广州西关

西外教育集团2022学年第一学期初三级期末质量检测数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．）

1.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）

A.B.C.D.

2.

抛物线

y

＝（

x

﹣

2

）2

﹣

1

的对称轴是（）

A.x＝2B.x＝﹣2C.x＝﹣1D.x＝1

3.下列各点中在反比例函数

2

y

x



的图象上的点是（）

A.

(-1,

-2)

B.

(1,

-2)

C.

(1,

2)

D.

(2,

1)

4.

如图，点

A

，

B

，

C

都在⊙

O

上，∠

CAB

＝

70°

，则∠

COB

的度数为（）

A.70°B.80°C.120°D.140°

5.若方程23640xx的两个根为

1

x，

2

x，则（）

A.

12

6xx

B.

12

6xx

C.

12

2xx

D.

12

2xx

6.

“任意画一个三角形，其内角和是

360°”

，这一事件是（）

A.

必然事件

B.

不可能事件

C.

随机事件

D.

以上选项均不正确

7.

已知圆

的

直径为

10cm

，圆心到某直线的距离为

4.5cm

，则该直线与圆的位置关系是（）

A.

相交

B.

相切

C.

相离

D.

以上都不对

8.

在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的

3

个红球和

11

个黄球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概

率是

()

A.

3

11

B.

8

11

C.

11

14

D.

3

14

9.

如图，点

A

、

B

、

C

、

D

、

O

都在方格纸上，若△

COD

是由△

AOB

绕点

O

按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度

为（）

A.30

°

B.45

°

C.90

°

D.135

°

10.将二次函数223yxx

的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线

yxb

与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）

A.

21

4

或3B.

13

4

或3C.

21

4

或3D.

13

4

或3

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）

11.

点

P

（﹣

2

，﹣

3

）关于原点对称的点的坐标是

_____

．

12.

从一副扑克牌中级抽取一张，①抽到王牌；②抽到

Q

；③抽到梅花．上述事件，概率最大的是

_____

．

13.

一个扇形的圆心角是

120°

．它的半径是

3cm

．则扇形的弧长为

__________cm

．

14.

一个矩形的长比宽多

2

，面积是

100

，若设矩形的宽为

x

，列出关于

x

的方程是

_____

．

15.如图，点A、B、C、D、都在⊙O上，AB是直径，弦AC＝6，CD平分∠ACB，BD＝52，则BC的长等于_____．

16.如图，正方形ABCD中，5cmAB，以B为圆心，1cm为半径画圆，点

P

是B上一

个动点，连接

AP

，并将

AP

绕点

A

逆时针旋转

90°

至AP，连接BP

，在点

P

移动的过程中，BP

长度的取值范

围是

______cm．

三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤．）

17.解方程：228xx

18.如图，已知ABO，点

A

、B坐标分别为2,4

、2,1

．

（1）把ABO绕着原点O顺时针旋转90得

11

ABO

，画出旋转后的

11

ABO

；

（2）在（1）的条件下，点B旋转到点

1

B

经过的路径的长为______．（结果保留

）

19.

二次函数

y

＝

ax2+2x+c

的图象经过（﹣

1

，

0

）（

3

，

0

）两点．

（

1

）求该二次函数的解析式；

（

2

）求该二次函数图象与

y

轴交点的坐标．

20.

如图，在

Rt

△

ABC

中，∠

C

＝

90°

，

AD

是∠

BAC

的角平分线，以

AB

上一点

O

为圆心，

AD

为弦作⊙

O

．

（

1

）尺规作图：作出⊙

O

（不写作法与证明，保留作图痕迹）；

（

2

）求证：

BC

为⊙

O

的切线．

21.以物联网、大数据、人工智能为基础

的

技术创新促进了新行业发展，新行业发展对人才的

需求更加旺盛，某大型科技公司上半年新招聘总线、测试、软件、硬件四类专业的毕业生共

30

人，新招聘毕业生

的专业分布情况绘制成如下不完整的条形图．请根据以上信息，解答下列问题：

（1）“总线”专业有______人，并补全条形图；

（

2

）新招聘“软件”专业的毕业生中只有两人是同校毕业，该公司从新招聘“软件”专业的毕业生中随机抽取两

人参加问卷调查，求抽到两人恰好是同校毕业的概率．

22.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝1

k

x

（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，

再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y＝

1

k

x

（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线y＝k

2x+b

与

y

轴交于点

C

．

（

1

）求

a

的

值及点

C

的坐标．

（

2

）在

y

轴上有一点

D

（

0

，

5

），连接

AD

，

BD

，求△

ABD

的面积．

（3）结合图象，直接写出

1

k

x

≤k

2x+b的解集．

23.如图，有一块矩形铁皮（厚度不计），长10分米，宽8分米，在它的四角

各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．

（1）若无盖方盒的底面积为48平方分米，那么铁皮各角应切去边长

是多少分米的正方形？

（

2

）若要求制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的

2

倍，并将无盖方盒内部进行防锈处理，侧面每平方分米的

防锈处理费用为

0.5

元，底面每平方分米的防锈处理费用为

2

元，问铁皮各角切去边长是多少分米的正方形时，总

费用最低？最低费用为多少元？

24.如图，直线

1

3

2

yx交

y

轴于点

A

，交x轴于点C，抛物线

2

1

4

yxbxc经过点

A

，点C，且交

x轴

于另一点B．

（1）直接写出点

A

，点B，点C的坐标及抛物

线的解析式；

（

2

）在直线AC上方

的

抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；

（3）将线段OA绕x轴上的动点,0Pm

顺时针旋转90°得到线段OA



，若线段OA



与抛物线只有一个公共点，请

结合函数图象，求

m

的取值范围．

25.如图，O为等边ABC的外接圆，半径为3，点

D

在劣弧

AB上运动（不与点

A

，B重合），连接DA，DB，

DC．

（1）求证：DC是

ADB的平分线；

（

2

）四边形ADBC的面积

S

是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；

（

3

）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点

D

运动到每一个确定的位置，DMN

的周长有最小值

t

，随着点

D

的运动，

t

的值会发生变化，求所有

t

值中的最大值．

西外教育集团2022学年第一学期初三级期末质量检测数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．）

1.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）

A.B.C.D.

B

【详解】解：根据中心对称图形的概念可得：图形

B

不是中心对称图形．

故选：

B

．

2.

抛物线

y

＝（

x

﹣

2

）2

﹣

1

的对称轴是（）

A.x

＝

2B.x

＝﹣

2C.x

＝﹣

1D.x

＝

1

A

【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决．

【详解】∵抛物线

y=

（

x-2

）

2-1

，

∴该抛物线的对称轴是直线

x=2

，

故选

A

．

【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

3.下列各点中在反比例函数

2

y

x



的图象上的点是（）

A.

(-1,

-2)

B.

(1,

-2)

C.

(1,

2)

D.

(2,

1)

B

【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数图像上的点应该满足函数解析式，即点的横纵坐标的积等于比例系数

k．把各个点代入检验即可

【详解】解：反比例函数

2

y

x



中，k＝−2，

四个答案中只有

B

的横纵坐标的积等于

−2

，

故答案选：

B.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．

4.

如图，

点

A

，

B

，

C

都在⊙

O

上，∠

CAB

＝

70°

，则∠

COB

的度数为（）

A.70°B.80°C.120°D.140°

D

【分析】由∠

CAB=70°

，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求

得∠

COB

的度数．

【详解】∵点

A

、

B

、

C

都在⊙

O

上，且点

A

在弦

AB

所对的优弧上，∠

CAB=70°

，

∴∠

COB=2

∠

CAB=2×70°=140°

．

故选

D

．

【点睛】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧

所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．

5.若方程23640xx的两个根为

1

x，

2

x，则（）

A.

12

6xx

B.

12

6xx

C.

12

2xx

D.

12

2xx

C

【分析】直接根据根与系数的关系求解．

【详解】解：∵方程

23640xx的两个根为

1

x，

2

x，

∴

12

6

2

3

xx，

故选：

C

．

【点睛】本题考查了一元二次方程中根与系数的关系，能够熟练运用韦达定理是解决本题的关键．

6.

“任意画一个三角形，其内角和是

360°”

，这一事件是（）

A.

必然事件

B.

不可能事件

C.

随机事件

D.

以上选项均不正确

B

【分析】直接利用三角形内结合定理结合不可能事件的定义分析得出答案．

【详解】任意画一个三角形，其内角和是

360°”

，这一事件是不可能事件．

故选

B

．

【点睛】此题主要考查了随机事件以及三角形内角和定理，正确各种事件的定义是解题关键．

7.

已知圆的直径为

10cm

，圆心到某直线的距离为

4.5cm

，则该直线与圆的位置关系是（）

A.

相交

B.

相切

C.

相离

D.

以上都不对

A

【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离

d

，再与半径

r

进行比较．若

d

＜

r

，则直线与圆

相交；若

d=r

，则直线于圆相切；若

d

＞

r

，则直线与圆相离．

【详解】∵圆的直径为

10cm

，

∴圆的半径为

5cm

，

∵圆心到直线的距离

4.5cm

，

∴圆的半径＞圆心到直线的距离，

∴直线于圆相交，

故选

A

．

【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离

d

与圆半径大小关系完成判

定．

8.

在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的

3

个红球和

11

个黄球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概

率是

()

A.

3

11

B.

8

11

C.

11

14

D.

3

14

D

【分析】根据题意分析可得∶共11314个球，其中

3

个红球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球

的

概率

是

3

14

。

【详解】解：P（摸到红球）

3

14



故本题答案为

D

．

【点睛】此题考查概率的求法∶如果一个事件有

n

种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件

A

出现

m

种结果，

那么事件A的概率

m

PA

n

。9.如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆

时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）

A.30°B.45°C.90°D.135°

D

【分析】利用旋转的性质得到∠

AOC

为旋转角，然后利用∠

AOB

＝

45°

得到∠

AOC

的度数即可．

【详解】解：∵△

COD

是由△

AOB

绕点

O

按逆时针方向旋转而得，

∴∠

AOC

为旋转角，

∵∠

AOB

＝

45°

，

∴∠

AOC

＝

45

°

+90

°

=135°

，即旋转角为

135°

．

故选：

D

．

【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

旋转前、后的图形全等．

10.将二次函数223yxx

的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线

yxb

与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）

A.

21

4

或3B.

13

4

或3C.

21

4

或3D.

13

4

或3

A

【分析】由二次函数解析式223yxx

，可求与x轴的两个交点A、B，直线

yxb

表示的图像可看做是直

线yx的图像平移

b

个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线yx经过

B

点时，恰与所给图像

有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线

yx

经过C点时，恰与所给图像有三个交点，即直线

yxb

与函数223yxx

关于x轴对称的函数2=23yxx图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等

于

0

，即可求解．

【详解】解：由223yxx

知，当

0y时，即

2230xx解得：

12

1,3xx

1,0,3,0AB作函数

yx的

图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：

03b3b平移图像至过点

C

时，恰与所给图像有三个交点，即当13x时，只有一个交点

当13x的函数图像由223yxx

的图像关于x轴对称得到



当13x时对应的解析式为

2=23yxx

即223

yxb

yxx





，整理得：

2330xxb

234132140bb

21

4

b综上所述3b或

21

4



故答案是：

A

．

【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、

二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找

到满足题意的条件．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）

11.

点

P

（﹣

2

，﹣

3

）关于原点对称的点的坐标是

_____

．

（

2

，

3

）．

【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

【详解】由题意，得

点

P

（

-2

，

-3

）关于原点对称的点的坐标是（

2

，

3

），

故答案为（

2

，

3

）．

【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于

x

轴对称的点，

横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于

y

轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐

标与纵坐标都互为相反数．

12.

从一副扑克牌中级抽取一张，①抽到王牌；②抽到

Q

；③抽到梅花．上述事件，概率最大的是

_____

．

③抽到梅花．

【分析】根据概率公式先求出各自的概率，再进行比较，即可得出答案．

【详解】∵一副扑克牌有54张，王牌有2张，抽到王牌的可能性是

21

=

5427

；

Q牌有4张，抽到Q牌的可能性是

42

=

5427

；

梅花有13张，抽到梅花牌的可能性是

13

54

；

∴概率最大的是抽到梅花；

故答案为③抽到梅花．

【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率

=

所求情况数与总情况数之比．

13.

一个扇形的圆心角是

120°

．它的半径是

3cm

．则扇形的弧长为

__________cm

．

2π

【详解】分析：根据弧长公式可得结论．详解：根据题意，扇形的弧长为

1203

180



=2π，

故答案为

2π

点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．

14.

一个矩形的长比宽多

2

，面积是

100

，若设矩形的宽为

x

，列出关于

x

的方程是

_____

．

x

（

x+2

）＝

100

．

【分析】设矩形的宽为

x

，则矩形的长为（

x+2

），利用矩形的面积公式，即可得出关于

x

的一元二次方程，此题得

解．

【详解】设矩形的宽为

x

，则矩形的长为（

x+2

），

根据题意得：

x

（

x+2

）

=100

．

故答案为

x

（

x+2

）

=100

．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15.如图，点A、B、C、D、都在⊙O上，AB是直径，弦AC＝6，CD平分∠ACB，BD＝52，则BC的长等于_____．

8

【分析】连接

AD

，由

AB

是直径知∠

ACB=

∠

ADB=90°

，由

CD

是∠

ACB

平分线得

∠

ACD=

∠

BCD=

∠

BAD=

∠

ABD=45°

，根据

BD

的长度可得

AB=10

，再根据勾股定理可得答案．

【详解】如图所示，连接

AD

，

∵AB是直径，

∴∠

ACB=

∠

ADB=90°

，∵

CD

平分∠

ACB

，

∴∠

ACD=

∠

BCD=45°

，

∴∠

BAD=

∠

ABD=45°

，

∵BD=52，

∴AB=2BD=10，

∵

AC=6

，

∴

BC=8

，

故答案为

8

．

【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相

等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，

90°

的圆周角所对的弦是直

径．

16.

如图，正方形ABCD中，5cmAB，以B为圆心，1cm为半径画圆，点

P

是B上一个动点，连接

AP

，并

将

AP

绕点

A

逆时针旋转

90°

至AP，连接BP

，在点

P

移动的过程中，BP

长度的取值范围是

______cm．

521521BP

【分析】本题分成两种情况，当’P在对角线BD上时或当’P

在对角线BD的延长线上时，根据两种情况分别讨论即可．

【详解】解：如图，当’P在对角线BD上时，’BP最小，当’P在对角线BD的延长线时，’BP最大，连接BP，

当’P再对角线BD上时，

由旋转得：’APAP，'90PAP，

∴

'90PABBAP∠

，

∵四边形ABCD为正方形，

∴ABAD，90BAD，

∴’’90BAPDAP＋，

∴’PABDAP，

∴’PABPAD≌，

∴’1PDPB，

在RtABD中，

∵5ABAD，

由勾股定理可得：

225552BD，

∴521BPBDPD



，

即’BP长度的最小值为521

cm，

当’P在对角线BD的延长线上时，

同理可得

225552BD，

∴521BPBDPD



，

∴’BP长度的取值范围为：521521BP

，

故答案为：521521BP

．

【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点

P’

的运动轨迹是解决本题的关键．

三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.解方程：228xx

x

1

=4,x

2

=-2

【详解】∵x2-2x-8=0

∴

(x-4)(x+2)=0

∴

x

1=4,x2=-2

18.如图，已知ABO，点

A

、B坐标分别为2,4

、2,1

．

（1）把ABO绕着原点O顺时针旋转90得

11

ABO

，画出旋转后的

11

ABO

；

（2）在（1）的条件下，点B旋转到点

1

B

经过的路径的长为______．（结果保留

）

（1）见解析（2）

5

2



【分析】（1）分别作出

A

，B的对应点

1

A

，

1

B

即可．

（

2

）利用弧长公式计算即可．

【小问

1

详解】

如图，△

11

ABO

即为所求作．

【小问2详解】

∵

22215OB，

∴点B旋转到点

1

B

经过的路径的长

9055

1802

π

π



．故答案为：

5

2

．

【点睛】本题考查作图



旋转变换，弧长公式等知识，熟练掌握基本知识，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题

的关键．属于中考常考题型．

19.

二次函数

y

＝

ax2+2x+c

的图象经过（﹣

1

，

0

）（

3

，

0

）两点．

（

1

）求该二次函数的解析式；

（

2

）求该二次函数图象与

y

轴交点的坐标．

（

1

）

y

＝﹣

x

2+2x+3

；（

2

）（

0

，

3

）．

【分析】（

1

）将已知

A

与

B

坐标代入二次函数解析式求出

a

与

c

的值，即可确定出二次函数解析式；

（

2

）令

x=0

，即可求得．

【详解】（

1

）∵二次函数

y=ax

2+2x+c

的图象经过（

-1

，

0

）（

3

，

0

）两点．

∴

20

960

ac

ac











＝

＝

，

解得：

1

3

a

c

＝

＝









，

∴抛物线的解析式是

y=-x

2+2x+3

；

（

2

）令

x=0

，则

y=3

，

∴该二次函数图象与

y

轴交点的坐标为（

0

，

3

）．

【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

20.

如图，在

Rt

△

ABC

中，∠

C

＝

90°

，

AD

是∠

BAC

的角平分线，以

AB

上一点

O

为圆心，

AD

为弦作⊙

O

．

（

1

）尺规作图：作出⊙

O

（不写作法与证明，保留作图痕迹）；

（

2

）求证：

BC

为⊙

O

的切线．

（1）作图见解析；（2）证明见解析．

【分析】（

1

）因为

AD

是弦，所以圆心

O

即在

AB

上，也在

AD

的垂直平分线上，作

AD

的垂直平分线，与

AB

的交

点即为所求；

（

2

）因为

D

在圆上，所以只要能证明

OD

⊥

BC

就说明

BC

为

⊙O

的切线．

【详解】解：（

1

）如图所示，

⊙O

即为所求；

（2）证明：连接OD．

∵

OA

＝

OD

，

∴∠

OAD

＝∠

ODA

，

∵

AD

是∠

BAC

的角平分线，

∴∠

CAD

＝∠

OAD

，

∴∠

ODA

＝∠

CAD

，

∴

OD

∥

AC

．

又∵∠

C

＝

90

°，

∴∠

ODB

＝

90

°，

∴

BC

是

⊙O

的切线．

【点睛】本题主要考查圆的切线，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．

21.

以物联网、大数据、人工智能为基础的技术创新促进了新行业发展，新行业发展对人才的需求更加旺盛，某大

型科技公司上半年新招聘总线、测试、软件、硬件四类专业的毕业生共

30

人，新招聘毕业生的专业分布情况绘制

成如下不完整的条形图．请根据以上信息，解答下列问题：

（1）“总线”专业有______人，并补全条形图；

（

2

）新招聘“软件”专业的毕业生中只有两人是同校毕业，该公司从新招聘“软件”专业的毕业生中随机抽取两

人参加问卷调查，求抽到两人恰好是同校毕业的概率．（

1

）“总线”专业有

8

人，统计图见详解；

（2）抽到两人恰好是同校毕业的概率为

1

6

；

【分析】（

1

）由总人数减去其它三类专业的毕业人数得出“总线”专业人数，补全条形统计图即可；

（

2

）画出树状图，共有

12

个等可能的结果，其中抽到两人敲好是同校毕业的结果有

2

个，再由概率公式求解即可．

【小问

1

详解】

“总线”专业有：3012468（人），

故答案为：

8

，

补全条形图如图所示：

【小问2详解】

解：把同校毕业的两人记为

A

、’A，其他两人记为B、C，画树状图如图：

共有12个等可能的结果，其中抽到两人恰好是同校毕业的结果有

2

个，

∴抽到两人恰好是同校毕业的概率为

21

126

．

【点睛】本题考查了列表法与树状图法，通过列表法或树状图法展示所有等可能结果求出

n

，在从中选出符合事件

A

或事件B的概率，也考查了条形统计图．

22.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝1

k

x

（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，

再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y＝

1

k

x

（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线y＝k

2x+b

与

y

轴交于点

C

．

（

1

）求

a

的值及点

C

的坐标．

（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．（3）结合图象，直接写出

1

k

x

≤k

2x+b的解集．

（1）

3a

；C（0，9）；（2）S

△ABD＝4；（3）24x

【分析】（1）由点A（2，6）求出反比例函数的解析式为y＝

12

x

，进而求得B（4，3），由待定系数法求出直线AB

的解析式为y＝−

3

2

x＋9，即可求出C点的坐标；

（

2

）由（

1

）求出

CD

，根据

S

△ABD＝

S△BCD−S△ACD可求得结论；

（

3

）直接根据函数图像解答即可．

【详解】解：（1）把点A（2，6）代入y＝

1

k

x

，

1

k

＝2×6＝12，

∴反比例函数的解析式为y＝

12

x

，

∵将点

A

向右平移

2

个单位，

∴

x

＝

4

，

当x＝4时，y＝

12

4

＝3，

∴

B

（

4

，

3

），

∴633a，

直线

AB

的解析式为

y

＝

k

2x+b

，

由题意可得

2

2

62

34

kb

kb







＝＋

＝＋

，

解得

2

3

2

9

k

b















，

∴y＝−

3

2

x＋9，

当

x

＝

0

时，

y

＝

9

，

∴

C

（

0

，

9

）；

（

2

）由（

1

）知

CD

＝

9−5

＝

4

，

∴S

△ABD＝S△BCD−S△ACD＝

1

2

CD•|xB|−

1

2

CD•|xA|＝

1

2

×4×4−

1

2

×4×2＝4；

（

3

）∵

A

（

2

，

6

）,

B

（

4

，

3

），

根据图像可知

1

k

x

≤k

2x+b的解集为24x．

【点睛】本题考查了反比例函数系数

k

的几何意义，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，求得直线

AB

的解析式是解题的关键．

23.

如图，有一块矩形铁皮（厚度不计），长

10

分米，宽

8

分米，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四

周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．

（1）若无盖方盒的底面积为48平方分米，那么铁皮各角应切去边长

是多少分米的正方形？

（

2

）若要求制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的

2

倍，并将无盖方盒内部进行防锈处理，侧面每平方分米的

防锈处理费用为

0.5

元，底面每平方分米的防锈处理费用为

2

元，问铁皮各角切去边长是多少分米的正方形时，总

费用最低？最低费用为多少元？

（

1

）铁皮各角应切去边长是

1

分米的正方形；

（

2

）当铁皮各角切去边长是

3

分米的正方形时，总费用最低，最低费用为

20

元；

【分析】（

1

）设铁皮各角应切去边长是x分米的正方形，则无盖方盒的底面长为102x（）分米，宽为82x（）分米

的矩形，根据矩形的面积公式结合无盖方盒的底面积为

48

分米，即可得到关于

x

的一元二次方程，解之取其较小

值即可得出结论；

（

2

）设铁皮各角切去边长是

m

分米，防锈总费用为

w

元，由无盖方盒的底面长不大于底面宽的3倍可得出关于

m

的一元一次不等式，解之得出

m

的取值范围，再根据题意列出关于总费用的函数关系式，根据二次函数的性质即可

解决最值问题．

【小问

1

详解】

解：设铁皮各角应切去边长是x分米的正方形，则无盖方盒的底面长为102x（）分米，宽为82x（）分米的矩形，

又题意得：1028248xx（）（），

整理得：

2980xx，解得：

1

1x

，

2

8x

，

∵820x，

∴4x，

∴

x1

，答：铁皮各角应切去边长是

1

分米的正方形；

【小问

2

详解】

解：设铁皮各角切去边长是

m

分米的正方形，防锈处理所需的总费用为

w

元，

∵制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的

3

倍，

∴102282mm

，

解得：3m，

根据题意得：20.5214160wmmmmmmmm





，

∴4a，54b，

∴当03m时，

w

的值随

m

的值的增大而减小，

∴当3m，

w

取得最小值，最小值为34，

答：当铁皮各角切去边长是

3

分米的正方形时，总费用最低，最低费用为

20

元．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用以及二次函数的性质，解题的关键是，找准等量

关系，正确列出一元二次方程，根据数量之间的关系，找出

w

关于

m

的函数关系式．

24.如图，直线

1

3

2

yx交

y

轴于点

A

，交x轴于点C，抛物线

2

1

4

yxbxc经过点

A

，点C，且交

x轴

于另一点B．

（1）直接写出点

A

，点B，点C的

坐标及抛物

线的解析式；

（

2

）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；

（3）将线段OA绕x轴上的动点,0Pm

顺时针旋转90°得到线段OA



，若线段OA



与抛物线只有一个公共点，请

结合函数图象，求

m

的取值范围．（1）03A（，），20B（，），60C（，），抛物线解析式为：

2

1

3

4

yxx

；

（2）

3a

时，四边形ABCM面积最大，其最大值为

75

4

，此时

M

的坐标为

15

3,

4







；

（3）当26323m或2633m时，线段OA



与抛物线只有一个公共点．

【分析】（1）解：令0x，得

1

33

2

yx

，得03A（，），令

0y，由

1

3

2

yx，得C点坐标，将A、C

的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数的解析式令0y，即可求得B点坐标；

（2）过M点作MNx轴，与AC交于点N，设

2

1

3

4

Maaa









，

，则

1

3

2

Naa







，

，由三角形的面积

公式表示出四边形的面积关于

A

的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得

a

的值，即可得

M

点

的坐标；

（

3

）根据旋转的性质，求得O



点和

A



点的坐标，令O



点和

A



点在抛物线上时，求出

m

的最大值和最小值即可．

【小问

1

详解】

解：令0x，得

1

33

2

yx

，

∴03A（，），

令0y，得

1

03

2

x，解得：6x，

∴60C（，），

将：03A（，），60C（，）代入

2

1

4

yxbxc得，

960

3

bc

c











，解得

1

3

b

c











，

∴抛物线的解析式为：

2

1

3

4

yxx

，

将0y，代入

2

1

3

4

yxx

中，

解得：2x，或6x，

∴20B（，）；

【小问

2

详解】

解：过M点作MNx轴，与AC交于点N，如下图，

设

2

1

3

4

Maaa









，

，则

1

3

2

Naa







，

，

∴

22

1119

3

13

36

224422ACM

aSMNOCaaaa













，

∵

11

62312

22ABC

SBCOA



，

∴2

2

975

123

42

33

44ABCABC

ABC

SSSaaa



四边形

，

∴当

3a

时，四边形ABCM面积最大，其最大值为

75

4

，此时

M的

坐标为

15

3,

4







；

【小问

3

详解】

解：∵将线段OA绕x轴上的动点0Pm（，）顺时针旋转90得到线段OA



，如图：

∴

POPOm





，3







AOOA，

∴Omm



，

，3Amm



，

，

当3Amm



，

在抛物线上时，21

3

4

33mmm，

解得：263m，

当点Omm



，

在抛物线上时，有

2

1

3

4

mmm，

解得，23m，

∴当26323m或2633m时，线段OA



与抛物线只有一个公共点．

【点睛】本题是几何变换的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与

坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，熟练掌握二次函数的图形与性质，数形结合是解题的关键．

25.如图，O为等边ABC的外接圆，半径为3，点

D

在劣弧

AB上运动（不与点

A

，B重合），连接DA，DB，

DC．

（1）求证：DC是

ADB的平分线；

（

2

）四边形ADBC的面积

S

是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；

（

3

）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点

D

运动到每一个确定的位置，DMN

的周长有最小值

t

，随着点

D

的运动，

t

的值会发生变化，求所有

t

值中的最大值．

（

1

）证明见详解；

（

2

）四边形ADBC的面积

S

是线段DC的长x的函数；证明见详解

（3）t的最大值为63

【分析】（

1

）根据ABC是等边三角形，60ABCBACACB，则60ADCABC，则

60BDCBAC，由此可得ADCBDC，则DC是ADB的角平分线；

（

2

）如图

1

，将ADC绕点逆时针旋转60得到BHC，则CDCH，DACHBC，根据四边形ACBD

是圆内接四边形，则D180DACBC，进而可得180DBCHBC，则点

D

，点

B

，点

H

三点共

线，根据DCCH，60CDH，由此可知DCH是等边三角形，根据四边形ADBC的面积

2

3

4ADCBDCCDH

SSSSCD



，可知

2

3

4

Sx；

（

3

）如图

2

，作点

D

关于直线AC的对称E，作点

D

关于直线BC的对称点F，根据点

D

，点E关于直线AC对

称，可知EMDM，同理可知DNNF，根据DMN的周长

=DMDNMNFNEMMN，则当点

E，点M，点N，点F四点共线时，则DMN的周长有最小值，则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接

CE，CF，DE，DF，作CPEF于点

P

，故DMN的周长最小值为EFt，根据点

D

，点E关于直线

AC

对称，则CECD，ACEACD，根据点

D

，点

F

关于直线

BC

对称，则CFCD，DCBFCB，

故CDCECF，2120ECFACEACDDCBFCBACB°，根据

120CPEFCECFECF，，°，则30EPPFCEP，，可得

1

2

PCEC，

3

3

2

PEPCEC，

故233EFPEECCDt，故当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值，根据CD为O的弦，

所以CD为直径时，CD有最大值6，故t的最大值为63．

【小问

1

详解】

解：∵ABC是等边三角形，

∴60ABCBACACB，

∵60ADCABC，

60BDCBAC，

∴ADCBDC，

∴DC是

ADB的角平分线；

【小问

2

详解】

解：四边形ADBC的面积

S

是线段DC的长x的函数，

理由如下：如图

1

，将ADC△绕点逆时针旋转60得到BHC△，

∴CDCH，DACHBC，

∵四边形ACBD是圆内接四边形，

∴D180DACBC，

∴180DBCHBC，

∴点

D

，点

B

，点

H

三点共线，

∵DCCH，60CDH，∴DCH是等边三角形，

∵四边形ADBC的面积

2

3

4ADCBDCCDH

SSSSCD



，

∴

2

3

4

Sx；

【小问

3

详解】

如图

2

，作点

D

关于直线

AC

的对称

E

，作点

D

关于直线

BC

的对称点

F

，

∵点

D

，点E关于直线AC对称，

∴EMDM，

同理DNNF，

∵DMN的周长

=DMDNMNFNEMMN，

∴当点E，点M，点N，点F四点共线时，

DMN的周长有最小值，

则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，作CPEF于点

P

，

∴DMN的

周长最小值为EFt，

∵点

D

，点E关于直线

AC

对称，

∴CECD，ACEACD，

∵点

D

，点

F

关于直线

BC

对称，

∴CFCD，DCBFCB，

∴CDCECF，2120ECFACEACDDCBFCBACB°，

∵120CPEFCECFECF，，°，

∴30EPPFCEP，，

∴

1

2

PCEC，

3

3

2

PEPCEC==

，∴233EFPEECCDt，

∴当CD有最大值时，EF有最大值，即

t

有最大值，

∵CD为O的弦，

∴CD为直径时，CD有最大值

6

，

∴t的最大值为63．

【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质等知识，

灵活运用这些性质，进行推理是解答本题的关键．