九宫格数字

九宫格的解题过程

规律总结与创新思维培养

九宫格是一个著名数字游戏，在小学阶段，常用来激发学生学习

数学的兴趣。经过初高中阶段的学习，回头看巧填九宫格数字游戏,

可以发现一些规律,本文将这些规律总结出来与众人分享.在此基础上,

我们可以举一反三，得到许多有趣的结论。下面就来介绍一下填写过

程和从中总结得到的一些规律。

九宫格问题

将1－9九个数字分别填入下面的空格中，使每一行，每一列，

每一对角线的三个数字之和都相等。

九宫格填写过程主要有以下步骤。

第1步首先计算每行数字之和.

1－9九个数字之和:1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45

九宫格共有三行，并且每行的数字之和相等,因此45¸3＝15，即

每行数字之和为15。

第2步计算中间格的数字.

考虑第2行，第2列，和2条对角线的数字之和。它们的总和为

15＊4＝60。在它们的总和中，中间格子的数字出现了4次,其它位置

格子的数字都出现了而且仅出现了1次。

所以，它们的总和＝（4×中间格子的数字）＋（其它8个数字）

＝(3×中间格子的数字)＋(1－9九个数字之和）

因此，60＝3×中间格子的数字＋45，中间格子的数字等于5

第3步,奇数不能出现在4个角上的格子里。

比如,如果数字9出现在角上的格子里,那么为了保证9所在行或

所在列的数字和为15，必须需要4个数字,两两之和必须为6。1,2，

3,4，6，7,8中，只有2和4组成和为6的数字对，找到第2个和为6

的数字对是不可能的.因此，数字9不能出现在4个角上的格子里。

同样道理，1,3，7也不能出现在4个角上的格子里.

第4步，2，4,6,8必须填在4个角上的格子里，并且保证对角线

数字和为15.

第5步，将1，3，7，9填入相应的格子里就完成了九宫格填数

字任务，注意和为15的条件.

完成了填九宫格的任务后，我们进一步考虑,如果上面九宫格内

所有数字都加数字1会发生什么呢？即可不可以用数字2，3,4，5,6,7，

8，9，10填九宫格，得到每一行，每一列，每一对角线的三个数字

之和都相等的新九宫格呢。

显而易见，上面九宫格每行每列每对角线数字之和为18，奇数3，

5,7，9处在4个角上的格子里,中间数6处在中间的格子里。

从1－9和2－10各九个数字所填充的九宫格可以得出下列规律：

1）九个数字是由9个相连的整数构成的。

2）九个数字中正中间的数字填在九宫格的中间格子里。1－9中

的5,2-10中的6等.

3)每行每列的数字和等于中间数字的三倍.比如15＝5´3和

18=6´3.

4）第2，4,6，8位的数字填充到4个角上的格子里.如2,3，4,5，

6，7，8，9，10中的3,5，7，9和1,2，3，4，5，6，7，8,9中的2,4,6,8。

总结出上述规律后,有关九宫格的问题变简单了。如,已知9个相

连的整数填充的九宫格其每行数字和为45,求这九个数字.中间格数字

为45¸3＝15,15为正中间的数字，因此九个数字为11，12，13，14，

15，16，17,18，19.

又如，已知9个相连的整数填充的九宫格其每行数字和为96，

求九宫格4个角上格子里的数。96¸3＝32,得到九个数字为28，29，

30,31,32，33,34，35，36。4个角上的数字为29,31,33，35，其中35

和29为对角关系，31和33为对角关系.

学习了等差数列的概念后，我们知道1，2，3，4,5，6,7，8,9是

公差为1的等差数列，公差为d的等差数列是否也成立呢?比如公差

为3的等差数列，1,4，7,10,13，16,19，22，25,如何填九宫格呢。实

际上,规则是一样的,中间数字13的3倍39为每行数字之和，13填在

中间格子里,在此基础上，我们的思路就更加开阔了。例如九个整数

填充的九宫格其每行每列每对角线数字和为45,求这九个数字。首先

确定中间的数字，45¸3＝15。则45－4d，45－3d,45－2d,45－d,45，

45＋d，45＋2d，45＋3d，45＋4d的数字都满足要求,d为整数(不为0）。

如d＝10,则为5，15，25，35，45,55，65,75，85。

古人说,“学贵有疑。小疑则小进，大疑则大进".在学习中,我们要

注意归纳和演绎能力的培养，总结一些规律，不但增加了学习的有效

性和趣味性，对理解和掌握有关问题也很有益处.培育创新型人才既

是学校和老师的责任，也是我们学生要刻意磨练的目标。本文通过详

解九宫格问题,得到了一些有意义的结论和规律，而这些规律的获得

使我们对九宫格问题也有了更加深入的认识。