三维弹球

高中物理生活中的圆周运动易错剖析含解析

一、高中物理精讲专题测试生活中的圆周运动

1．如图所示，粗糙水平地面与半径为

R=0.4m

的粗糙半圆轨道

BCD

相连接，且在同一竖直

平面内，

O

是

BCD

的圆心，

BOD

在同一竖直线上．质量为

m=1kg

的小物块在水平恒力

F=15N

的作用下，从

A

点由静止开始做匀加速直线运动，当小物块运动到

B

点时撤去

F

，

小物块沿半圆轨道运动恰好能通过

D

点，已知

A

、

B

间的距离为

3m

，小物块与地面间的动

摩擦因数为

0.5

，重力加速度

g

取

10m/s2．求：

（

1

）小物块运动到

B

点时对圆轨道

B

点的压力大小．

（

2

）小物块离开

D

点后落到地面上的点与

D

点之间的距离

【答案】（

1

）

160N

（

2

）

0.82m

【解析】

【详解】

（

1

）小物块在水平面上从

A

运动到

B

过程中，根据动能定理，有：

（

F-μmg

）

x

AB=

1

2

mvB

2-0

在

B

点，以物块为研究对象，根据牛顿第二定律得：

2

B

v

Nmgm

R



联立解得小物块运动到

B

点时轨道对物块的支持力为：

N=160N

由牛顿第三定律可得，小物块运动到

B

点时对圆轨道

B

点的压力大小为：

N′=N=160N

（

2

）因为小物块恰能通过

D

点，所以在

D

点小物块所受的重力等于向心力，即：

2

D

v

mgm

R



可得：

v

D=2m/s

设小物块落地点距

B

点之间的距离为

x

，下落时间为

t

，根据平抛运动的规律有：

x=vDt

，

2R=

1

2

gt2

解得：

x=0.8m

则小物块离开

D

点后落到地面上的点与

D

点之间的距离20.82mlx

2．如图所示,半径R=2.5m的竖直半圆光滑轨道在B点与水平面平滑连接,一个质量

m=0.50kg的小滑块(可视为质点)静止在A点.一瞬时冲量使滑块以一定的初速度从A点开始

运动,经B点进入圆轨道,沿圆轨道运动到最高点C,并从C点水平飞出,落在水平面上的D点.

经测量,D、B间的距离s1=10m,A、B间的距离s2=15m,滑块与水平面的动摩擦因数,

重力加速度.求:

(1)

滑块通过

C

点时的速度大小

;

(2)

滑块刚进入圆轨道时

,

在

B

点轨道对滑块的弹力

;

(3)

滑块在

A

点受到的瞬时冲量的大小

.

【答案】（1）（2）45N（3）

【解析】

【详解】

（1）设滑块从C点飞出时的速度为v

c

，从C点运动到D点时间为t

滑块从C点飞出后，做平抛运动，竖直方向：2R=gt2

水平方向：s

1

=v

c

t

解得：v

c

=10m/s

（2）设滑块通过B点时的速度为v

B

，根据机械能守恒定律

mv

B

2=mv

c

2+2mgR

解得：v

B

=10m/s

设在B点滑块受轨道的压力为N，根据牛顿第二定律：N-mg=m

解得：N=45N

（3）设滑块从A点开始运动时的速度为v

A

，根据动能定理；-μmgs

2

=mv

B

2-mv

A

2

解得：v

A

=16.1m/s

设滑块在A点受到的冲量大小为I，根据动量定理I=mv

A

解得：I=8.1kg•m/s；

【点睛】

本题综合考查动能定理、机械能守恒及牛顿第二定律，在解决此类问题时，要注意分析物

体运动的过程，选择正确的物理规律求解．

3．如图所示，带有

1

4

光滑圆弧的小车

A

的半径为

R

，静止在光滑水平面上．滑块

C

置于

木板

B

的右端，

A、B、C

的质量均为

m，A、B

底面厚度相同．现

B、C

以相同的速度向右

匀速运动，

B

与

A

碰后即粘连在一起，

C

恰好能沿

A

的圆弧轨道滑到与圆心等高

处．则

：(

已知重力加速度为

g)

(1)B、C

一起匀速运动的速度为多少？

(2)

滑块

C

返回到

A

的底端时

AB

整体和

C

的速度为多少？

【答案】

（1）

0

23vgR（2）

1

23

3

gR

v

，

2

53

3

gR

v

【解析】

本题考查动量守恒与机械能相结合的问题．

(1)

设

B、C

的初速度为

v0，AB

相碰过程中动量守恒，设碰后

AB

总体速度

u

，由

0

2mvmu

，

解得0

2

v

u

C

滑到最高点的过程

：

0

23mvmumu



222

0

111

23

222

mvmumumgR





解得

0

23vgR

(2)C

从底端滑到顶端再从顶端滑到底部的过程中，满足水平方向动量守恒、机械能守恒，

有

012

22mvmumvmv

2222

012

1111

22

2222

mvmumvmv

解得

：

1

23

3

gR

v

，

2

53

3

gR

v

4．如图所示

,

半径为

4

l

,

质量为

m

的小球与两根不可伸长的轻绳

a,b

连接

,

两轻绳的另一端分

别固定在一根竖直光滑杆的

A,B

两点上

.

已知

A,B

两点相距为

l,

当两轻绳伸直后

A

、

B

两点到

球心的距离均为

l,

重力加速度为

g

．

（

1

）装置静止时

,

求小球受到的绳子的拉力大小

T

；

（

2

）现以竖直杆为轴转动并达到稳定（轻绳

a,b

与杆在同一竖直平面内）．

①小球恰好离开竖直杆时

,

竖直杆的角速度

0

多大

?

②轻绳

b

伸直时

,

竖直杆的角速度



多大？

【答案】

(1)

415

15

Tmg(2)

①

ω0=

15

2

15

g

l

②

2g

l



【解析】

【详解】

(1)

设轻绳

a

与竖直杆的夹角为

α

15

cos

4



对小球进行受力分析得

cos

mg

T





解得：

415

15

Tmg

(2)

①小球恰好离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零。可知小球做圆周运动的半径

为

r=

4

l

2

0

tanmgmr

解得

:

ω0=

15

2

15

g

l

②轻绳

b

刚伸直时，轻绳

a

与竖直杆的夹角为

60°

，可知小球做圆周运动的半径为

sin60rl





2tan60mgmr



解得

:

ω=

2g

l

轻绳

b

伸直时，竖直杆的角速度

2g

l



5．如图所示，

P

为弹射器，

PA

、

BC

为光滑水平面分别与传送带

AB

水平相连，

CD

为光滑

半圆轨道，其半径

R=2m

，传送带

AB

长为

L=6m

，并沿逆时针方向匀速转动．现有一质量

m=1kg

的物体（可视为质点）由弹射器

P

弹出后滑向传送带经

BC

紧贴圆弧面到达

D

点，

已知弹射器的弹性势能全部转化为物体的动能，物体与传送带的动摩擦因数为



=0.2

．取

g=10m/s2，现要使物体刚好能经过

D

点，求：

（

1

）物体到达

D

点速度大小；

（

2

）则弹射器初始时具有的弹性势能至少为多少．

【答案】（

1

）

25m/s

；（

2

）

62J

【解析】

【分析】

【详解】

（

1

）由题知，物体刚好能经过

D

点，则有：

2

D

v

mgm

R



解得：25

D

vgRm/s

（2）物体从弹射到

D

点，由动能定理得：

2

1

20

2D

WmgLmgRmv

p

WE

解得：

p

E

62J

6．如图所示

,

粗糙水平地面与半径1.6mR的光滑半圆轨道BCD在B点平滑连接

,O点

是半圆轨道BCD的圆心

,BOD、、三点在同一竖直线上

,

质量

2kgm

的小物块

(

可视为质

点

)

静止在水平地面上的A点

.

某时刻用一压缩弹簧

(

未画出

)

将小物块沿AB方向水平弹出

,

小

物块经过

B

点时速度大小为10m/s(

不计空气阻力

).

已知

10m

AB

x

,

小物块与水平地面间的

动摩擦因数

=0.2

,

重力加速度大小210m/sg.

求：

(1)

压缩弹簧的弹性势能；

(2)

小物块运动到半圆轨道最高点时

,

小物块对轨道作用力的大小；

(3)

小物块离开最高点后落回到地面上的位置与

B

点之间的距离

.

【答案】

(1)140J(2)25N(3)4.8m

【解析】

(1)

设压缩弹簧的弹性势能为

P

E

，

从

A

到

B

根据能量守恒

，

有

2

1

2PBAB

Emvmgx

代入数据得

140J

P

E

(2)

从

B

到

D，

根据机械能守恒定律有

22

11

2

22BD

mvmvmgR

在

D

点

，

根据牛顿运动定律有

2

D

v

Fmgm

R



代入数据解得25NF

由牛顿第三定律知

，

小物块对轨道作用力大小为25N

(3)

由

D

点到落地点物块做平抛运动竖直方向有2

1

2

2

Rgt

落地点与

B

点之间的距离为

D

xvt

代入数据解得4.8mx

点睛：本题是动能定理、牛顿第二定律和圆周运动以及平抛运动规律的综合应用，关键是

确定运动过程，分析运动规律，选择合适的物理规律列方程求解

．

7．三维弹球3DPinball

是

Window

里面附带的一款使用键盘操作的电脑游戏，小王同学

受此启发，在学校组织的趣味运动会上，为大家提供了一个类似的弹珠游戏．如图所示，

将一质量为

0.1mkg

的小弹珠

(

可视为质点

)

放在

O

点，用弹簧装置将其弹出，使其沿

着光滑的半圆形轨道

OA

和

AB

进入水平桌面

BC

，从

C

点水平抛出．已知半圆型轨道

OA

和

AB

的半径分别为0.2rm，0.4Rm，BC

为一段长为2.0Lm的粗糙水平桌面，小弹

珠与桌面间的动摩擦因数为

0.4

，放在水平地面的矩形垫子

DEFG

的

DE

边与

BC

垂

直，

C

点离垫子的高度为0.8hm，C

点离

DE

的水平距离为0.6xm，垫子的长度

EF

为

1m，210/.gms求：

1

若小弹珠恰好不脱离圆弧轨道，在

B

位置小弹珠对半圆轨道的压力；

2

若小弹珠恰好不脱离圆弧轨道，小弹珠从

C

点水平抛出后落入垫子时距左边缘

DE

的距

离；

3

若小弹珠从

C

点水平抛出后不飞出垫子，小弹珠被弹射装置弹出时的最大初速度．

【答案】（1）6N（2）0.2m（3）26/ms

【解析】

【分析】

(1)

由牛顿第二定律求得在

A

点的速度，然后通过机械能守恒求得在

B

点的速度，进而由牛

顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；

(2)

通过动能定理求得在

C

点的速度，即可由平抛运动的位移公式求得距离；

(3)

求得不飞出垫子弹珠在

C

点的速度范围，再通过动能定理求得初速度范围，即可得到最

大初速度．

【详解】

（1）

若小弹珠恰好不脱离圆弧轨道，那么对弹珠在

A

点应用牛顿第二定律有

2

A

mv

mg

R

，

所以，2/

A

vgRms；

那么，由弹珠在半圆轨道上运动只有重力做功，机械能守恒可得：

22

11

2

22BA

mvmvmgR

，所以，2425/

BA

vvgRms；

那么对弹珠在

B

点应用牛顿第二定律可得：弹珠受到半圆轨道的支持力

2

6B

N

mv

FmgN

R

，方向竖直向上；

故由牛顿第三定律可得：在

B

位置小弹珠对半圆轨道的压力

6

N

NFN

，方向竖直向

下；

（2）

弹珠在

BC

上运动只有摩擦力做功，故由动能定理可得：

22

11

22CB

mgLmvmv，

所以，222/

CB

vvgLms；

设小弹珠从

C

点水平抛出后落入垫子时距左边缘

DE

的距离为

d

，那么由平抛运动的位移公

式可得：2

1

2

hgt，

2

0.8

CC

h

xdvtvm

g

，

所以，0.2dm；

（3）

若小弹珠从

C

点水平抛出后不飞出垫子，那么弹珠做平抛运动的水平距离

0.61.6msm；

故平抛运动的初速度

'

2C

ss

v

t

h

g



，

所以，

1.5/'4/

C

msvms

；

又有弹珠从

O

到

C

的运动过程只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：

22

0

11

22'

22C

mgRrmgLmvmv；

所以，22

0

'2222'8/

CC

vvgRrgLvms，

故

0

41

/26/

2

msvms，所以小弹珠被弹射装置弹出时的最大初速度为26/ms

；

【点睛】

经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛

顿定律、动能定理及几何关系求解．

8．如图所示，AB是光滑的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的

直径BD竖直，将弹簧水平放置，一端固定在A点．现使质量为m的小滑块从D点以速度

v

0

＝进入轨道DCB，然后沿着BA运动压缩弹簧，弹簧压缩最短时小滑块处于P点，重

力加速度大小为g，求：

（1）

在

D

点时轨道对小滑块的作用力大小

FN；

（2）

弹簧压缩到最短时的弹性势能

Ep；

（3）

若水平轨道

AB

粗糙，小滑块从

P

点静止释放，且

PB＝5l

，要使得小滑块能沿着轨道

BCD

运动，且运动过程中不脱离轨道，求小滑块与

AB

间的动摩擦因数

μ

的范围．

【答案】（1）（2）（3）μ≤0.2或0.5≤μ≤0.7

【解析】（1）

解得

（2

）根据机械能守恒

解得

（3

）小滑块恰能能运动到

B

点

解得

μ＝0.7

小滑块恰能沿着轨道运动到

C

点

解得

μ＝0.5

所以

0.5≤μ≤0.7

小滑块恰能沿着轨道运动

D

点

解得

μ＝0.2

所以

μ≤0.2

综上

μ≤0.2

或

0.5≤μ≤0.7

9．如图所示，

AB

为倾角37的斜面轨道，

BP

为半径

R=1m

的竖直光滑圆弧轨道，

O

为圆心，两轨道相切于

B

点，

P

、

O

两点在同一竖直线上，轻弹簧一端固定在

A

点，另一

端在斜面上

C

点处，轨道的

AC

部分光滑，

CB

部分粗糙，

CB

长

L

＝

1.25m

，物块与斜面间的

动摩擦因数为



＝

0.25

，现有一质量

m=2kg

的物块在外力作用下将弹簧缓慢压缩到

D

点后

释放

(

不栓接

)

，物块经过

B

点后到达

P

点，在

P

点物块对轨道的压力大小为其重力的

1.5

倍，

sin370.6,37cos0.8

，

g=10m/s2.求：

(1)

物块到达

P

点时的速度大小

vP；

(2)

物块离开弹簧时的速度大小

vC；

(3)

若要使物块始终不脱离轨道运动，则物块离开弹簧时速度的最大值

vm.

【答案】(1)

5m/s

P

v

(2)

v

C=9m/s

(3)

6m/s

m

v

【解析】

【详解】

(1)

在

P

点，根据牛顿第二定律：

2

P

P

v

mgNm

R



解得

:2.55m/s

P

vgR

(2)

由几何关系可知

BP

间的高度差

(1cos37)

BP

hR

物块

C

至

P

过程中，根据动能定理：

22

11

sin37cos37=

22BPPC

mgLmghmgLmvmv

联立可得：

v

C=9m/s

(3)

若要使物块始终不脱离轨道运动，则物块能够到达的最大高度为与

O

等高处的

E

点，

物块

C

至

E

过程中根据动能定理：

2

1

cos37sin37sin53=0

2m

mgLmgLmgRmv

解得：

6m/s

m

v

10．某工地某一传输工件的装置可简化为如图所示的情形，AB为一段足够长的曲线轨道，

BC为一段足够长的水平轨道，CD为一段圆弧轨道，圆弧半径r=1m，三段轨道均光滑。

一长为L=2m、质量为M=1kg的平板小车最初停在BC轨道的最左端，小车上表面刚好与

AB轨道相切，且与CD轨道最低点处于同一水平面。一可视为质点、质量为m=2kg的工件

从距AB轨道最低点h高处沿轨道自由滑下，滑上小车后带动小车也向右运动，小车与CD

轨道左端碰撞(碰撞时间极短)后即被粘在C处。工件只有从CD轨道最高点飞出，才能被站

在台面DE上的工人接住。工件与小车的动摩擦因数为μ=0.5，取g=10m/s2，

(1)

若

h=2.8m

，则工件滑到圆弧底端

B

点时对轨道的压力为多大？

(2)

要使工件能被站在台面

DE

上的工人接住，求

h

的取值范围

.

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)

工件从起点滑到圆弧轨道底端

B

点

,

设到

B

点时的速度为

v

B，根据动能定理：

工件做圆周运动，在B点，由牛顿第二定律得：

由①②两式可解得：N=40N

由牛顿第三定律知,工件滑到圆弧底端B点时对轨道的压力为N′=N=40N

(2)①由于BC轨道足够长,要使工件能到达CD轨道,工件与小车必须能达共速,设工件刚滑

上小车时的速度为v0

,工件与小车达共速时的速度为v1

，假设工件到达小车最右端才与其共

速，规定向右为正方向，则对于工件与小车组成的系统，由动量守恒定律得：

mv0

=(m+M)v1

由能量守恒定律得：

对于工件从AB轨道滑下的过程，由机械能守恒定律得：

代入数据解得：h1

=3m.

②要使工件能从CD轨道最高点飞出,h1

=3m为其从AB轨道滑下的最大高度,设其最小高度为

h′,刚滑上小车的速度为v′

0

,与小车达共速时的速度为v′

1

,刚滑上CD轨道的速度为

v′

2

，规定向右为正方向，由动量守恒定律得：

mv′

0

=(m+M)v′

1

…⑥

由能量守恒定律得：

工件恰好滑到CD轨道最高点，由机械能守恒定律得：

工件在AB轨道滑动的过程，由机械能守恒定律得：

联立。⑥⑦⑧⑨,代入数据解得：h′=m

综上所述,要使工件能到达CD轨道最高点,应使h满足：m

【名师点睛】（1）工件在光滑圆弧上下滑的过程，运用机械能守恒定律或动能定理求出工

件滑到圆弧底端B点时的速度．在B点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨道对

工件的支持力，从而得到工件对轨道的压力．

（2）由于BC轨道足够长，要使工件能到达CD轨道，工件与小车必须能达共速，根据动量

守恒定律、能量守恒定律求出滑上小车的初速度大小，根据机械能守恒求出下滑的高度

h=3m，要使工件能从CD轨道最高点飞出，h=3m为其从AB轨道滑下的最大高度，结合动量

守恒定律和能量守恒定律、机械能守恒定律求出最小高度，从而得出高度的范围．