G

1

和G

2

，对于G

1

上的任意一点

11

()Pxy，

与G

2

上的任意一点

22

()Qxy，

，如果线段PQ的长度最短，我们就称线段PQ为“最佳线段”.

（1）如图29-1，点P在线段AB（

(10)A，

，(30)B，）上，点Q在线段CD上，如果PQ为最

佳线段,那么PQ的长为____________；

（2）有射线EF（

(40)E，

，

(04)F，

）和线段AB，点P在线段AB上，点Q在

射线EF上；

①如图29-2，当A（1，0），B（3，0）时，最佳线段PQ的长为____________；

①保持线段AB在x轴上（点A在点B的左侧），且AB为2个单位长度，

(0)Am，

，

最佳线段PQ的长满足

02PQ≤≤

，在图29-3中画出示意图,写出m的取值范围；

（3）有①M，圆心为（a，0），半径为2，点P在①M上，点Q在（2）中的射线EF上，最

佳线段PQ的长满足

01PQ≤≤

时，画出示意图，写出a的取值范围.

29-1

29-2

29-3

x

y

123–1–2

1

2

3

–1

O

A

B

C(-2,2)

D(0,2)

备用图

x

y

65

4

3

2

1

2431

O

F

E

AB

x

y

65

4

3

2

1

2431

O

F

E

x

y

65

4

3

2

1

2431

O

F

E

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代几综合

1．（2020·东城二模）

解：(1)①PQ=

5

,点P，Q的“相关圆”的面积5π；

①依题可得2221(5)n，解得2n.

（2）①ABC内切圆的圆心的坐标为（0，1），半径为1.

即点P的坐标为（0，1），且PQ=1.

因为点Q在直线y=2x上，所以令Q（n,2n）.

可得222(21)1nn

.

解得0n或

4

5

n

.

所以Q的坐标为（0，0）或（

4

5

，

8

5

）

（3）点P，Q的“相关圆”与AC相切时，半径最小为

3

2

；

点P，Q的“相关圆”过点B时，半径最大为

3

10

2

.

所以m的取值范围：

33

10

22

m

和

33

10

22

m

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2．解：（1）

由题意①AOB的纵横比λ

1

=，①AOE的纵横比λ

2

==1，

故答案为，1．

①由点F在第四象限，若①AOF的纵横比为1，则F（1，﹣1）（在第四象限的角平分线上即可）．

①如图设M（x

M

，y

M

）．

a、当0＜x

M

≤1时，点M在y=上，则y

M

＞0，

此时①AOM的横长D

x

=1，①AOM的纵长为D

y

=y

M

，

①①AOM的纵横比为1，

①D

y

=1，

①y

M

=1或﹣1（舍弃），

①x

M

=，

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①M（，1）．

b、当x

M

＞1时，点M在y=上，则y

M

＞0，

此时①AOM的横长D

x

=x

M

，①AOM的纵长为D

y

=y

M

，

①①AOM的纵横比为1，

①D

y

=D

x

，

①x

M

=y

M

①y

M

=±（舍弃），

c、当x

M

＜0时，点M在y=上，则y

M

＜0，

此时①AOM的横长D

x

=1﹣x

M

，①AOM的纵长为D

y

=﹣y

M

，

①①AOM的纵横比为1，

①1﹣x

M

=﹣y

M

，①x

M

=或（舍弃），①y

M

=﹣，

①M′（，﹣），综上所述，点M坐标为（，1）或（，﹣）．

（2）如图3中，当N（0，1+）时，可得①AON的纵横比λ的最大值==1+，

当AN′与①P相切时，切点在第二象限时，可得①AON的纵横比λ的最小值，

①OP=，OA=1，

①PA=2．AN′==，

①tan①APN′=，

①①APN′=60°，易知①APO=30°，作N′H①OP于H．

①①HPN′=30°，

①N′H=，PH=，

此时①AON的纵横比λ==，①≤λ≤1+．

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3．(2020·海淀二模)（1）①R，S；-------------------------------------2分

①（4，0）或（4，0）；-------------------------------4分

（2）①由题意，直线

3yx

与x轴交于C（3，0），与y轴交于D（0，3）．

点M在线段CD上，设其坐标为（x，y），则有：

0x，0y，且3yx．

点M到x轴的距离为

y

，点M到y轴的距离为

x

，

则

3xyxy

．

①点M的同族点N满足横纵坐标的绝对值之和为3．

即点N在右图中所示的正方形CDEF上．

①点E的坐标为（3，0），点N在直线

xn

上，

①33n．-----------------------------------6分

①m≤1或m≥1．------------------------------------------8分

y

x

–1

–2

–3

–4

1

2

3

4

–1–2–3–41234

E

F

D

C

O

M

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4.(2020·朝阳二模)

解：（1）B，C.

（2）①E（3，4）

①EO=5.

①

5,

3

5.

2

r

r















①

10

5

3

r.

（3）

2323

23-23

33

bb或.

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y

x

P

2

P

1

1

2

3

4

5

6

7

123456789–1–2

–1

–2

–3

–4

–5

A

B

P

45°

C

O

D

y

x

1

2

3

4

5

6

7

123456789–1–2

–1

–2

–3

–4

–5

BA

N

P

O

F

E

M

y

x

1

2

3

4

5

6

7

123456789–1–2

–1

–2

BA

P

O

F

E

5.（2020·房山二模）

（1）①圆心C的坐标为(4,3)和(4,-3)；半径为

32

；

②y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点”

如图所示：当圆心为C(4,3)时，过点C作CD⊥y轴于D，

则D(0,3)，CD=4

∵⊙C的半径r=

32

＞4，∴⊙C与y轴相交，

设交点为P

1

、P

2

，此时P

1

、P

2

在y轴的正半轴上

连接CP

1

、CP

2

、CA，则CP

1

=CP

2

=CA=r=

32

∵CD⊥y轴，CD=4，CP

1

=

32

∴DP

1

=22

1

2CPCD

=DP

2

∴P

1

(0,3+2)P

2

(0,3-2)

（2）当过点A，B的圆与y轴正半轴相切于点P时，∠APB最大．

理由如下：如果点P在y轴的正半轴上，设此时圆心为E，则E在第一象限

在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），

连接MA，MB，PA，PB，设MB交于⊙E于点N，连接NA，

∵点P，点N在⊙E上，∴∠APB=∠ANB，

∵∠ANB是△MAN的外角，

∴∠ANB＞∠AMB，即∠APB＞∠AMB

此时，过点E作EF⊥x轴于F，则AF=1

2

AB=3，OF=4

连接EA，EP，

【2020年中考数学——精品提分卷】

第2页/共26页

∵⊙E与y轴相切于点P，则EP⊥y轴，

∴四边形OPEF是矩形，OP=EF，PE=OF=4．

∴⊙E的半径为4，即EA=4，

∴在Rt△AEF中，EF=2223437EAAF

，

∴OP=

7

即P(0,

7

)

6．（2020·顺义二模）

解：

（1）①①．…………………………………………………………2分

（2）∵抛物线的顶点B（m，n）有一条关于①OMN的关联线是y=-x+5，

①-m+5=n．…………………………………………………………3分

又∵抛物线过点A（4，4），或

①2

1

4(4)

4

mn．…………………………………………4分

①

2,

3.

m

n











或

10,

5.

m

n











∵顶点B在第一象限，

①

2,

3.

m

n











①抛物线的表达式为2

1

(2)3

4

yx．……………………5分

（3）由（2）可得，B（2，3）．

依题意有OC′=OC=4，OH=2，

①①C′OH=60°．

①①C′OP=①COP=30°．

①PH=

323

tan302

33

OH．

①抛物线需要向下平移的距离

【2020年中考数学——精品提分卷】

第2页/共26页

BP=BH-PH=

3

32

3=

3

329

．

7.（2020·丰台二模）

解：（1）点M坐标为（﹣5，2）．

（2）依题意，

162xy图象上的点P的“可控变点”必在函数



















016

016

2

2

xx

xx

y的图象上．

①“可控变点”Q的纵坐标y′是7，

①当7162x，解得3x

当7162x，解得

23x

故答案为

23

或3．

（3）依题意，

162xy图象上的点P的“可控变点”必在函数



















016

016

2

2

xx

xx

y的图象上（如图）．

①1616



y，

①16162x．

①24x．

①由题意可知，

a的取值范围是42a

8．（2020·石景山二模）

7

16

xO

y

3

16

x

-5

O

-16

9

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（1）(3,1)A



；=90BOB



°．

（2）解法一：

由题意得，2(2)yxm

的顶点E的坐标为(2,)Em，0m．

①点

P



恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECPD



是菱形，

①点

P



的坐标为(2,)Pm



．

①如图1，若点P的坐标为(2,)Pm，

①点P在抛物线2(2)yxm

上，

①2(22)mm

．

①8m，符合题意．

①如图2，若点P的坐标为(,2)Pm，

①点P是抛物线2(2)yxm

上的一点，

①22(2)mm

．

①2m或3m，符合题意．

综上所述，8m或2m或3m．

解法二：

由题意得，2(2)yxm

的顶点E的坐标为(2,)Em，0m．

①点P在抛物线2(2)yxm

上，

y

x

P(2,-m)

P'(-2,-m)

E(-2,m)

D

C

O

y

x–1–2–3–4–5123

–1

–2

–3

–4

–5

1

2

3

4

P(-m,2)

P'(-2,-m)

E(-2,m)

D

C

O

图1图2

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①设点P的坐标为2(,(2))xxm

．

①若2(2)xxm

，则点P



的坐标为2(,(2))Pxxm





，

①点P



恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECPD



是菱形，

①

2

2,

(2).

x

xmm













①8m，符合题意．

①若2(2)xxm≤

，则点

P



的坐标为2((2),)Pxmx





，

①点

P



恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECPD



是菱形，

①

2(2)2,

.

xm

xm











①2m或3m，符合题意．

综上所述，8m或2m或3m．

（3）

310

10

5

r≤≤

．

9．（2020·通州二模）

（1）①2；2,4………………………………..(2分)

①以O为圆心，半径为1的圆………………………………..(4分)

（2）

3

3

3

3

k………………………………..(6分)

（3）

21

e

x………………………………..(8分)

10．（2020·昌平二模）解：（1）①画图………………………1分

60°………………………2分

①①点B关于①O的视角为60°，

①点B在以O为圆心，2为半径的圆上，即OB=2……3分

①B（m，m）(m>0)，①OB=2222mmm，

①2m.①B（2，2）……………4分

①①点P关于①O的“视角”大于60°，

x

y

A

N

M

–1–2123

–1

–2

1

2

3

O

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x

y

(x≥4)y=x4

y=x

–1–2–3–412345678

–1

–2

–3

–4

1

2

3

4

O

①点P在以O为圆心1为半径与2为半径的圆环内.

①点P在直线

3

2

3

yx上，由上可得

P

x=0或3

①0<

P

x<3………………………6分

（2）

C

x<

23

3

或

C

x>

23

3

．……………………8分

11．（2020·平谷二模）

解：（1）D（4，3.5），E（3，1）；

（2）当点P在线段AB的上方，点P到线段AB的距离为1时，m=2；

当点P在线段AB的下方，点P到线段AB的距离为1时，m=4；

所以24m．

（3）当点P在线段AB的下方时，且到线段AB的最小距离是1时，r=1；

当点P在线段AB的上方时，且到点A的距离是1时，221r．

所以1221r

12.（2020·怀柔二模）

解：（1）①B（5,0）.………………………1分

①a=-1.………………………2分

（2）①圆.………………………3分

①当以1为半径的圆过（4,0）时，圆心坐标（3,0）.

①.………………………4分

当以1为半径的圆与射线y=x-4相切时，

圆心坐标（,0）.

①.………………5分

①.………………6分

2

3

b

24

2

24

b

2

24

2

3

b

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（3）.………………8分

13.（2020·门头沟二模）

（1）最佳线段

5PQ

（2）①辅助线正确

2

2

①图形正确

04+2m≤≤

（3）补图正确

274-3≤a≤

19t

x

y

65

4

3

2

1

2431

O

A

B

F

Ex

y

65

4

3

2

1

2431

O

F

E

AB

A'B'

x

y

65

4

3

2

1

2431

O

F

E

A

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