乘法运算律

【知识要点】

（一）、乘除法各部分之间的关系：

（1）乘法各部分之间的关系：

因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数

（2）除法各部分之间的关系：

没有余数的除法：有余数的除法：

被除数=商×除数被除数=商×除数+余数

除数=被除数÷商除数=（被除数-余数）÷商

商=被除数÷除数商=（被除数-余数）÷除数

（3）乘、除法之间的关系：

除法是乘法的逆运算

注意：0不能作除数。

(4)整除：a÷b(b≠0)＝c则a能被b整除，b能整除a。

（二）乘法运算律

1、乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。这个规律叫做乘法交换律。用字母表示为：

a·b=b·a

2、乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘再乘第三个数，或先将后两个数相乘再乘第一个数，它们

的积不变。这个规律叫做乘法结合律。用字母表示为：(a·b)·c=a·(b·c)

3、乘法分配律：

两个数的和与一个数相乘，可以把这两个加数分别与这个数相乘，再把积相加。这个规律

叫做乘法分配律。用字母表示为：

(a+b)·c=a·c+b·ca·c+b·c=(a+b)·c

乘法分配律的拓展：

两个数的差与一个数相乘，可以用这个数分别去乘相减的两个数，再把积相减。用字母表

示为：

(a-b)·c=a·c-b·ca·c-b·c=(a-b)·c

（三）减法简便运算：

1、一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个数的和。

用字母表示：a－b－c＝a－(b＋c)

2、一个数连续减去两个数，可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数。

用字母表示：a－b－c＝a—c－b

（四）除法简便运算：

1、一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个数的积。

用字母表示：a÷b÷c＝a÷(b×c)

2、一个数连续除以两个数，可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数。

用字母表示：a÷b÷c＝a÷c÷b

（五）积的变化规律

①一个因数缩小（扩大）几倍，另一个因数扩大（缩小）相同的倍数，积不变。

②一个因数缩小(或扩大几倍)，另一个因数不变，积也随着缩小(或扩大)几倍。

③一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n，积扩大m×n倍；

一个因数缩小m倍，另一个因数缩小n，积缩小m×n倍；

一个因数扩大（缩小）m倍，另一个因数缩小（扩大）n倍，积扩大或缩小m÷n倍。

（六）解决问题：

1、相遇问题

相遇路程＝速度和×相遇时间

相遇时间＝相遇路程÷速度和

速度和＝相遇路程÷相遇时间

追及问题

追及距离＝速度差×追及时间

追及时间＝追及距离÷速度差

速度差＝追及距离÷追及时间

2、工程问题

工作效率×工作时间＝工作总量

工作总量÷工作效率＝工作时间

工作总量÷工作时间＝工作效率

3、最多、最少问题

人数最少多买贵的，人数最少多买便宜的。

4、购物、旅游合算问题

先计算后比较。

【例题精选】

一、常见乘法计算：

25×4＝100125×8＝1000

二、加法交换律简算例子：三、加法结合律简算例子：

50+98+50488+40+60

＝50+50+98＝488+（40+60）

＝100+98＝488+100

＝198＝588

四、乘法交换律简算例子：五、乘法结合律简算例子：

25×56×499×125×8

＝25×4×56＝99×（125×8）

＝100×56＝99×1000

＝5600＝99000

六、含有加法交换律与结合律的简便计算：

65+28+35+72

＝（65+35）+（28+72）

＝100+100

＝200

七、含有乘法交换律与结合律的简便计算：

25×125×4×8

＝（25×4）×（125×8）

＝100×1000

＝100000

八、乘法分配律简算例子：

一、分解式二、合并式

25×（40+4）135×12—135×2

＝25×40+25×4＝135×（12—2）

＝1000+100＝135×10

＝1100＝1350

三、特殊1四、特殊2

99×256+25645×102

＝99×256+256×1＝45×（100+2）

＝256×（99+1）＝45×100+45×2

＝256×100=4500+90

＝25600=4590

五、特殊3六、特殊4

99×2635×8+35×6—4×35

＝（100—1）×26＝35×（8+6—4）

＝100×26—1×26＝35×10

＝2600—26＝350

＝2574

九、连续减法简便运算例子：

528—65—35528—89—128528—（150+128）

=528—（65+35）=528—128—89=528—128—150

=528—100=400—89=400—150

=428=311=250

十、连续除法简便运算例子：

3200÷25÷4

=3200÷（25×4）

=3200÷100

=32

十三、其它简便运算例子：

256—58+44250÷8×4

=256+44—58=250×4÷8

=300—58=1000÷8

=242=125

【专项训练】

一、积的变化规律练习题

1、先用积的变化规律填空，再用笔算或计算器验算。

26×48＝124817×12＝204

26×24＝（）17×24＝（）

26×12＝（）17×36＝（）

2、请学生完成下列计算，并在组内述说自己发现的规律。

18×24＝105×45＝

（18÷2）×（24×2）＝（105×3）×（45÷3）＝

（18×2）×（24÷2）＝（105÷5）×（45×5）＝

3、在○中填上运算符号，在□中填上数。

24×75＝180036×104＝3744

（24○6）×（75×6）＝1800（36×4）×（104○4）＝3744

（24○3）×（75○□）＝1800（36○□）×（104○□）＝3744

4、一个长方形的面积是256平方厘米，如果长缩小4倍，宽扩大4倍，这个长方形就变成

了正方形，这个正方形的面积是多少？它的边长是多少？

二、乘法的运算律

（一）在□里填上合适的数，在（）里填上运算定律。

135＋□＝467＋□运用了（）

（29×□）×8＝29×（125×□）运用了（）

25×67×4＝25×□×67运用了（）

125×（400＋□）＝125×400＋125×8运用了（）

72+57+43=72+（57+43）运用了（）

（二）判断，对的打“√”，错的打“×”（用手势表示），并说明理由。

⑴4×15＝15×4……………………（）

⑵（28×5）×15＝28×（5＋15）……（）

⑶43×27＝27+43………………（）

⑷101×63＝100×63＋63……………（）

⑸98×15＝100×15＋2×15…………（）

（三）用简便方法计算。

⑴35+63+27⑵（103-3）×15

⑶25×44⑷14×32+69×14

（四）体味生活中的数学--购物。

王阿姨是开商店的，今天她准备到好多多超市批发下列清单中的商品，她带了3000元，如

果要购买这些商品，钱够用吗？请你帮王阿姨算一算，看谁的方法最巧妙。

商品

单价（元）

数量

德芙巧克力

43

36包

洗衣粉

36

15箱

绿盛牛肉干

17

36包

洗发露

25

36瓶

【解决问题】

（1）师徒两人合作加工520个零件，师傅每小时加工30个，徒弟每小时加工20个，几小

时以后还有70个零件没有加工？

（2）甲、乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，每天挖75米；乙队从西往东挖，每天比

甲队少挖5米，两队合作8天挖好，这条水渠一共长多少米？

(3)甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米。已知

乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？

（4）一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后

两车相遇。已知汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？（5）

两地相距270千米，甲、乙两列火车同时从两地相对开出，经过4小时相遇。已知甲车的速

度是乙车的1.5倍，求甲、乙两列火车每小时各行多少千米？

（6）甲、乙两城相距680千米，从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米，2小时后，

快车从乙城开往甲城，每小时行80千米，快车开出几小时后两车相遇？

（7）甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对而行，甲车每小时行45千米，途中因汽车

故障甲车停了1小时，5小时后两车相遇。乙车每小时行多少千米？

（8）A、B两地相距3300米，甲、乙两人同时从两地相对而行，甲每分钟走82米，乙每分

钟走83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟才可以相遇？

（9）甲、乙两列汽车同时从两地出发，相向而行。已知甲车每小时行45千米，乙车每小时

行32千米，相遇时甲车比乙车多行52千米。求甲乙两地相距多少千米？

（10）姐妹俩同时从家里到少年宫，路程全长770米。妹妹步行每分钟行60米，姐姐骑自

行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇。这时妹妹走了几分钟？

（2001年上海市金山区升级考试卷）

（11）小明和小华从甲、乙两地同时出发，相向而行。小明步行每分钟走60米，小华骑自

行车每分钟行190米，几分钟后两人在距中点650米处相遇？（2002年上海市金山区升级

考试卷）

（12）A、B两地相距300千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行。各自达到目的地后

又立即返回，经过8小时后它们第二此相遇。已知甲车每小时行45去，千米，乙车每小时

行多少千米?

甲乙两人分别同时从A、B两地相向而行，相遇时距A地120米，相遇后，他们继续前进，

到达目的地后立即返回，在距A地150米再次相遇，求A、B两地之间的距离。

问题补充：

甲乙都是匀速前进，请用四年级的方法来做，不要方程。

四年级的方法如下：

乙从第一次相遇到第二次相遇一共走了270（在2个全路程内），平均每个全程走135

因为是匀速运动，所以第一个全程应该也走了135，

所以距离就等于135+120＝255

【相遇问题练习一】

1、甲乙两人在400米的环形跑道上跑步，两人朝相反的方向跑，第一次和第二次相隔40

秒，已知甲每秒跑6米，乙每秒跑多少米？

2、一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距299千米的两地相向而行，公共汽车汽车每小

时行40千米，小汽车每小时行52千米。几小时后两车第一次相距69米。几小时后又相距

69米？

3、一列客车和一列货车同时同地反向而行，货车比客车每小时快6千米，3小时后相距

342千米，求两车的速度。

4、某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。问，该列车与另

一列长320米时速64.8千米的列车错车而过需要几秒？

5、一列火车长150米，每秒行20米，全车通过一座长450米长的大桥，需要多长时间？

6、甲乙两人绕周长1200米的环形广场冲走，已知甲每分走125米，乙的速度是甲的1.2

倍，现在甲在乙的后面400米，追上甲需要多长时间？

7、小明以每分50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小

明，结果在距学校1000米处追上小明。求小强骑自行车的速度？

8、一架飞机从甲空港飞往乙空港，原计划每分飞行9千米，现在按每分12千米的速度飞

行，结果提前半小时到达，甲乙两地相距多少千米？

9、甲乙两人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒可追上乙；若乙比甲先跑2秒，

则甲4秒可追上乙。问甲乙两人的速度？

10、甲乙两车同时从A地开往B地，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米，途中

甲车因故障修车用了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时。AB两地相距多少？

【相遇问题练习二】

1、甲乙两辆汽车从相距600千米的两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行

40千米，甲车先开出2小时后，乙车才开出。乙车行几小时后与甲车相遇？

2、一列火车于下午4时30分从甲站开出，每小时行120千米，经过1小时后，另一列火

车以同样的速度从乙站开出，晚上9时30分两车相遇。甲乙两站铁路长多少千米？

3、快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出，已知快车每小时行60千米，慢车每小时行52

千米，经过几小时后快车经过中点32千米处与慢车相遇。甲、乙两地的路程是多少千米？

4、甲、乙两车从A、B两地同时相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米，

两车在距中点15千米处相遇。A、B两地相距多少千米？

5、甲乙相距640千米，两辆汽车同时从甲地开往乙地，第一辆汽车每小时行46千米，第二

辆汽车每小时行34千米，第一辆汽车到达乙地后立即返回，两辆汽车从开出到相遇共与偶

用了几小时？

6、哥哥和妹妹同时从甲到相距540米远的学校上学，哥哥每分钟走60米，妹妹每分钟走

48米，哥哥到达学校后发现忘了拿铅笔，立即返回家去取，在途中遇到妹妹。从开始上学

到两人再相遇共有多少分钟？

7、甲乙两队学生从相距2700米的两地同时出发，相向而行，一个同学骑自行车以每分钟

150的速度在两队之间不停地往返联络，甲队每分钟行25米，乙队每分钟行20米，两队相

遇时，骑自行车的同学共行了多少米？

8、AB两人同时从相距3000米的家里相向而行，A每分钟行70米，B每分钟行80米，一

只大狗与他同时出发，每分钟行100米，狗与B相遇后立即掉头向A跑去，遇到A后又向B

跑去，直到AB两人相遇。这只狗一共跑了多少米？

【单元测试】

一、填空。（16分）

1、（）÷125＝8（）×150＝90048×（）＝240

2、一个因数＝（）÷（），被除数＝（）×（）

除数=（）÷（）,除法是乘法的（）.

3、在一个乘法算式中积是280,一个因数缩小5倍，另一个数扩大10倍，积是（）。

4、根据34×12＝408写出两个除法（）、（）。

5、甲数除以乙数，商是54,余数是700，如果乙数是900,甲数是（）。

6、2×5×6×2×5×5×2积的末尾有（）个零。

7、2846÷6＝441表示：（）能被（）整除，还可以表示：（）能整除（）。

8、480÷（6×）＝2026×（÷8）＝208

二、根据运算定律在下面□里填上适当的数。（14分）

15×16＝16×25×7×4＝××7

（60×25）×＝60×（×8）

（125×）×＝125×（9×14）

（43+25）×2＝×+×

8×47+8×53＝×（+）

17×（18+）＝17×+17×15

三、下面哪个算式是正确的，正确打“√”，错误的打“×”。（8分）

（1）26×（15+24）＝26×15+24（）

（2）25×（40+4）＝25×40+25×4（）

（3）75×27+25×27＝（75+25）×27（）

（4）25×32＝25×4×8（）

（5）（40+2）×25＝40+2×25（）

（6）102×28＝100×28+2×28（）

（7）62×99＝62×100-1（）

（8）35×14＝35×2×7（）

四、怎样算简便就怎样算。（18分）

16400÷40015×4×25×695×102

282×5+18×52870÷35420÷28

五、选择。（6分）

1、把符合要求的算式序号填在括号里。

①27×9＝9×27②30+A+40＝30+40+A③（40+10）+50＝40+（10+50）④25×11＝11×

25

⑤104×18＝100×18+4×18⑥94×99+94＝94×100⑦13×5×8＝13×（5×8）⑧242+M＝

M+242

A、应用加法交换律的算式有（）B、应用乘法交换律的算式有（）

C、应用乘法结合律的算式有（）D、应用加法结合律的算式有（）

E、应用乘法分配律的算式有（）

2、400减去24的差，除以13与12的和，最后求出的是（）。

和差积商

3、457×99的简便算法是（）。

457×99-1457×100+457457×100-457

4、如果a×b=0,那么（）。

A、a一定是0B、b一定是0C、a和b都是0D、ab至少有一个是0

5、（a+b）×c=a×c+b×c，这叫做（）。

乘法交换律乘法结合律乘法分配律

六、找朋友。（把得数相等的算式连接起来）（4分）

102×98+102102×98+98102×98+2×9898×100-2×98

（102-2）×98100×98+3×98104×9899×102

七、在能整除的算式后面的（）里，画“√”（4分）

9÷5（）24÷2（）7÷2（）18÷3（）85÷13（）

36÷9（）120÷4（）36÷6（）180÷1（）30÷8（）

0÷8（）90÷5（）43÷6（）21÷4（）76÷6（）

八、列式计算。（5分）

1、一个数乘以2,再除以90,然后加上19,最后减去10,结果是10,这个数是多少？

2、一个数分别与4和9相乘，所得的积的和是2782,这个数是多少？

九、解决问题。（25分）

1、一共有两个书架，每个书架有4层，共放有248本书，平均每个书架每层放多少本？

2、某学校有5位老师带领88名学生参观科技馆，现有1200元钱，够不够？（信息：杨人

票每张24元，儿童票每张12元。）

3、两人同时从相距6400米的两地相向而行。一个人骑摩托车每分钟行600米，另一个人

骑自行车每分钟行200米，经过几分钟两人相遇？

4、码头货物场有100吨煤需要运走。已知大卡车一次装8吨，小卡车一次装4吨。问：怎

样运走这些煤是最经济的？

5、4千克苹果和7千克香蕉的竞价相等。1千克苹果比1千克香蕉贵3元。苹果和香蕉单

价各是多少？