六角星

第4讲几何圆形剪拼

内容概述

与图形的剪切、拼接有关的问题。学会利用对称性和面积计算对剪拼问题进

行分析；了解某些特殊的剪拼办法。

典型问题

兴趣篇

1．如图4-1，将一个正方形纸片剪成大小、形状都相同的4块，可以怎么剪？

请大家出尽量多的图形．（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的

大小、形状是相同的）

答案:

解析：要把一个图形平均分成4部分，可以先把图形平均分成2份，再把平

均分成的2份再一分为二即可，如答案第一、第二行的5种分法．再观察答案

第三行前2个图发现，它们都是利用穿过正方形中心的两条直线把正方形分成了

4块，考虑到正方形的对称性，知道正方形是一个旋转对称图形，利用这个特性

旋转上面两条直线，发现过的两条互相垂直的直线．都可把正方形分成大小、形

状都相同的4决．

更一般地，从中心出发向边界连出一条曲线，再把它依次旋转90。，同样可

以把正方形分成形状、大小都相同的4块，如答案第三行的第3种分法，从上

面的分析可以看出，满足要求的方法实际上有无穷多种．

2．如图4-2，在一块正嘉纛凳墓中有一个正方形的空洞．现在要求用一条

经过大正形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么分？

答案：

解析：先考虑纸片无洞的情形．由正方形的对称性可知，经过大正方形中心

点的任意一条直线，都可以把纸片分成面积相等的两部分，再考虑有空洞的隋

形．如果空洞刚好处于合适的位置，如图1所示，这时就可以利用对称性来分．

当空洞处于一般位置的时候，不再具备对称性．因为题目中并没有要求分成

的两部分形状相同，所以只需要考虑面积的因素．

如图2所示，如果分割线不通过空洞．正方形纸片被分成本身的面积是相等

的两部分，但是其中一部分中有一个正方形空洞，所以这种剪法不行．

如图3所示，如果分割线通过空洞，但空洞没有被平分，因为大正方形分成

的两部分面积仍然相同，所以各自挖去空洞的一部分后剩下的面积还是不同，这

种剪法仍然不行．

从上面这2种剪法可以看出：要使分成的两部分面积相等，这条直线必须把

空洞也分成面积相等的两部分，因为空洞的形状也是正方形，同样由对称性，过

空洞中心的任意一条直线也可以把空洞分成面积相等的两部分，因此网时经过空

洞正方形的中心与大正方形的中心的直线就可以把以上图形划分为面积相等的

两部分，即过这2个中心点的直线．

3．如图4-3，三角形和六角星的每条边长都相等．那么用多少个三角形可以

拼成六角星？请在图中表示出来．

答案：12个

解析;因为六角星的每条边和正三角形的边相等，所以它突出来的6个角都可

以用1个三角形填满，如图所示：

剩下的中间部分是一个正六边形，也不难用三角形填满，如答案所示，共可

数出12个三角形可拼成六角星.

4．如图4-4，在正方形边上的40个点中，选出6个点，连出3条线段，将

正方形分成6个部分，使得每个部分都恰好有1个三角形、2个小正方形。

答案：

5．请把图4-5中的两个图形分别沿格线剪成4个大小、形状都相同的图形．

答案：

解析：(1)图形(a)是由12个小方格组成的，如果把它剪成4个形状大小都

相同的图形，则每个图形含有12÷4=3个方格，3个方格要么组成1×3的长方形，

要么组成“L”形，如图1所示。

不难发现分成4个长方形是不可能的，因此考虑分成4个“L”形．显然最上

面的2个方格必须在同一个“L”形中，可得出如图2所示的剪法．

(2)图形(b)被分成了12个小三角形，沿格线分割成4个相同的部分后，每

个部分就由3个小三角形组成，由3个小三角形组成的图形只有如图3所示这1

种．那就用这种形状去试着分割原来的图形，可得出如图4所示的分法．

6．请把图4-6沿格线分成大小、形状都相同的3部分，使得每部分都恰好

含有1个“O”．

答案:

解析:首先数出图形的方格总数为12，所以分成的每块图形各含有12÷3=4

个方格，

再考虑4个方格数可能构成的图形，看哪种可以填满原来的图形，并恰好每

块图形都含有一个0．注意O在每一块中所处的位置可能是不一样的．用4个

方格可以组成如图1所示的5种图形：

再观察原图，可以发现填入阴影的3格应该分属不同的3块，如图2所示：

经试验，可以找到如答案所示的分割方法，

7．请将图4-7分成大小、形状都相同的4部分，使得每个部分都恰好包含A、

B、C、D4个字母．

答案:

解析：原来图形被格线分成了16个相同的小正方形，要沿格线把图形分成

4个相同的部分，那么每个部分就都应该

由4个小正方形组成，而由4个小正方形

组成的图形只有如图1所示的5种：

由图l发现，“一”、“田”、“T”或“I．”4个字形能拼成一个正方形，但又要每个部分

都恰好包含A、B、C、D这四个字母，经尝试找到如答案所示的分割方法．

8．如图4-8，图(a)是由5个大小相同的小正方形拼成的，图(b)是由1个

正方形和1个等腰直角三角形拼成的．请把这两个图形分别剪成4个大小、形状

都相同的图形。

答案：

解析：(1)要把图形(a)分成4块，但此时一共有5个方格，而为了分成4块

一样的图形，必须用其总格数除以4．很自然地把每个方格再细分为4个小方格，

则一共有5×4=20个小方格，因此可分成每块大小为20÷4=5个小方格，如图1

所示，一同样考虑5个小方格的可能情况，再联系本图的特点，从左边开始分

析，不难得到如答案所示的划分．

(2)图形(b)不像前面的题目那样有网格帮助划分图形，所以还是自己添加网格．因

为一共要分成4块，所以把左边的正方形分成4小格，同时把右边的等腰直角

三角形也类似划分，如图2所示:

注意上面的两个三角形格子各为半格，合起来也等于一个方格，所以图形总

的大小为6个方格，因此分成的每块的大小都是1格半，显然右下角的三角形

格必须与它左边相邻的方格组成一块，这样一来右上角的三角形格必须与它左边

相邻的方格组成一块，如

图3所示．因此可以把图形按答案所示方式划分．

9．如图4-9，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它们剪拼成一个更

大的正方形，要求如下：

(l)如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？

(2)如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？

答案：（1）

（2）

解析;(1)设原来两张正方形纸片的面积都是1，那么最终拼成的大正方形的

面积应该等于2．

从原来正方形的边长人手，很难拼成大正方形的边长．除了利用边长计算正

方形面积外，也可以利用正方形对角线算出它的面积．而且连结正方形的对角线

可以把正方形分成两个相同的等腰直角三角形，所以可以考虑使最终的正方形由

两个相同的等腰直角三角形拼成，把图中的两个正方形沿对角线剪开，然后把4

个大等腰直角三角形拼成正方形，如答案

所示．

(2)同样可以考虑等腰直角三角形，此时要求保持一个正方形不变，所

以把它放人大正方形中，则大正方形的4个角都多出一个等腰直角三角形，正好

把另一个正方形剪成4个等腰直角三角形，然后补在空缺处，如答案所示．

10.图4-10是由若干个小正方形组成的图形，你能将其剪成两块，然后拼

成一个正方形吗？

答案：

解析;这个图形是由16个小正方形组成的，那么拼成的正方形只能是4X4

的方格表形式．

将该图形与正方形对比，可以看出就是要把左边多余的4格补到上方，如图

1所示，因为只能分成2块，所以直接剪开是不行的，要在上方补充4格，且剪

开后拼过来的一块一定要有1×4的部分，如图2所示，

同时，这个图形有6格长，所以要把左边多余的部

分沿阴影格线剪开，如图3所示：

经试验，可以发现如答案所示的方法满足要求

拓展篇

1．观察图4-11，ABCDEF是正六边形，O是它的中心．画出线段PQ后，就

把正六边形ABCDEF分成了2个大小、形状都相同的五边形．

(1)能否画出3条线段，把正六边形分成6个大小、形状都相同的图形？

(2)能否画出几条线段，把正六边形分成3个大小、形状都相同的四边形？

(3)能否画出几条线段，把正六边形分成3个大小、形状都相同的五边形？

答案：

解析：(1)要把正六边形ABCDEF分成6个大小、形状都相同的图形，注意

正六边形样的正三角形，由对称性只需连结AO、B0、CO、DO、E-O、FO即

可，如答案所示．

(2)要把正六边形ABCDEF分成3个大小、形状都相同的四边形，可以考虑

把上面划分的6个三角形两两组合，依次得到3个菱形：ABCO、CDEO、EFAO．如

答案所示．

(3)要把正六边形分成3个大小、形状都相同的五边形，题(2)已经分出了四

边形，只要想办法再多一条边就可以了，注意到条件中给的提示，利用线段PQ

把ABCDEF分成了2个相同的部分，这一点既可以认为利用了正六边形的轴对

称性，也可以认为利用了中心对称性（旋转对称性）．但是轴对称一般用于把一

个图形一分为二，所以这里主要考虑旋转对称性．

可以在题(2)图中，把OA、OC、OE三条线段同时旋转，就可以把正六边

形分成三个相同的五边形了，如答案所示．

2．请在图4-12中标出分割线，把图形沿格线分成大小、形状都相同的4

个部分．（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的大小、形状是相

同的）

答案：

解析：原来图形被格线分成了16个相同的小正方形，要沿格线把图分成4

个相同的部分，那么每个部分就都应该由4个小正方形组成，由4个小正方形

组成的图形只有如图1所示的！种：

图形中最上面的小正方形显然是最特殊的，所以在尝试的时候就从它开始，

可得答案中的图形．

这道题还有其他分割方法，如图2所示：

3．将图4-13沿格线分割成大小、形状都相同的4个部分，请在图中画出具

体的分割方法．

答案：

解析：这个图形一共有24个三角形小格，因此分成的每个图形都包含有24

÷4=6个三角形小格．由6个小正三角形组成的图形情况很多，可以发现，左下、

右下和上方三个角上的格子都只与旁边1格相邻，分割时不妨让这三格分属不同

的三块，故后一块应该在中间的位置，如图所示：

经试验，可以找到如答案所示的分割法．

4．将图4-14分割成大小、形状完全相同的4块，请至少洹出4种不同的分

法

答案：

解析：如图：所示，注意到沿图中虚线剪开以后，原来图形就变成了2个

长方形．

经计算，这2块都是长为8、宽为4的长方形．要将图形分成完全相同的

4块，只需要按同样的分法将每个长方形都分成相同的2块，由于长方形是中心

对称图形，所以任何一条过长方形中心的直线都能将它分成相同的2块，如图2

给出4种分法．

更一般地，也可以用折线或者曲线将长方形分割的两部分，如答案所示．

5．如图4-15，从一张边长为7厘米的正方形纸片中，最多能裁剪出多少

张长4厘米、宽1厘米的长方形纸条？请画图说明裁剪方法．

答案：12个

解析：因为边长为7厘米的正方形面积是49平方厘米，而长4厘米、宽：

厘米的长方形面积是4平方厘米，由面

积关系，最多能裁剪出12张纸条，这些

纸条可以横竖交错安排．先横着裁出1张

纸条，剩下的竖着裁，可以裁出3张，接

着继续横着裁，如图所示：

于是可以找到如答案所示的裁剪法．

6．将图4-16分成大小、形状都相同的4块，使得每一块中都有A、B、C、

D

答案：

解析：图申A、B、C、D各有4个，那么分割后的4个图形中A、B、C、

D各有1个，所以相邻的2个字母如果相同，那么在它们之间一定有一条分割线

将这2个字母分开，这2个相同的字母分别属于2个不同的图形，如图1所示，

可以在相同的字母之间画出一些分割线．

由于分割后的4个图形是完全相同的，因此可以假设每旋转90。，图形就会

完全重合．如图2中的正方形是由完全相同的4个图形组成的，把这个正方形

旋转90。后的分割线和原来的分割线完全重合，每一部分也和原来的每一部分

完全重合．这样将图1旋转后，与原来的分割线重叠的线段也应该是分割线，从

而得到了更多的分割线，如图3所示．

得到这些分割线后就比较好观察哪些字母应该被分在同一个部分中，很容易

看出右下角的字母D必然和它左边的C，以及左上角的B相连结，如图4所示．

再次通过旋转还可以得到其他相连结的部分，答案所示．

7．如图4-17，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形．

(1)如果要求两种小正方形一共有6个，应该怎么分？

(2)如果要求两种小正方形一共有7个，应该怎么分？

答案：

解析：(1)把一个正方形分割成若干小正方形，

很自然可以想到将它按小方格划分，如图1所示：

而这种方法只能把大正方形分成4个、9个、16个、25个等情况．要把大

正方形分成6个小正方形，而这6个小正方形可以有2种不同的大小，所以可

以在上述分割方式中将一些小格重新组合为较大的正方形或将一些小格再细分

为更小的小正方形．于是将大正方形划分为9小格，再把其中4格组合起来即

可，如图2所示．

(2)如果要使得2种小正方形的总个数是7，可将大正方形划分为4小格，再

将其中一小格划分成更小的4小格即可，如图3所示。

8．将边长分别为3厘米和4厘米的两个正方形切割成4块，然后将它们拼

成一个边长是5厘米的大正方形，请在图4-18中画出切割线和拼接线．

答案：

解析：首先从面积考虑，两个小正方形的面积分别是9平方厘米和16平方

厘米，它们加起来正好等于大正方形的面积25平方厘米，由于边长都是整数厘

米，可以先把图形划分，如图1所示：

由于一共只能切割成4部分，所以尽可能将大多数方格保留在一起．

①不妨将边长为4厘米的正方形保持不动，然后将边长为3厘米的正方形

切割成3部分，添排到另一个正方形的边上即可，如图2所示：

可看出最小的正方形必须剪成宽度为1厘米的一些图形，注意拐角的位置，

可得答案如图(a)所示．

②同样，也可以试图将边长为3厘米的正方形保留下来，而将边长为4厘

米的正方形剪成3块，此时注意到剪出的3块必须是宽度为2厘米的图形，可

得到答案如图(b)所示．

③有了以上2种解法，也可以把2个小正方形各分成2块，然后一起拼成

大正方形，如答案图(c)所示，

9．请将图4-19中的图(a)剪成3块，再拼成一个正方形如图(b)．

答案：

解析：图(a)是从一个4×7的长方形去掉左上角1×3的一块！所以总面积等

于25．

于是拼成的正方形边长应该等于5，补上格线后将正方形与图(a)重叠如图所

示：

可以看出就是将上面3×2的部分再剪成2块并拼成右边的部分，于是得到

的结果如答案所示．

事实上，用不同的重叠办法还可以发现很多其他的分割方法，如答案所示．

10．将图4-20分割成4个形状和大小都相同的部分，然后将它们拼接成

一个正方形．请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼接图．

答案：

解析：首先算出原图形面积．从图1划分可以计算出图形的面积为2×3×2+6

×(1+2+1)=36．

而35恰好是6的平方，所以最后拼出的正方形边长应该是6．所以分割后

每一块横竖两个方向的长度都不能大于6，否则就不能放入正方形了．而这个图

形的竖直方向长度为12，而12恰好等于两个6相加，所以可以尝试将图形从中

间划分开．

考虑到要分成形状大小完全一样的4块，利用图形的对称性，可以得到如答

案所示的拼法．

本题分割方法不唯一，如另一种答案如图2所示：

11．图4-2l(a)中长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请把这个长方

形剪成2块再拼成一个正方形如图(b)．

答案：

解析：长方形的面积是4×9—36平方厘米，所以正方形的边长是6厘米，

长方形与正方形相比较，长多了3厘米，宽少了2厘米，所以本题主要就是找

到一个能够同时去掉3厘米和补齐2厘米的方法．先考虑将长去掉3厘米，可

以从长方形的边上3厘米处剪开，如图1所示：

而宽需要补充2厘米，所以可以剪下2厘米补过去，如图2所示：

最后，找到如答案所示的分割方法。

12．有一张长方形纸片，按图4-22所示剪成了3块，已知这3块纸片可拼

成一个正方形，那么正方形的边长为多少？请画出具体的拼法．

答案：12

解析：由于剪拼过程保持面积不变，那么最后拼成的正方形大小可以直接通

过面积计算得出．计算长方形面积9×(12+4)=144，而144=12×12，所以正方形

的边长等于12.要拼成正方形，注意到斜线必须和斜线拼在一起，具体拼法如答

案所示。

13.把7个长为4厘米、宽为3厘米的长方形既互不重叠又不留空隙地拼成

一个大长方形，那么这个大长方形的周长最小是多少厘米？请画出具体的拼法．

答案：

解析：大长方形面积是3×4×7=84平方厘米，而84=1×84=2X42=3×28=4×

21=6×14=7×12，分别计算周长，发现长为12厘米、宽为7厘米的长方形周长

最小．

故拼出的大长方形周长最小是(7+12)×2=38厘米，具体拼法如答案所示，

14．用若干张边长为1、2、3、4的正方形纸片互不重叠地拼成一个边长为

5的大正方形，那么最少需要纸片多少张？请画出具体的拼法．

答案：8张

解析：问题要求的是最少的纸片数，所以尽可能的先多用大的纸片去试一试。

首先看一下最多能放多少张边长为4的正方形纸片，依次再放入边长为3

的、为2的、为1的．可以看到，边长为5的大正

方形里面最多放入一张边长为4的正方形纸片，

如图1所示：

再来看剩下的空间，是一个宽为1的折纸条，只能放入边长为1的正方形

纸片，从图1中可以看出一共要用10张纸片．但是也可以发现，宽为1的折纸

条很长，而此时只能放入最小的正方形纸片，如果宽度更大一些，就可以放入更

大的正方形纸片．这样的话可以发现最大的正方形纸片就只能是边长为3的正方

形纸片了，方法如图2所示．

剩下部分是一个宽度为2的拐角，应尽可能多地放入边长为2的正方形纸

户，方法如答案所示．

此时一共用了8张纸片．

而如果边长为3、4的正方形纸片都不用，只用边长为1、2的正方形纸片

拼出边长为5的正方形，容易发现边长为2的正方形纸片最多只能用4张，此

时最

少要用13张纸片．故最少需要用8张纸片。

超越篇

1．将图4-23沿格线分割成大小、形状完全相同的4个部分，你能想出几

种方法？（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的大小、形状是相

同的）

答案：

解析：直接数方格数，整个图形有：个小格，所以分成的每一部分应该有8

格，而8个小正方形拼成的图形情况十分复杂，但是可以发现这

个图形的形状很像一个倾斜的正方形，如图1所示：

所以可以尝试用分割正方形

的方法解决本题，正方形可以按照

如图2所示的方式分割：

对应的，可以找到如答案所示的4．种分法．

2．如图4-24(a)，长方形的长和宽分别是25厘米和16厘米．请把这个

长方形剪成两块，再拼成一个正方形如图(b).

答案：

解析：长方形的面积是25×16=400平方厘米，所以正方形的边长是20厘

米，因此要把长方形的长剪掉5厘米，同时要将长方形的宽补上4厘米．

可以沿着如图所示图形中的虚线剪．

要使剪出来的2部分能够相互吻合，横着的虚线长度都要取5厘米，竖着

的虚线长度都要取4厘米，所以刚好有3根横着的虚线，4根竖着的虚线，如答

案所示．

3．如图4-25(a)是一块25×49（单位：厘米）的长方形纸片，现在要沿

虚线将它分成3块，再拼成如(b)图所示的边长为35厘米的正方形纸片．请用实

线标明剪切和拼接的方法．在这里，虚线划分成的小长方形的大小均为5×7（单

位：厘米）．

答案：

解析：长方形的长是49厘米，正方形的边长是35厘米，所以阶梯的长度

等于49-35=14厘米．

长方形的宽是25厘米，所以阶梯的高度等于35-5=10厘米．

先按照阶梯法剪成2块，如图所示：

可以看到，2块不能拼成正方形，下面左边多出来了一格，同时中间也空了

一格．所以把这个小格单独剪下来拼进去，最后的剪法如答案所示．

4．将图4-26沿格线分割成7个形状不同的长方形（包含正方形），请在图

中用实线标出分割线．

答案：

解析：先考虑从面积人手．因为正方形的面积为25，所以分割后7个形状

不同的矩形的面积之和也是25.从而这7种矩形的面积都不会太大，

面积为1的矩形只有1×1的正方形；

面积为2的矩形只有1×2的正方形；

面积为3的矩形只有1×3的正方形；

面积为4的矩形有1×4的长方形和2×2的正方形2种；

面积为5的矩形只有1×5的正方形；

面积为6的矩形只有2×3的长方形1种，因为1×6的长方形不存在．

从前面的分析可见，7种形状不同的矩形面积之和最小为

1+2+3-4+4+5+6=25，而题目中所给出的正方形的面积恰好就是25.

所以正方形可以被分割成以下7种形状：1×1的正方形，1×2的长方形，1

×3的长方形，1×4的长方形，2×2的正方形，1×5的长方形，2×3的长方形．如

答案所示给出2种具体切割的方法．

5．图4-27是由5个小正方形组成的一个“十字架”，请将它剪成若干块，

然后拼成一个大正方形．

答案：

解析：方法一：先考虑大正方形的边长．假设小正方形的边长为1，则十字

架的面积等于5，要拼成的大正方形的面积也等于5，22521

，由勾股定理，

大正方形的边长就等于直角边为1和2的直角三角形的斜边长，在边长为3的

正方形里，画出这样的大正方形，如图1所示：

从图1中可以看出如答案图(a)所示的剪法，方法二：先在十字架中找到一

个直角边为1和2的直角三角形，然后用斜边作为大正方形的边，把大

正方形画出来，如图2所示：

把图形补充成4×4的正方形网格，如图3所示：

从图3中可以看出如答案图(b)所示的剪法，

方法三：从上面的分析可以看出，本题的关键就是拼出正方形的边长，即从

原图中取出如下的一条边，如图4所示：

所以也可以用其他的方法从十字架中取出相应的线段，如答案图(c)所示。

6．如图4-28，一个5×7的大长方形左上角割去了一个2×3的小长方形，

请把这个图形分成3部分，再拼成一个正方形．

答案：

解析：图中所给图形的面积为5×7-2×3=29，29=22+52，根据勾股定理，是

在所给的图形中找到直角边为2和5的直角三角形，这

种直角三角形的斜边就构成了拼接后正方形的边．如

图所示：

从右上角开始切出一个直角边为2和5的直角三角形，这个直角三角形的

斜边就是最终正方形的边，通过添加辅助线勾勒出正方形的轮廓．

从图中可以很明显地看到第二刀的位置．最终剪拼的结果如答案所示。

7．有一个大正方形，现在要把它分割为12个小正方形，那么：

(1)要形成2种面积不同的小正方形，可以如何分割？

(2)要形成3种面积不同的小正方形，可以如何分割？

(3)要形成4种面积不同的小正方形，可以如何分割？

答案：

解析：构造王方形有“从少到多”和“从多到少”这两；种思路．所谓“从少到多”

指的是逐步对正方形进行切割，每次切割都会多出若干个小正方形，依靠这种慢

慢累加获得我们需要的正方形个数．

所谓“从多到少”指的是先把整体分割成很多个完全一样的小正方形，然后把

若干个小正方形重新组合成大正方形，通过重新组合减少正方形的个数，直

至满足要求．

(1)采用“从少到多”的构造思路，12=9+3=4+8，因此它既可以看作在3×3的

基础上增加了3个正方形，也可以看做在2×2的基础上增加了8个正方形，如

答案图1所示．

(2)采用“从多到少”的杓造思路，12=36-15-3×3，在6×6的网格中重新组合

了1个4×4的正方形和3个2×2的正方形，如答案图2所示．

(3)采用“从多到少”的构造思路，12=64-24-8×2-3×4，在8×8的网格中重新

组合了1个5×5的正方形，2个3×3的正方形和4个2×2的正方形，

如答案图3所示．

8．请画出一个三角形，并把它分成大小形状都完全相同的5个小三角形．如

果要分为完全相同的13个小三角形，该如何画？

答案：

解析：(1)构造直角边长分别是1和2的5个直角三角形，它们可以拼成一

个大三角形，如答案图1所示．

(2)构造直角边长分别是2和3的13个直角三角形，它们可以拼成一个大三

角形，如答案图2所示。