碰碰车原理

本讲主要学习数最短路线的总条数，通过本节课的学习：1．掌握“解决最短路线条数问题”的两注意：不重、不

漏。2．准确运用“标数法”解决问题。

3．培养学生的实际操作能力。

例1】如下图所示，小虎家在A地,姥姥家在B地。一天，他要去看望姥姥，但不知有几条路可走，走哪条路最

短，热心的小朋友们快帮帮他吧？

分析】可走的路有5条，即：AFB、AB、AEB、ADB、ACB，其中最短的路是AB。

例2】如下图所示，从甲地到乙地一共有两条路可走，请问哪条路长？哪条路短？

知识要点

1.两点之间，线段最短。

2.标数法计算最短路线的总条数。

C

2

分析】一样长。

例3】观察下图，若黑猫与白猫奔跑速度相同，那么哪只猫先捉到老鼠？

分析】白猫比黑猫走的多，黑猫先抓到老鼠。

横竖斜

黑152

白

243

例4】直线AB是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村庄。现在要在公路上建一个汽车站，让两个村子的人到

汽车站的路线之和最短，问汽车站建在哪儿最好？

乙

AB

甲

根据“两点之间，线段最短”这个道理，

就是所选定的汽车站（如图）

找到几条这样的最短路线呢？

分析】

例5】一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路最近。小朋友们

你能给它

鼠

C，这个交点

3

分析】如右上图所示，根据标数法可得最短路线有6条。

4

例6】如果A、B两点变成下面两图这样的位置关系，那么从

例7】方格纸上取一点A作为起点，再在A的右上方任取一点B作为终点，画一条由A到B的最短路线，聪明的小朋

友，你能画出来吗？总共能画出几条呢？

分析】如右上图所示，根据“标数法”可知共有10条最短路线，其中一条如右上图中粗线所示。

例8】小明和小强到少年宫参加2010上海世博会志愿者培训，少年宫和学校之间的地图如下。如果他们从学校出发，共

有多少种不同的最短路线？

学校

分析】如右上图所示，根据标数法可知最短路线一共有

例9】小虎和小羊是好朋友，它们居住的小区的平面图如下。星期天，两人相约去博物馆看展览，现在小虎要先去小羊

家和小羊会和，请问小虎去小羊家的最短路线有多少条？

分析】根据上题原理，图中从6条。

A到B的最短路线有几条呢？

B

A

13610B

1234

A

111

36

23

111

小虎家

分析】如右上图所示，根据标数法可知一共有20条最短路线。

A

A到B的最短路线都为

B

10

条。

小虎家

4

1

10

1

4

小羊家

1020

5

例10】小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮忙

如图，从F点出发到G点，走最短的路程，有多少种不同的走法？

分析】如右上图所示，根据标数法可知共有115种不同的最短路线。

例12】“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩。聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条

呢？

分析】如右上图所示，根据标数法可知一共有10条最短路线。

例13】下图是小明家和学校的示意图，亲爱的同学们，你们觉得小明从家到学校共有几条最短路线呢？

1551115

153664

3

6

10

152128

234567

11111

1

1

F

G

北村

23456

3610

1

521

41020

3

556

51535

7

0126

南村

例11】

北京

黄山

北京

1

12

1

22

24

13710

呀！

北村

1

11

1

1

1

1

黄山

6

例14】小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐场共有几条最短

路线呢？

分析】如右上图所示，根据标数法可知最短路线共有14条。

例15】学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村（如图）。爱动脑筋的嘟

嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？

分析】如右上图，从A到B的最短路线有273条。

例17】下图为某城市的街道示意图，从A到B处的最短路线共有多少条？

学校

游乐场

14

5

952

432

1

1小猪家

学校

23

1

010

36

4

1

0

5

1

5

2

535

6

2

1

4

681

分析】如右上图所示，根据标数法可知从学校到李家村共有81种不同的最短路线。

例16】

图为某城市的街道示意图，从A到B处的最短路线共有多少条？

2333

1

2

1

2

555

36912

41019314355

51534651

小明家

分析】如右上图所示，根据标数法最短路线共有12种。

游乐场

1

1

1

1

李家村

学校1

11

1

1

1

1

7

分析】如右上图，从A到B的最短路线有1428条。

分析】从A到B的最短路线有431条.

分析】如由上图所示，一共有26条最短路线。

例20】大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路（城市的街道如图所示）,那么他们从学校到养老院

最短路线共有几条？

养老院

市中心

学校

分析】（法1）从学校到养老院共126条，必经过市中心的60条，所以可行的路有：1266066（条）。

2333

69121212

415

53218

27

3

6215512

88

2

B1155

1428

例18】下图为某城市的街道示意图，少

条？

C处正在挖下水道，不能通车，从A到B处的最短路线共有多

17411055

6455553012

9C25

18

1

273

987654321

1111111

例19】小明家所在的小镇街道线路图如下，条？

若医院禁止通行的话，从小明家到学校的最短路线有几

家

学

校

医院

147111726

133469

120

医院1

2

1

1

1

1

273273

11

A

257

83

19

10

431B174

11111

学校

8

养老院

法2）把含有市中心的田字格挖去，可知共有

1

1

1

515254066

410

1015

5

26

3611

23456

66条。

养老院

11

1学校

例21】如下图所示，从X到Y最短路线总共有几种走法？

1

X

83685170342716

7284985172374

621213687202

515

15

51115

410

15

3664

3610152128

234567

1

1

1

1

1

1

111111

例22】阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看大熊猫再去图

书馆；第三天公园修路不能通行。咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书

馆的最短路线分别有多少种不同的走法？

9

图书馆

分析】首先明确三天所走的路线有什么不同？每天的路线有无限制条件？若有，是什么？搞清楚这些问

题后，仍然用对角线法求解。第一天（无限制条件）共有

条；第三天（必须不经过公园）共有8条。

例23】如下图所示，请问在图中的“好好学习天天向上”一共有多少种不同的读法？

例24】（2008年第七届“小机灵杯”数学竞赛三年级初赛）图中有10个编好号码的房间，你可以

从小号码的房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间，从1号房间走到10号房间共有

______________________种不同的走法。

分析】根据标数法，方框内原来代表编号的数换成到该编号的房间的走法的种类，最后可知一共有22种

不同的走法。（见右上图）

学校

公园

16条；第二天（必须经过公园）共有8

1

学校

12

12

2

公园

4

4

1

学校

1

12

2

公园

13

3

1

478

好好

学

习

天

好学习天天

学习天天向

习天天向

上

分析】根据标数法（如右上图所示），一共有

好

好

（1）

学

（1）

习

（1）

天

（1）

好

（1

）

学

（2

）

习

（3

）

天

（4）

天

（5）

学

（1

）

习

（3

）

天

（6

）

天

（10

）

向

(15)

习

（1）

天

（4）

天

（10）

向

(20)

上

(35)

35种不同读法。

1

32

65

4

10987

1

2

641

221661

第一天

第二天48

4

图书馆

第三天

1

图书馆

10

例25】（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛三年级决赛）在图中的“我爱春蕾杯”有________________

种不同的读法。

分析】根据标数法（见右上图）可知有1464116种不同的读法。

练习1】有一只蜗牛从A点出发,要沿长方形的边或对角线爬到C点,中间不许爬回A点,也不能走重复

的路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短的是哪条呢？

分析】如右上图所示，根据标数法可知一共有6条最短路线。

发散形

课一练

分析】共有9种，即：AOC、AODC、

AOBC、ABC、

ABOC、ABODC、ADC、

ADOBC,最短的路是:AOC。

练习2】李大爷家有一块田，分别种了谷子、高粱、玉米和小麦（如下图所示）的一端

A点走到B点，共有多少条最短路线？

，现在李大爷要从田地

谷子玉米

高粱小麦

谷子3

玉米

高粱

2

小麦

3

我

1

爱

1

春

1

蕾

1

杯

1蕾杯4

1杯

D

C

B

1

B

1

A

11

11

练习3】小猫汤姆和老鼠杰克在博物馆看连环画，突然它们发现了一个千年藏宝图，于是它们决定去

寻宝。请爱动脑筋的小朋友们帮他们想想共有几条最短路线能到藏宝地呢？

练习4】小虎和小羊是好朋友，它们居住的小区的平面图如下。星期天，两人相约去博物馆看展览，

现在小虎要先去小羊家和小羊会和，请问小虎去小羊家的最短路线有多少条？

练习5】“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩。聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条

呢？

北京

12

1

223

24

1

3710

黄山

分析】如右上图所示，根据标数法可知一共有10条最短路线。

练习6】李大伯是村里出了名的大人物，他近年来养貂赚了钱，而且他还积极热心于村里的公益事业，所以村里人都很尊重

他。在李大伯的养殖场内有8个貂笼，是这样安置的（如图）。因为李大伯平时很忙，除了喂貂之外，还有很

多事要干，所以他必须尽量节省每次喂食的时间。为此，李大伯想了好几天，可是他始终想不出一个比较好的方

法。小朋友们，你能帮李大伯设计一条最短路线吗？

分析】

36

23

111

20

宝藏

如右上图所示，根据标数法可知共有20条最短路线。

分析】如右上图所示，根据标数法可知一共有

北京

黄山

4米

4米4米

3米

3米

宝藏

博物馆

10

4

10

4

小虎家

小羊家

20条

3米

3米

4

米

12

分析】要给8个貂笼的貂分别喂食，还必须尽量节省每次喂食的时间。那么我们选择路线的根据是：（1）尽量多走3

米长的貂笼间隔，少走4米长的貂笼间隔；（2）尽量不走重复路线，走斜边比走两条直角边要少走一些路（如

右上图）。

练习7】甲到乙的路线图如下，请问从甲到乙的最短路线有几条？

A点进镇，B点出镇，他经过小镇时有多少条最短路线可走？

练习9】如图，从A到B，最短路线有几条？

分析】如右上图所示，根据标数法可知共有41条最短路线。

1234

23

1641

4

91625

3579

2222

1

分析】如由上图所示，

11

1

甲

乙

练习8】某小镇街道图如下，邮递员从

1

1

1

B

13

分析】最短路线为：A-H-G-F-E:5+4+1+7=17（千米）。

补充3】直线AB是一条公路，公路同侧有甲、乙两个村庄。现在要在公路上建一个汽车站，让两个村子的人到汽车

站的路线之和最短，问汽车站建在哪儿最好呢？

分析】如右上图所示，最短路线为PEFP.

补充1】下图是一张城镇的交通道路图，每段路上的数是小王走这段路所需要的时间问小王

从A出发到E，最快需要几分钟？

单位：分）。请

分析】如右上图所示，每点旁边的数为从A点到该点的最短时间，由此可知所求从间为：

15+11+12+5=43（分）。

A出发到E的最短时

补充2】下图是一个城市道路图，各数表示各段路的路程（单位：千米），求从A到E的最短路线。

甲村

乙村

分析】根据“两点之间，线段最短”这个道理，找到乙村关于

那一点即为汽车站。

AB的对称点C，连接C和甲村交AB的

补充4】如下图所示，一艘游轮上有若干游客，从运河上一点P出发，先到AB岸送一批乘客上岸，

再到CD岸送另一批乘客上岸，然后游轮回到河上P点。

如何安排路线才能使划船的行程最

短？

E

18

D

9

B

D

P-1

13