圆周角定义

一、教材分析

（一）教材的地位与作用

本节课是在圆的基本概念和性质以及圆心角概念和性质的基础上，对圆周角

性质的探索，圆周角性质在圆的有关说理、作图、计算中有着广泛的应用，在对圆与

其他平面图形的研究中起着桥梁和纽带的作用。

（二）目标分析

1、知识目标：

（1）理解圆周角的概念。

（2）经历探索圆周角与它所对的弧的关系的过程，了解并证明圆周角定理及其推

论。

⑶有机渗透“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想方法。

2、能力目标：

引导学生从形象思维向理性思维过渡，有意识地强化学生的推理能力，培养学生

的实践能力与创新能力，提高数学素养。

2、情感、态度与价值观的目标：

⑴创设生活情境激发学生对数学的好奇心、求知欲，营造“民主”“和谐”的课堂氛

围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验。

（2）培养学生以严谨求实的态度思考数学。

（三）教学重点、难点

教学重在过程，重在研究，而不是重在结论。因此，探索并证明圆周角与它所对

的弧的关系是本课时的重点。

九年级的学生虽然已具备一定的说理能力，但逻辑推理能力仍不强，根据数学的认知

规律，数学思想的学习不可能“一步到位”，应当逐步递进、螺旋上升。因此，用分

类、化归思想合情推理验证“圆周角与它所对的弧的关系”是本课时的难点。（“分

类”、“化归”也是九年级学生的思维难点）。

二、教法、学法分析

（一）教法分析：

《课标》指出“学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者和合作者。”

本课以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，以“探

究式教学法”为主，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法等

多种方法相结合。注重数学与生活的联系，创设一系列有启发性、挑战性的问题情境

激发学生学习的兴趣，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想。注重

学生的个体差异，因材施教、分层教学。注重师生互动、生生互动，让不同层次的学

生动眼、动脑、动口、动手，参与数学思维活动，充分发挥学生的主体作用。善于运

用多元的评价对学生适时、有度的“激励”，帮助学生认识自我、建立自信，以“我

要学”的主人翁姿态投入学习，不仅“学会”，而且“会学”、“乐学”。

（二）学法分析：

在具体的问题情境下，引导学生采用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法

进行学习，充分发挥其主体的积极作用，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动

中充分体验探索的快乐，发挥潜能，使知识和能力得到内化，体现“主动获取，落实

双基，发展能力”的原则。

（三）课前准备：

教师：直尺、圆规、三角板、若干块小磁铁等教学用具和课件。

学生：画有圆的A4纸若干张、直尺、圆规、量角器等学习用具。

三、教学过程分析

（一）情境导入

设计意图：让学生感受到生活之中的数学问题，激发学习兴趣。

（二）自我探究

1、圆周角的概念

设计意图：让学生能形象地感知圆周角，理解圆周角概念。

2、合作交流，动手操作

设计意图：学生动手画圆周角，进一步熟悉圆周角，另一方面，预先探究出圆心与圆

周角的三种位置关系，将难点分散，为后面证明圆周角定理作铺垫，降低证明难度。

3、实验探究

设计意图：学生合作交流，探究并猜想同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系，教师

再通过电脑测量来验证，让学生进一步明确它们之间的关系。

4、证明定理

设计意图：教师引导，学生证明出圆周角定理及其推论，验证其猜想的正确性，激发

学生学习数学的兴趣与成就感。

（三）应用巩固

（四）解决问题：

设计意图：学以致用，数学来源于生活，服务于生活，运用数学解决问题。

（五）总结拓展

1、本节学习的数学知识是圆周角的定义和圆周角定理及其推论。

2、本节学习的数学思想是分类讨论和转化思想。

设计意图：自我总结反思自己本节课的收获，养成良好的学习习惯。

（六）作业巩固

设计意图：数学是做”出来的，即要学又要练。运用本节课所学知识进行检测与反馈，

进一步巩固、掌握所学新识四、评价分析

本节课根据新《课标》的要求和新课程的理念“数学的学习是学生的主动性、能

动性、独立性不断生成、张扬、发展、提升的过程”。通过创设富有挑战性

的问题情景，营造民主和谐的课堂氛围，让学生有充分的从事数学活动的时间和空间，

意在使学生经历探索，体验成功，感受数学创造的乐趣；增强学好数学的信心，形成

应用意识、创新意识。

圆周角

范湖乡初级中学崔浅霞教

学目标

1、理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并会运用它进行论证和计算。2、

经历圆周角定理的证明，使学生了解分类证明命题的思想和方法，体会类比、分类的

教学方法。

3、通过学生主动探索圆周角定理及其推论，合作交流的学习过程，学习成长的快乐及

数学的应用价值。

教学重点难点

教学重点：圆周角的概念、圆周角定理及其应用。

教学难点：圆周角定理的分类证明。

教学过程

一、情境导入

足球场上的数学：在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他冲到A点时,同伴

乙已经冲到B点。有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，

由乙射门。问哪一种射门方式进球的可能性大？（提示：仅从射门角

度考虑，射门角度越大越好。）

设计意图：让学生感受到生活之中的数学问题，激发学习兴趣。

二、自我探究

1、圆周角的概念

观察图形：/APB的顶点P从圆心O移动到圆周上（电脑动画）。

教师指出/APB是圆周角。由圆心角顺利迁移到圆周角。

学生对比圆心角的定义，尝试给出圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相

交的角，叫圆周角。

辨析概念：判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。

思考特征：圆周角具有什么特征？

明确结论：①顶点在圆上；②两边都和圆相交。

设计意图：让学生能形象地感知圆周角，理解圆周角概念。

2、合作交流，动手操作

学生先动手画圆周角，再相互交流、比较，探究圆心与圆周角的位置关系，并请学

生代表上讲台用投影展示交流成果。教师再利用电脑，动画展示圆心与圆周角可能具

有的不同的位置关系，并由学生归纳出圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：

①圆心在圆周角的一边上；

②圆心在圆周角的内部；

③圆心在圆周角的外部。

设计意图：学生动手画圆周角，进一步熟悉圆周角，另一方面，预先探究出圆心

与圆周角的三种位置关系，将难点分散，为后面证明圆周角定理作铺垫，降低证明难

度。

3、实验探究

探究问题同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系?

试验操作

学生利用手中学案，当圆心角分别是锐角（45°）、钝角（1100）和平角（180°）时，

动手测量出弧BC所对的圆周角/BAC和/BDC的度数，比较它们的大小，然后在优弧

BAC上任意取一点E,测量/BEC的度数，探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系。

猜想结论同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

电脑验证教师改变圆心角/BOC的度数，再通过电脑测量弧AB所对的圆周角/BAC

和/BDC的度数，进一步验证学生的猜想。

设计意图：学生合作交流，探究并猜想同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系，

教师再通过电脑测量来验证，让学生进一步明确它们之间的关系。

4、证明定理

命题分析命题：（电脑显示）同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

学生说出已知、求证。

问题：圆心与圆周角的三种位置关系中，哪一种位置关系最特殊？此时你能不能证

明/A=/BOC?

三种情况：

第一种情况：圆心在圆周角一边上；

第二种情况：圆心在圆周角的内部；

第三种情况：圆心在圆周角的外部。

定理证明学生证明第一种情形（圆心在圆周角的一边上的情形）：作直径ADo

vOA=OC

•二/A=/C

又./BOC=/A+/C

/BOC=2/A

即/A=/BOC

利用基本图形（小红旗）及其对应的基本结论，引导学生证明当圆心在圆周

角内部时的情形：

・•/BAD=/BOD,/CAD=/COD

・./BAD+/CAD=ZBOD+/COD

即/BAC=/BOC

情形（3）的证明推导，学生自己完成，教师用电脑展示。

电脑动画展示：等圆中等弧的问题通过移动、旋转转化为同圆中中同弧的问题，

从而得到圆周角定理：

圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

心角的一半。

进一步，由学生分析出，当圆心角是180。时，圆周角为90。，再通过电脑动画展示，

当圆心角逐渐变为180°时，对应的圆周角变为90°,从而得到圆周角定理的推论：

圆周角定理推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径。

设计意图：教师引导，学生证明出圆周角定理及其推论，验证其猜想的正确性，激发

学生学习数学的兴趣与成就感。

三、应用巩固

例1如图，如果/A=60°,则/BOD=°,/BDC=°

例2如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8

个角，这些角中哪些是一定相等的角?

拓展若/1=/2=60°,判断△BCD的形状并证明你的结论。

设计意图：及时巩固本节课所学的核心知识，并注重知识的延伸，拓宽学生思维的深

度和广度。

四、解决问题：

解决问题情境中的足球问题：过点P、B、Q三点作圆，建立相应数学模型，学生分析

题意，给出问题的答案：

解法1:连结PD。

.•/B=/PDQ,/PDQ>/A

・・./B>/A

」•将球传给乙，让乙射门好。

解法2:连结CQ。

.•/B=/PCQ,/PCQ>/A

・・./B>/A

」•将球传给乙，让乙射门好。

设计意图：学以致用，数学来源于生活，服务于生活，运用数学解决问题。

五、总结拓展

1、本节学习的数学知识是圆周角的定义和圆周角定理及其推论。

2、本节学习的数学思想是分类讨论和转化思想。

设计意图：自我总结反思自己本节课的收获，养成良好的学习习惯。

六、作业巩固

设计意图：数学是做”出来的，即要学又要练。运用本节课所学知识进行检测与反馈，

进一步巩固、掌握所学新识