函数讲解

第三章函数

56

3.1.1函数的概念

【教学目标】

1.理解函数的概念，会求简单函数的定义域．

2.理解函数符号y＝f(x)的意义，会求函数在x＝a处的函数值．

3.通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．

【教学重点】

函数的概念及两要素，会求函数在x＝a处的函数值，求简单函数的定义域．

【教学难点】

用集合的观点理解函数的概念．

【教学方法】

这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出函数概

念，使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素．然后通过求函数值与定义域的两类题目，深化对

函数概念的理解．

【教学过程】

环节教学内容师生互动设计意图

导

入

1．试举出各类学过的一些函数例子．

2．初中函数定义

在一个变化过程中，有两个变量x

和y，如果给定一个x值，就相应地确

定了唯一的y值，那么我们就称y是x

的函数，其中x是自变量，y是因变量．

师：事物都是运动变化的，

如：气温随时间在悄悄变化；

我国的国内生产总值在逐年增

长等．在这些变化中，都存在

着两个变量，当一个变量变化

时，另一个变量随之发生变

化．在数学中，我们用函数来

描述两个变量之间的关系．

师：提出问题．

生：回忆解答．

师生共同回忆初中函数定

义．

为知识迁移做准

备．在阅读适量的例

子后再回顾引出初中

定义，由具体到抽象，

符合职校学生的认知

能力．

新

课

一、函数概念

1.问题1一辆汽车在一段平坦的道路

上以100km/h的速度匀速行驶2小时．

（1）在这个问题中，路程、时间、速度

这三个量，哪些是常量？哪些是变量？

（2）如何用数学符号表示行驶的路程s

（km）与行驶时间t（h）的关系？

（3）行驶时间t（h）的取值范围是什么？

（4）对于行驶时间中的每一个确定的t

学生阅读课本，讨论并回

答教师提出的问题．

问题一、二是为

突出本课重难点而设

计．

深度挖掘教材提

出的两个问题，在回

顾了初中的函数知识

的基础上，进一步讨

论自变量的取值范

围，以及自变量与因

数学基础模块上册

57

新

课

值，你能求出汽车行驶的路程吗？

（5）根据初中知识，关系式s＝100t

（0≤t≤2）表示的是函数关系吗？

2．问题2如果一个圆的半径用r表

示，它的面积用A表示．

（1）你能用数学符号表示圆的面积A与

它的半径r之间的关系吗？

（2）在A与r的关系式中，r的取值范

围是什么？

（3）关系式A＝r2（r＞0）表达的是一

种函数关系吗？因变量是哪个量？自变

量是哪个量？

3．两个事实

4．函数概念

设集合A是一个非空的数集，对A

内任意实数x，按照某个确定的法则f，

有唯一确定的实数值y与它对应，则称

这种对应关系为集合A上的一个函

数．记作：y＝f(x)．其中x为自变量，

y为因变量．自变量x的取值集合A

叫做函数的定义域．对应的因变量y的

取值集合叫做函数的值域．

5．

6．函数两要素：定义域和对应法则．

要检验给定两个变量之间的关系是

不是函数，只要检验：

教师针对学生的回答进行

点评．

师：从问题1和问题2中，

可以看到两个重要的事实：

（1）在每个例子中都指出

了自变量的取值集合；

（2）都给出了对应法

则．对自变量的一个值，都有

唯一的一个因变量值与之对

应．

教师引导学生学习函数的

概念．

学生阅读课本函数概念，

在理解的基础上记忆函数概

念．

师：函数关系实质是非空

数集到非空数集的对应关系．

师：函数的值域被函数的

定义域和对应法则完全确定．

变量的对应关系，为

顺利引出函数定义做

准备．

通过阅读讨论分

析，利用学生原有知

识结构．

结合问题1、2的

实例，降低对函数概

念的理解难度．

分析两个实例，归

纳得出两个事实，为

引出函数的概念做最

后的准备．

用图形能更直观

地表示两个重要事

实．

借助问题1、问题2

加深对函数概念的理

解．强调“集合A是

一个非空的数集”、

“法则”、“唯一”

等关键词语．

使学生理解函数关系

实质是非空数集到非

空数集的对应关系．

使学生明确

（1）函数值域不是函

数的要素的原因；

A

x．

A

x．

f：对应法则

y.

f：对应法则

.y.

第三章函数

58

新

课

（1）定义域是否给出；

（2）对应法则是否给出，并且根据这个

对应法则，能否由自变量x的每一个值，

确定唯一的y值．

例1判断下列图中对应关系是否是函

数：

7．有关符号：

(1)函数y＝f(x)也经常写作函数f(x)或

函数f．

(2)也可以将y是x的函数记为y＝

g(x)，或者y＝h(x)，等．

二、求函数值

函数y＝f(x)在x＝a处对应的函

数值y，记作y＝f(a)．

例2已知函数f(x)＝

1

2x＋1

．

求：f(0)，f(1)，f(－2)，f(a)．

解f(0)＝

1

0＋1

＝1，f(1)＝

1

2＋1

＝

1

3

，

f(－2)＝

1

－4＋1

＝－

1

3

．f(a)＝

1

2a＋1

．

学生讨论例题中的对应关

系是否满足函数的定义，并解

答之．

教师总结，一个自变量x

只能有唯一的y与之对应．

教师讲解函数符号的含

义．

学生分组讨论求解的方

法；

小组讨论后教师引导完

成．

教师引导学生求函数值．

（2）函数两要素的作

用．

利用函数的两要

素来判断两变量的关

系是否是函数关系还

需要在以后的学习中

加以巩固．

通过本例，使学生进

一步理解函数关系的

实质．

在本节中首次引

入了抽象的函数符号

f(x)，学生往往只接受

具体的函数解析式，

而不能接受f(x)，所

以应让学生从符号的

含义开始认识，这部

分教师必须讲解清

楚．

进一步加强学生对f

（a）的理解．

A

B

1

4

9

开平方

1

－1

2

－2

3

－3

A

B

4

5

6

2倍

8

10

12

A

1

－1

2

－2

1

4

5

6

B

平方

数学基础模块上册

59

练习1教材P61，练习A组第2题．

三、函数的定义域

函数关系式中，函数的定义域有时

可以省略，如果不特别指明一个函数的

定义域，那么这个函数的定义域就是使

函数有意义的全体实数构成的集合．

例3求函数y＝

x+3

x

的定义域．

解要使已知函数有意义，

当且仅当





x＋3≥0

x≠0

所以函数的定义域为

{x|x≥－3，x≠0}．

练习2教材P61，练习B组第2题．

教师强调函数的定义域是

一个集合．

总结求分式函数，偶次根式

函数的定义域的方法．

教师强调定义域的表示形

式．

学生讨论求解．

求定义域题目不

必过难，重点在理解

定义域的概念．

小

结

1.函数概念．

2.两要素．

3.函数符号．

4.定义域．

师生合作．

梳理总结也可针

对学生薄弱或易错处

进行强调和总结．

作

业

教材P61，练习A组第2(3)题；

练习B组第2(3)题．

巩固拓展．