排除法

小学奥数组合之排

除法

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；

2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；

3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻

辑思维能力；

通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并

掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．

一、组合问题

日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选

出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着

重研究有多少种分组方法的问题．

一般地，从n个不同元素中取出m个(mn)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫

做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

))))从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组

合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素

不完全相同时，才是不同的组合．

从n个不同元素中取出m个元素(mn)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出

m个不同元素的组合数．记作m

n

C

．

一般地，求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数n

m

P

可分成以下两步：

第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有m

n

C

种方法；

第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有m

m

P

种排法．

根据乘法原理，得到mmm

nnm

PCP

．

因此，组合数

12)1

12321







m

m

n

n

m

m

P

nnnnm

C

Pmmm

（）（（）

（）（）

．

这个公式就是组合数公式．

二、组合数的重要性质

一般地，组合数有下面的重要性质：mnm

nn

CC

(mn)

这个公式的直观意义是：m

n

C

表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方

法．nm

n

C表示从n个元素中取出(nm)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n个元素

中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的(nm)个元素的分组方法．

7-5-3.组合之排除法

教学目标

知识要点

例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即

32

55

CC

．

规定

1n

n

C

，01

n

C

．

对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中

排除掉那些不符合要求的情况．

【例1】在100~1995的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？

【考点】组合之排除法))))))))))【难度】2星))))))))))【题型】解答)

【解析】先考虑100～1995这1896个数中，百位与个位相同的数有多少个，在三位数中，百

位与个位可以是1～9，十位可以是0～9，由乘法原理，有91090个，四位数中，

千位是1，百位和个位可以是0～9，十位可以是0～9，由乘法原理，1010100个，

但是要从中去掉1999，在100～1995中，百位与个位相同的数共有9099189个，

所以，百位数与个位数不相同的自然数有：个．

【答案】1707

【例2】1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？

【考点】组合之排除法))))))))))【难度】3星))))))))))【题型】解答)

【解析】从问题的反面考虑：1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，不发生进位？

这样的数，个位数字有2种可能(即0，1，十位数字有3种可能(即0，1，2，百位

数字有4种可能(即0，1，2，3，千位数字有2种可能(即0，1．根据乘法原理，共

有234248个．注意上面的计算中包括了0(0000这个数，因此，1到1999

的自然数中与5678相加时，不发生进位的数有48147个

所以，1到1999的自然数中与5678相加时，

至少发生一次进位的有1999471952个．

【答案】1952

【巩固】所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？)

【考点】组合之排除法))))))))))【难度】3星))))))))))【题型】解答)

【解析】与456相加产生进位在个位、十位、百位都有可能，所以采用从所有三位数中减去与

456相加不产生进位的数的方法更来得方便，所有的三位数一共有99999900个，

其中与456相加不产生进位的数，它的百位可能取1、2、3、4、5共5种可能，十位

数可以取0、1、2、3、4共5种可能，个位数可以取0、1、2、3共4种可能，根据

乘法原理，一共有554100个数，所以与456相加产生进位的数一共有

900100800个数．

【答案】800

【巩固】从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次

进位？

【考点】组合之排除法))))))))))【难度】3星))))))))))【题型】解答)

【解析】千位数小于等于1，百位数小于等于1，十位数小于等于3，个位数小于等于3，应

该有2244163种可以不进位，那么其他2004631941个数都至少产生一

次进位．

【答案】1941

【例3】在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？

【考点】组合之排除法))))))))))【难度】3星))))))))))【题型】解答)

【解析】至少出现一个“6”，意思就是这个三位偶数中，可以有一个6，两个6或三个6．我们

可以把这三种情况下满足条件的三位数的个数分别求出来，再加起来；也可以从所有

例题精讲

的三位偶数中减去不满足条件的，即减去不含6的三位偶数．三位偶数共有450个，

我们先来计算不含6的偶数的个数，不含6的偶数，个位可以是0，2，4，8，十位

上可以是除6以外的其余9个数字，百位可以是除6，0以外的8个数字，因此不含

6的三位偶数共有498288个,则至少出现一个6的三位偶数有

450498162个．

【答案】162

【例4】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个。

【考点】组合之排除法)))【难度】4星)))【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级，第14题

【解析】用排除法，四位数总共有9×10×10×10=9000个，其中能被3整除的四位数有3000个，排

除掉能被3整除且不含有数字6的四位数之后剩下的所有的四位数都满足条件！设能被

3整除且不含有数字6的四位数为abcd，最高位千位a有8选法（不能选0或6），百位

有9种选法（不能选6），十位也有9种选法（也不能选6），若前三位的数字和（a+b+c）

若除以3余0则个位d有3种选法（可选0，3，9）；若前三位的数字和（a+b+c）除以3

余1，则个位d有3种选法（可选2，5，8）；若前三位的数字和（a+b+c）除以3余2，

则个位d还是有3种选法（可选1，4，7）；故能被3整除且不含有数字6的四位数有

8×9×9×3=1944个。从而得到能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有3000-

1944=1056个。

【答案】1056

【例5】由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有个．

【考点】组合之排除法))))))))))【难度】3星))))))))))【题型】解答)

【解析】由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的奇六位数，个位可以为1，3，5，有3种

选法；个位选定后，十万位不能与个位相同，且不能为0，有4种；十万位选定后万

位有4种；……；故由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的奇六位数的个数为：

344321288个；

由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且百位为2的奇六位数，个位可以为1，

3，5，有3种选法；十万位不能与个位相同，且不能为0、2，有3种；十万位选定

后万位有3种；……；故由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且百位为2的奇

六位数的个数为：3332154个；

所以，满足条件的数有：28854234个．

【答案】234

【例6】从三个0、四个1，五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？

【考点】组合之排除法))))))))))【难度】3星))))))))))【题型】解答)

【解析】由3个0，4个1，5个2组成五位数，首位上不能是0，只能是1或2，有2种选择；

后面4位上都可以是0、1或2，各有3种选择，根据乘法原理，共有23333162

种选择；

但是注意，这样算是在0和1的个数足够多的情况下才能算，本题中可能会出现0和

1的个数不够的情况（2的个数肯定够）．比如说，0只有3个，但是上面的算)法却

包括了后四位都是0的情况，这样的数有两个：10000和20000，得减掉；另外，1只

有4个，却包含了五位都是1的情况：11111，也得减去．

所以实际上共有1623159个．

【答案】159

【例7】由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样

的五位数共有个．

【考点】组合之排除法)))【难度】4星)))【题型】填空

【关键词】迎春杯，高年级，初试，6题

【解析】这是一道组合计数问题．由于题目中仅要求1，2，3至少各出现一次，没有确定1，

2，3出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，

从由1，2，3组成的五位数中，去掉仅有1个或2个数字组成的五位数即可．

方法一：分两类

))))⑴1，2，3中恰有一个数字出现3次，这样的数有1

3

C5460

个；

))))⑴1，2，3中有两个数字各出现2次，这样的数有22

34

C5C90

个；

))))综上所述符合题意的五位数共有6090150个．

方法二：从反面想：由1，2，3组成的五位数共有53个，由1，2，3中的某2个数字组成的五

位数共有5321个，由1，2，3中的某1个数字组成的五位数共有3个，所以符

合题意的五位数共有5533213150个．

【答案】150个

【例8】10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？

【考点】组合之排除法))))))))))【难度】3星))))))))))【题型】解答)

【解析】)(法1乘法原理．按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个被选

中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有7种选择，总共

就有71070种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选

了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，而却算作了两种，所以最后的结果应该是

(1011110235(种．

(法2排除法．可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为2

10

C

，而被

选的两个人相邻的情况有10种，所以共有2

10

10451035C

(种．

【答案】35

【例9】一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停．在一楼有3人进了电梯，其

中至少有一个要上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种？

【考点】组合之排除法))))))))))【难度】3星))))))))))【题型】解答)

【解析】每个人都可以在第7层至第12层中任何一层下，有6种情况，那么三个人一共有

666216种情况，其中，都不到12楼的情况有555125种．因此，至少有

一人要上12楼的情况有21612591种．

【答案】91

【例10】8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，

小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？

【考点】组合之排除法))))))))))【难度】3星))))))))))【题型】解答)

【解析】冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的

位置就一定要留给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇．

小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻

小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑

只满足第一、三个条件的站法总数为：

32123

72423

PPP3360CC

（种）

同时满足第一、三个条件，并且满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：

32222

62322

PPPP960C

（种）

因此同时满足三个条件的站法总数为：

33609602400（种）．

【答案】2400

【例11】若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数

是“上升的”．问一共有多少“上升的”自然数？

【考点】组合之排除法))))))))))【难度】3星))))))))))【题型】解答)

【解析】由于每个数字都小于其右边所有数字，而首位上的数不能为0，所以满足条件的数各

数位上都没有0，而且各数位上的数都互不相同．那么最大的“上升的”自然数是

123456789．而且可以发现，所有的“上升的”自然数都可以由123456789这个数划掉

若干个数码得到．反过来，由从123456789这个数中划掉若干个数码得到的至少两位

的数都是“上升的”自然数．所以只要算出从123456789中划掉若干个数码所能得到

的至少两位的数有多少个就可以了．因为其中每个数码都有划掉和保留这2种可能，

所以9位数共有92种可能，但是需要排除得到的一位数及零，这样的数共有10个，

所以所能得到的至少两位的数有9210502(个．

所以一共有502个“上升的”自然数．

【答案】502

【例12】6人同时被邀请参加一项活动．必须有人去，去几个人自行决定，共有多少种不同

的去法？

【考点】组合之排除法))))))))))【难度】3星))))))))))【题型】解答)

【解析】方法一：可以分为一人去、两人去、三人去、四人去、五人去、六人去六种情况，每

一种情况都

))))))))是组合问题．

第一种情况有6种去法；

第二种情况有2

6

65

15

21

C







(种去法；

第三种情况有3

6

654

20

321

C







(种去法；

第四种情况有4

6

6543

15

4321

C







(种去法；

第五种情况有5

6

65432

6

54321

C







(种去法；

第六种情况有1种去法．

根据加法原理，共有61520156163(种不同的去法．

方法二：每一个人都有去或者不去两种可能，但要减掉所有人都不去这种情况，于

是总共有62163(种不同的去法．

【答案】63

【例13】由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样

的五位数共有________个．

【考点】组合之排除法))))))))))【难度】2星))))))))))【题型】解答)

【关键词】迎春杯，高年级，决赛

【解析】这是一道组合计数问题．由于题目中仅要求1，2，3至少各出现一次，没有确定1，

2，3出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，

从由1,2,3组成的五位数中，去掉仅有1个或2个数字组成的五位数即可．

(法1分两类：⑴1，2，3中恰有一个数字出现3次，这样的数有1

3

5460C

(个；

⑴1，2，3中有两个数字各出现2次，这样的数有22

34

590CC

(个．符合题意的

五位数共有6090150(个．

(法2从反面想，由1，2，3组成的五位数共有53个，由1，2，3中的某2个数字组

成的五位数共有53(22)

个，由1，2，3中的某1个数字组成的五位数共有3个，

所以符合题意的五位数共有5533(22)3150

(个．

【答案】150

【例14】5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5

条直线的交点为顶点能构成几个三角形？(构成的三角形的边不一定在这5条直线

上)

【考点】组合之排除法))))))))))【难度】4星))))))))))【题型】解答)

【解析】)(法15条直线一共形成54210个点，对于任何一个点，经过它有两条直线，

每条直线上另外有3个点，此外还有3个点与它不共线，所以以这个点为顶点的三

角形就有33333332230个三角形，则以10个点分别为顶点的三角

形一共有300个三角形，但每个三角形都被重复计算了3次，所以一共有100个三

角形．

(法2只要三点不共线就能构成三角形，所以可以先求出10个点中取出3个点的种

数，再减去3点共线的情况．这10个点是由5条直线相互相交得到的，在每条直线

上都有4个点存在共线的情况，这4个点中任意三个都共线，所以一共有3

4

520C

个三点共线的情况，除此以外再也没有3点共线的情况，所以一共可以构成

3

10

20100C

种情况．

【答案】100

【例15】正方体的顶点(8个)，各边的中点(12个)，各面的中心(6个)，正方体的中心(1个)，

共27个点，以这27个点中的其中3点一共能构成多少个三角形？

【考点】组合之排除法))))))))))【难度】3星))))))))))【题型】解答)

【解析】27个点中取三个点，不是这3点共线，就是这3点能构成三角形．27个点中取三个

点一共有272625(321)