十字相乘法的步骤

十字相乘法分解因式之宇文皓月创作

因式分解一般要遵循的步调

多项式因式分解的一般步调：先考虑能否提公因式，再

考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对

于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步调反复进

行．以上步调可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后

考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法

反复试，结果应是乘积式”．

1．二次三项式

（1）多项式cbxax2，称为字母的二次三项式，其中称为二次

项，为一次项，为常数项．

例如：322xx和652xx都是关于x的二次三项式．

（2）在多项式2286yxyx

中，如果把看作常数，就是关于的二

次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．

（3）在多项式37222abba中，把看作一个整体，即，就是关

于的二次三项式．同样，多项式

12)(7)(2yxyx

，把看作一个

整体，就是关于的二次三项式．

2．十字相乘法的依据和具体内容

(1)对于二次项系数为1的二次三项式

))(()(2bxaxabxbax

方法的特征是“拆常数项，凑一次项”

当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符

号与一次项系数的符号相同；

当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对

值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

例1、因式分解。

分析：因为

7x+(-8x)=-x

解：原式=（x+7）（x-8）

例2、因式分解。

分析：因为

-2x+（-8x）=-10x

解：原式=（x-2）（x-8）

(2)对于二次项系数不是1的二次三项式

cbxax2))(()(

2211211221

2

21

cxacxaccxcacaxaa

它的特征是“拆两头，凑中间”

当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，

然后再看常数项；

常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项

系数的符号相同；

常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两

数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同

注意：用十字相乘法分解因式，还要注意防止以下两种错误出

现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次

项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．

例3、因式分解。

分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法

进行因式分解。

因为

9y+10y=19y

解：原式=（2y+3）（3y+5）

例4、因式分解。

分析：因为

21x+(-18x)=3x

解：原式=（2x+3）（7x-9）

例5、因式分解。

分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。

因为

-25（x+2）+[-4(x+2)]=-29（x+2）

解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]

=（2x-1）（5x+8）

例6、因式分解。

分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法

分解，接着再套用一次十字相乘。

因为

-2+[-12]=-14a+(-

2a)=-a3a+（-4a）=-a

解：原式=[-2][-12]

=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)

从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解

因式十分方便，大家一定要熟练掌握。但要注意，其实不是所

有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就

不克不及再进一步因式分解了

二、典型例题

例1把下列各式分解因式：

(1)1522xx；

(2)2265yxyx

．

例2把下列各式分解因式：

(1)3522xx；

(2)3832xx．

例3把下列各式分解因式：

(1)91024xx；(2)

)(2)(5)(723yxyxyx

；

(3)

120)8(22)8(222aaaa

．

例4分解因式：

90)242)(32(22xxxx

．

例5分解因式653856234xxxx．

例6分解因式

655222yxyxyx

．

例7分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．

例8、已知12624xxx有一个因式是42axx，求a值和这个

多项式的其他因式．

试一试：

把下列各式分解因式：

(1)22157xx(2)2384aa(3)2576xx(4)261110yy

(5)2252310abab(6)222231710ababxyxy

(7)22712xxyy

(8)42718xx(9)22483mmnn(10)53251520xxyxy

课后练习

一、选择题

1．如果

))((2bxaxqpxx

，那么p等于()

A．abB．a＋bC．－abD．－(a＋b)

2．如果

305)(22xxbxbax

，则b为()

A．5B．－6C．－5D．6

3．多项式axx32可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为

()

A．10和－2B．－10和2C．10和2D．－10和－2

4．不克不及用十字相乘法分解的是()

A．22xxB．xxx310322C．242xxD．22865yxyx

5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是()

A．

20)(13)(22yxyx

B．

20)(13)22(2yxyx

C．

20)(13)(22yxyx

D．

20)(9)(22yxyx

6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有()

①672xx；②1232xx；③652xx；

④9542xx；⑤823152xx；⑥121124xx

A．2个B．3个C．4个D．5个

二、填空题

7．1032xx__________．

8．652mm(m＋a)(m＋b)．a＝__________，b＝

__________．

9．3522xx(x－3)(__________)．

10．2x____

22y

(x－y)(__________)．

11．

22____)(____(_____)a

m

n

a

．

12．当k＝______时，多项式kxx732有一个因式为

(__________)．

13．若x－y＝6，36

17

xy

，则代数式32232xyyxyx

的值为

__________．

三、解答题

14．把下列各式分解因式：

(1)6724xx；(2)36524xx；

(3)422416654yyxx

；

(4)633687bbaa；(5)234456aaa；

(6)422469374babaa．

15．把下列各式分解因式：

(1)2224)3(xx

；(2)

9)2(22xx

；

(3)2222)332()123(xxxx

；(4)

60)(17)(222xxxx

；

(5)

8)2(7)2(222xxxx

；(6)

48)2(14)2(2baba

．

16．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，

2633yx

，求a的值．