负数的意义

比零小（<0）的数．用负号（即相当于减号）“－”标记．如-2,-5.33,-45/77,

-π．参见：非负数（Nonnegative）,负数（negativenumber）正数

（Positive）,零（Zero），负号/减号（MinusSign）．例1、我们在小

学学过自然数1,2,3,...;一个物体也没有,就用0来表示,测量和计算有时不能得到

整数的结果,这就要用分数和小数表示.同学们还见过其他种类的数吗?

现在有两个温度计,温度计液面指在0以上第6刻度,它表示的温度是6℃,那么温

度计液面指在0以下第6刻度,这时的温度如何表示呢?提示：如

果还用6℃来表示,那么就无法区分是零上6℃还是零下6℃，因此我们就引入一

种新数——负数.参考答案：记作-6℃.说明：我们为了区

分零上6℃与零下6℃这一组具有相反意义的量，因而引入了负数的概念.

例2、下面我们再看一个例子,从中国地形图上可以看到,有一座世界最高峰——

珠穆朗玛峰,图上标着8844;还有一个吐鲁番盆地,图上标着-155.你能说出

它们的高度各是多少吗?提示：中国地形图上可以看到,上述两处都标

有它们的高度的数,图上标的数表示的高度是相对海平面说的,通常称为海

拔高度.8844表示珠穆朗玛峰比海平面高8844米,-155表示吐鲁番盆地比海平

面低155米.参考答案：珠穆朗玛峰的高度是海拔8844米;吐鲁

番盆地的高度是海拔-155米.说明：这个例子也说明了我们为了实际

需要引入负数,是为了区分海平面以上与海平面以下高度,它们也表示具有

相反意义的量.例3、甲地海拔高度是35米乙地海拔高度是15米，丙地

海拔高度是-20米，请问哪个地方最高，哪个地方最低？最高的地方比最

低的地方高多少？提示：35米，15米，-20米分别表示什么意义？

参考答案：甲地最高，丙地最低，最高的地方比最低的地方高55米。说

明：35米表示高出海平面35米，15米表示高出海平面15米，-20米表

示低于海平面20米，所以甲地最高，丙地最低，且甲地比丙地高55米。

例4、我们已经知道，具有相反意义的量可以用正，负数表示。例如：零上5℃

和零下6℃可记为+5℃和-6℃；高出海平面10米和低于海平面8米可记

为+10米和-8米；收入200元和支出300元可记为+200元和-300元；

前进30米和后退40米可记为+30米和-40米，请问上升7米和向东运动9米

可记为+7米和-9米吗？提示：上升和向东运动是具有相反意

义的量吗？参考答案：不可以记为+7米和-9米。说明：具

有相反意义的量必须满足两个条件：（1）它们必须是同一属性的量；（2）它

们的意义相反。上升和下降；向东运动和向西运动才是相反意义的量，因

为上升和向东运动不是具有相反意义的量，所以不可以记为+7米和-9米。

-π是超越数，不是有理数[编辑本段]负数的由来人们在生活中经常会

遇到各种相反意义的量。比如,在记账时有余有亏;在计算粮仓存米时,有时要记进

粮食,有时要记出粮食。为了方便，人们就考虑了相反意义的数来表示。于是人

们引入了正负数这个概念，把余钱进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负。可见

正负数是生产实践中产生的。据史料记载，早在两千多年前,我国就有了正

负数的概念，掌握了正负数的运算法则。人们计算的时候用一些小竹棍摆出各种

数字来进行计算。比如，356摆成|||，3056摆成等等。这些小竹棍叫做“算筹”

算筹也可以用骨头和象牙来制作。我国三国时期的学者刘徽在建立负数的

概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义，他说：“今两算得失相反，

要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数

和负数来区分它们。刘徽第一次给出了正负区分正负数的方法。他说：“正

算赤，负算黑；否则以邪正为异”意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数，

用黑色的小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍

表示正数。我国古代著名的数学专著《九章算术》（成书于公元一世纪）

中，最早提出了正负数加减法的法则：“正负数曰：同名相除，异名相益，正无

入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”这

里的“名”就是“号”，“除”就是“减”，“相益”、“相除”就是两数的绝

对值“相加”、“相减”，“无”就是“零”。用现在的话说就是：“正

负数的加减法则是：同符号两数相减，等于其绝对值相减，异号两数相减，等于

其绝对值相加。零减正数得负数，零减负数得正数。异号两数相加，等于其绝对

值相减，同号两数相加，等于其绝对值相加。零加正数等于正数，零加负数等于

负数。”这段关于正负数的运算法则的叙述是完全正确的，与现在的法则

完全一致！负数的引入是我国数学家杰出的贡献之一。用不同颜色的数表

示正负数的习惯，一直保留到现在。现在一般用红色表示负数，报纸上登载某国

经济上出现赤字，表明支出大于收入，财政上亏了钱。负数是正数的相反

数。在实际生活中，我们经常用正数和负数来表示意义相反的两个量。夏天武汉

气温高达42°C，你会想到武汉的确象火炉，冬天哈尔滨气温-32°C一个负号让

你感到北方冬天的寒冷。在现今的中小学教材中，负数的引入，是通过算

术运算的方法引入的：只需以一个较小的数减去一个较大的数，便可以得到一个

负数。这种引入方法可以在某种特殊的问题情景中给出负数的直观理解。而在古

代数学中，负数常常是在代数方程的求解过程中产生的。对古代巴比伦的代数研

究发现，巴比伦人在解方程中没有提出负数根的概念，即不用或未能发现负数根

的概念。3世纪的希腊学者丢番图的著作中，也只给出了方程的正根。然而，在

中国的传统数学中，已较早形成负数和相关的运算法则。除《九章算术》

定义有关正负运算方法外，东汉末年刘烘（公元206年）、宋代扬辉（1261年）

也论及了正负数加减法则，都与九章算术所说的完全一致。特别值得一提的是，

元代朱世杰除了明确给出了正负数同号异号的加减法则外，还给出了关于正负数

的乘除法则。他在算法启蒙中，负数在国外得到认识和被承认，较之中国要晚得

多。在印度，数学家婆罗摩笈多于公元628年才认识负数可以是二次方程的根。

而在欧洲14世纪最有成就的法国数学家丘凯把负数说成是荒谬的数。直到十七

世纪荷兰人日拉尔（1629年）才首先认识和使用负数解决几何问题。与中

国古代数学家不同，西方数学家更多的是研究负数存在的合理性。16、17世纪

欧洲大多数数学家不承认负数是数。帕斯卡认为从0减去4是纯粹的胡说。帕

斯卡的朋友阿润德提出一个有趣的说法来反对负数，他说（-1）：1=1：（-1），

那么较小的数与较大的数的比怎么能等于较大的数与较小的数比呢？直到1712

年，连莱布尼兹也承认这种说法合理。英国数学家瓦里承认负数，同时认为负数

小于零而大于无穷大（1655年）。他对此解释到：因为a＞0时，英国著名代

数学家德·摩根在1831年仍认为负数是虚构的。他用以下的例子说明这一点：

“父亲56岁，其子29岁。问何时父亲年龄将是儿子的二倍？”他列方程56+x=2

（29+x），并解得x=-2。他称此解是荒唐的。当然，欧洲18世纪排斥负数的

人已经不多了。随着19世纪整数理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才真

正建立。[编辑本段]负数的应用负数被广泛应用于温度、楼层、海拔、

水位、盈利、增产/减产、支出/收入、得分/扣分等方面中。[编辑本段]负

数我国在《九章算术》《方程》章中就引入了负数（negativenumber）

的概念和正负数加减法的运算法则。在某些问题中，以卖出的数目为正（因是收

入），买入的数目为负（因是付款）；余钱为正，不足钱为负。在关于粮谷计算

中，则以加进去的为正，减掉的为负。“正”、“负”这一对术语从这时起一直

沿用到现在。在《方程》章中，引入的正负数加法法则称为“正负术”。

正负数的乘除法则出现得比较晚，在1299年朱世杰编写的《算学启蒙》中，《明

正负术》一项讲了正负数加减法法则，一共八条，比《九章算术》更加明确。在

“明乘除段”中有“同名相乘为正，异名相乘为负”之句，也就是(±a)×(±b)=+ab，

(±a)×(b)=-ab，这样的正负数乘法法则，是我国最早的记载。宋末李冶还创用

在算筹上加斜划表示负数，负数概念的引入是中国古代数学最杰出的创造之一。

印度人最早提出负数的是628年左右的婆罗摩笈多（约598-665）。他提出了

负数的运算法则，并用小点或小圈记在数字上表示负数。在欧洲初步认识提出负

数概念，最早要算意大利数学家斐波那契（1170-1250）。他在解决一个盈利

问题时说∶我将证明这个问题不可能有解，除非承认这个人可以负债。15世纪

的舒开（1445?-1510?）和16世纪的史提非（1553）虽然他们都发现了负数，

但又都把负数说成是荒谬的数，卡当（1545）给出了方程的负根，但他把它说

成是“假数”。韦达知道负数的存在，但他完全不要负数。笛卡儿部分地接受了

负数，他把方程的负根叫假根，因它比“无”更小。哈雷奥特（1560-1621）

偶然地把负数单独地写在方程的一边，并用“－”表示它们，但他并不接受负数。

邦别利（1526-1572）给出了负数的明确定义。史提文在方程里用了正、负系

数，并接受了负根。基拉德（1595-1629）把负数与正数等量齐观、并用减号

“-”表示负数。总之在16、17世纪，欧洲人虽然接触了负数，但对负数的接

受的进展是缓慢的。