数学乘法

第1页共16页

乘法公式

概念总汇

1、平方差公式

平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即

（a+b）（a-b）=a2-b2

说明：

（1）几何解释平方差公式

如右图所示：边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。

第一种：用正方形的面积公式计算：a2－b2；

第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a＋b），宽为（a－b），

它的面积是：（a＋b）（a－b）

结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。

所以：a2－b2＝（a＋b）（a－b）。

（2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只

有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公

式。平方差公式的a和b，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。应用平方

差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算

2、完全平方公式

完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两

倍，即

（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2

这两个公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式

说明：

（1）几何解释完全平方（和）公式

如图用多种形式计算右图的面积

第一种：把图形当做一个正方形来看，所以

它的面积就是：（a＋b）2

第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的

a

b

a

b

a

b

b

a

第2页共16页

长方形来看，其中大正方形的的边长是a，小正方形

的边长是b，长方形的长是a，宽是b，所以

它的面积就是：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2

结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积

所以：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（2）几何解释完全平方（差）公式

如图用多种形式计算阴影部分的面积

第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以

它的面积就是：（a-b）2

第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的

长方形来看，

长方形小正方形大正方形

阴影

SSSS2--

其中大正方形的的边长是a，小正方形的边长是b，长方形的长是（a-b），宽是b，所以

它的面积就是：222222bababbaba

结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积

所以：22

22bababa

（3）在进行运算时，防止出现以下错误：（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2。要注意符号

的处理，不同的处理方法就有不同的解法，注意完全平方公式的变形的运用。完全平方公式

的a和b，可以表示任意的数或代数式，因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘，而可

以扩大到两个多项式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式，完全平方

公式有着广泛的应用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用

方法引导

1、乘法公式的基本计算

例1利用平方差公式计算：

（1）（3x＋5y）（3x－5y）；

（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）

（3）（-m＋n）（-m－n）

难度等级：A

第3页共16页

解：（1）(3x＋5y)(3x－5y)＝(3x)2－(5y)2＝9x2－25y2

↓↓↓↓

（a＋b）（a－b）＝a2－b2

（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）＝（a＋0.5b）（a－0.5b）＝a2－0.25b2

↓↓↓↓

（a＋b）（a－b）＝a2－b2

（3）（－m＋n）（－m－n）＝（－m）2－n2＝m2－n2

↓↓↓↓

（a＋b）（a－b）＝a2－b2

【知识体验】仔细观察例题，看出两个多项式之间的相同点和不同点，找到两个多项式

的第一项相同，而第二项互为相反数，符合运用平方差公式的条件，利用公式解题，得出结

果

【解题技巧】平方差公式的基本在于找到两个多项式的相同项和不同项，相同项就是a，

不同项就是b和-b，所以多项式中项的位置颠倒时，可以先调换位置，再运用平方差公式

【搭配练习】

用平方差公式计算

（1）（－0.25x－y）（－0.25x＋y）

（2）（－2x＋3y）（－2x－3y）

（3）（2x－5）（2x＋5）－（2x＋1）（2x－1）

例2利用完全平方公式计算

（1）（2a＋3）2（2）（0.5m－0.2n）2

（3）（-2x－3y）2（4）（1－3x）（3x-1）

难度等级：A

解：（1）92

22aaaaa



（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（2）

22

22204.02.025.02.02.05.025.02.05.0nmnmnnmmnm

第4页共16页



2ba2aab22b

（3）第一种解法：

22

22291243322232yxyxyyxxyx



2ba2aab22b

第二种解法：

22

222229232yxyxyyxxyxyxyx



（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（4）13131331xxxx

13222

22xxxxxxx



2ba2aab22b

【知识体验】仔细观察例题，题目都应该符合完全平方的形式，然后根据公式写出结果。

第一步确定首尾，分别平方；第二步确定中间项的系数和符号，得出结论。

【解题技巧】第三题给出了两种解法，第二解法实质上是利用了乘方的性质，利用互为

相反数的幂可以互相转化，改变了原本的形式，便于后续利用完全平方和的公式写出结果，

第一种虽然也可以得出正确结果，但涉及到符号问题较多，容易出现错误。第四题表面上看

上去不可以用乘法公式，但仔细观察可以发现，这两个多项式的每一项只有符号不同，其他

都相同，那么也可以利用乘方的性质，把式子进行转化，后续得出的就是一个带有负号的完

全平方式，但有一点还要注意的是213x

中，应该先按照完全平方公式展开，再去掉负

号

【搭配练习】

第5页共16页

利用完全平方公式计算

（1）223a（2）234cb

（2）23.01.0qp（4）mnnm5775

2、简便计算

例3利用平方差公式简便计算

（1）103×97（2）59.8×60.2

难度等级：

A

解：（

1

）

103

×

97

＝（

100

＋

3

）（

100

－

3

）＝

1002－

32＝

10000

－

9

＝

9991

（2）59.8×60.2＝（60－0.2）（60＋0.2）＝602－0.22＝3600－0.04＝3599.96

【知识体验】既然是简便计算，就有巧算的变法，把两个因数分别进行改写，写成相同

的两个数的和与差相乘的形式，利用平方差公式求解。

【解题技巧】如果可以利用公式，那么103和97就分别是相同的两个数的和与差，那

么（103+97）÷2得到的就是第一个数，即公式中的a，（103-97）÷2得到的就是第二个数，

即公式中的b

【搭配练习】

利用平方差公式简便计算

（1）899×901＋1

（2）98²

（

3

）

8

7

13

8

1

14

例4利用乘法公式简便计算

（1）2997（2）21009（3）99101942

难度等级：A

解：（1）

994

2

2

（2）

1010092

2

2

第6页共16页

（3）11101942

2



1163

1361200

11

11

22

2222









【知识体验】解题时要注意区分使用哪一种公式，平方差公式一定要是两数和与两数差

乘积的形式，完全平方公式一定是两数和或差的平方形式

【解题技巧】平方差公式是两个不同的数或式子相乘，完全平方公式是一个数或式子平

方的形式，当这两种公式混合在一起的时候要注意区别，分清属于哪一种

【搭配练习】

利用乘法公式简便计算

997²－1001×999

例题讲解

(一）题型分类全析

例1：下列计算正确的是（）

A.xxxxxx41281324232•B.3322yxyxyx

C.21611414aaaD.22

2422yxyxyx

难度等级：A

【思维直现】根据单项式与多项式的乘法法则，（-4x）·(2x2+3x-1)=-8x3-12x2+4x，所

以A错；利用多项式乘法法则，计算（x+y）(x2+y2)，得x3+xy2+x2y+y3，所以B也不对；

利用平方差公式，有(-4a-1)(4a-1)=(-1-4a)(-1+4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a2，所以C是正确的；由完全

平方公式，得(x-2y)2=x2-4y+4y2，所以D错.因此，选C.

解：C

【阅读笔记】整式的乘法包括幂的乘法，单项式与单项式的乘法，单项式与多项式的乘

法，多项式与多项式的乘法，乘法公式；在解决问题时，要对号入住，看到题目，就要想到

用什么样的法则。

【题评解说】本题是常规题，都是考察学生的基本概念和基本法则。在做题时可以每道

都做一遍，验证正确或错误的选项。

第7页共16页

【建议】如果遇到无法确定的时候，就说明知识点没有掌握清楚，此时的做题原则，就

是排除法，先选出与待选答案相反结论的选项，在排查剩余选项。

【搭配练习】

1、下列关系式中，正确的是()

A.(a－b)2=a2-b2

B.(a+b)(a-b)=a2-b2

C.(a+b)2=a2+b2D.(a+b)2=a2-2ab+b2

2、下列计算正确的是()

A.(a+3b)(a-3b)=a

2

-3b

2

B.(-a+3b)(a-3b)=-a

2

-9b

2

C.(-a-3b)(a-3b)=-a

2

+9b

2

D.(-a-3b)(a+3b)=a

2

-9b

2

例2：多项式142x加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的

多项式可以是（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）

难度等级：B

【思维直现】根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2的特点，若142x表示了a2+b2的

话，则有a=2x，b=1，所以，缺少的一项为±2ab=±2（2x）·1=±4x，此时，142x±4x=(2x

±1)2；如果认为142x表示了2ab+b2的话，则有a=2x2，b=1，所以，缺少的一项为a2=（2x）

2=4x4，此时，4x4+142x=(2x2+1)2，从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所

指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式.注意到4x2=(2x)2，1=12，所

以，保留二项式142x中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可

以是-1或者-4x2，此时有142x-1=4x2=(2x)2，或者142x-4x2=12.综上分析，可知所加

上的单项式可以是.

解：±4x、4x4、-1或-4x2

【阅读笔记】成为一个整式的完全平方，并不一定指的是多项式形式的完全平方，还有

可能是单项式的完全平方。因为整式是单项式和多项式的统称。虽然经常见到的多项式形式

的完全平方，但单项式的完全平方也是成立的

【题评解说】本题是开放性的题目，主要考察学生对于完全平方公式的熟悉程度。如果

能把所有的情况都想清楚，当然更好。

【建议】题目的要求一定要看清楚，只要填写正确的一个即可，其他情况不做强制要求。

【搭配练习】

第8页共16页

若一个多项式的平方的结果为4a

2

+12ab+m

2

,则m=()

A.9b

2

B.±3b

2

C.3bD.±3b

例3计算：

（1）









































2

1

4

1

2

1

2aaa

（2）zyxzyxzyxzyx

（3）223cba

难度等级：B

【思维直现】仔细观察式子，都可以利用平方差公式和完全平方公式。在使用之前，要

运用乘法的交换律和加法的结合律，还需要用到添括号法则，把式子变成符合公式的标准形

式

解：（1）































































































4

1

2

1

2

1

2

1

4

1

2

1

22aaaaaa

16

1

4

1

4

1

422



























aaa

（2）zyxzyxzyxzyx











yz

zyzyzyzy

zyzyzyzy

zyzy

zyxzyx

zyxzyx

zyxzyxzyxzyx

4

22

22

2222

2222

22

2

2

2

2

2

2

2

2















（3）2222223232323ccbabacbacba

bcacabcba

cbcacbaba

124649

412496

222

222





或者2

2

22232322323cbcbaacbacba

第9页共16页

bcacabcba

cbcbacaba

124649

412946

222

222





【阅读笔记】乘法公式主要就是平方差和完全平方，展开式子的时候会分成一个单项式

和一个单项式、一个单项式和一个多项式或一个多项式和一个多项式，而且运用一次公式后，

可能还会需要第二次展开，层层递进。

【题评解说】题1只需要交换第二个式子和第三个式子，其余的都很容易看出做法；题

2在使用平方差公式时，最主要的是多项式的变形；题3的多项式是三项，所以在使用完全

平方公式的时候，要把多项式进行拆分，拆成一个单项式和一个多项式的形式

【建议】按照法则，一步一步，每经过一个步骤，对照公式中a、b的形式和结论来求

出最后结果

【搭配练习】

计算：

（1）(c－2b+3a)(2b+c－3a)

（2）（a－

6

1

b）（2a＋

3

1

b）（3a2＋

12

1

b2）；

（3）（2a－3b＋1）2

例4请你观察右边图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助

线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是．

难度等级：A

【思维直现】图中所表示的整个正方形的面积是x2，两个小正方形

的面积分别是y2与（x-y）2，利用这些数据关系，结合图形便可以写出

以下乘法公式：（x-y）2=x2-2xy+y2；

解：（x-y）2=x2-2xy+y2

【阅读笔记】乘法公式不只有代数式子，根据几何图形的特征，研究其中蕴含的数学公

式，是“数形结合思想”的具体体现。

【题评解说】本题是数形结合的典型试题，从不同的角度去理解题目，理解其中的含义。

【建议】在进行知识点讲解的时候，需要从代数和几何两个方面，推出乘法公式

例5．计算：

24815

11111

(1)(1)(1)(1)

22222

.

第10页共16页

难度等级：C

【思维直现】观察本题容易发现可以利用平方差公式，但缺少因式

1

(1)

2

，如果能通

过恒等变形构造一个因式

1

(1)

2

，则运用平方差公式就会迎刃而解。

解：

158422

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

























































2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

212

2

1

2

1

12

2

1

2

1

1

2

1

12

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

12

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

12

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

12

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

12

1515

1516

1516

1588

15844

158422

15842

15842























































































































































































































































































































【阅读笔记】在进行多项式乘法运算时，应先观察给出的算式是否符合或可转化成某公

式的形式，如果符合则应用公式计算，若不符合则运用多项式乘法法则计算。

【题评解说】本题还是考察的平方差公式的运用。当题目有可能转化成所熟悉的式子时，

要创造条件，但同时也不能改变题意，要求能够灵活地，熟练地运用所学解决问题。

【建议】转换成平方差形式的时候，要说明转化的原因，并且举出例子。

【搭配练习】

计算

1、(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)+1

2、（1－

22

1

）（1－

23

1

）（1－

24

1

）…（1－

29

1

）（1－

201

1

）

第11页共16页

例6：已知3ba，

2

1

ab，求：

（1）a2＋b2（2）a2＋ab＋b2（3）a4＋b4

难度等级：A

【思维直现】从已知条件出发很难得知题目的真正意图，再看看结论，和完全平方公式

相似，那么完全平方公式的变形就可以满足了，题（1）就是在2ba的基础上减去了ab2；

题（2）可以看做2ba的基础上减去了ab，或是在题（1）的基础上加上了ab；题（3）

就是在题（1）结论的基础上，把22ba平方后减去222ba，而222ba即是

22ba。

解：（1）∵3ba，

2

1

ab

∴22

22bababa

即222

2

1

23ba

∴813222ba

（2）∵3ba，

2

1

ab

∴22

22bababa

2

1

9

3

22

222





baba

bababa

∴

2

1

8

2

1

922baba

（3）∵3ba，

2

1

ab，822ba

∴2

222

2

2222bbaaba

4

2

4

2

222bbaaba

即4

2

42

2

1

28ba















∴

2

1

63

2

1

64

2

1

28

2

244













ba

第12页共16页

【阅读笔记】完全平方公式的左边式子比较简单，右边是个三项式，所以在此基础上可

以演化出许多其他的式子，可把三项式的其中两项作为一个多项式来看，如22ba，那就

可以用原来公式中左边的式子减去或加上ab2。无论式子怎样变化，22ba的关系是不会

变的

【题评解说】本题是完全平方公式的提高题，对学生的要求比较高。必须要在熟悉公式

的基础下，还要灵活运用，逆向思维比较强。

【建议】一开始可以在公式的基础上进行变形，等学生熟悉后，再得出计算结果比较好。

【搭配练习】

已知522ba，6ab，求2ba，44ba的值.

（二）思维重点突破

例7观察下列各式（x－1）（x＋1）=x2－1，（x-1）（x2＋x＋l）=x3－l．（x－l）

（x3＋x2＋x＋l）=x4-1，根据前面各式的规律可得（x－1）（xn＋xn-1＋…＋x＋1）

＝.

难度等级：C

【思维直现】由给定的等式，可以发现结果是以x为底数的幂与1的差，并且这个幂的

指数比第二个括号中x的最高次幂的指数大1，所以（x－1）（xn＋xn

-

1＋…＋x＋1）＝

xn

+

1-1.

解：（x－1）（xn＋xn

-

1＋…＋x＋1）＝xn

+

1-1

【阅读笔记】找规律的题目，就一定要发现它的规律，虽然第一个式子时平方差公式，

但第二个、第三个式子已经不是了，找到变化过程中变的项和不变的项，结果就很容易得出

了。

【题评解说】此题主要考查用类比思想总结规律，给出特殊的例子，找到一般的规律。

此类题目要求综合能力比较高，还要积累一定的知识，才容易发现规律。

【建议】可以把式子进行对比，每一次的变化只会是式子的部分变化，式子从左到右，

发生了什么样的变化，找到自我变化的式子和因它变化的式子。

【搭配练习】

观察下列各式：

121

第13页共16页

422

823

1624

3225

6426

12827

25628……

通过观察，用你发现的规律写出98的末位数字是。

例8．甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这两个月中，甲超市

的销售额平均每月增长x%，而乙超市的销售额平均每月减少x%。

（1）5月份甲超市的销售额比乙超市多多少？

（2）如果a=150，x=2，那么5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？

难度等级：C

【思维直现】列表分析

解：（1）22%1%1xaxa







%4

%%2%%2

%%2%%2

%%21%%21

22

22

22

ax

xaxaaxaxaa

xaxaaxaxaa

xxaxxa









（2）当a=150，x=2时

22%1%1xaxa

3月份4月份5月份

甲超市销售额aa(1＋x%)a(1＋x%)x(1＋x%)=a(1＋x%)2

乙超市销售额aa(1－x%)a(1－x%)x(1－x%)=a(1－x%)2

第14页共16页

12

%21504

%4





ax

【阅读笔记】应用题使用列表的方法可以让题目的数量关系变得清晰，题目中的文字都

用表格和式子来进行表示。能把表格填好，也就意味着题目分析清楚了

【题评解说】本题要求在理解清楚题目意思的前提下，列出式子，并且还需要化简求值。

列出式子是一个难点，化简式子是另一个难点。

【建议】分析问题的时候，建议用列表的方法，把数量关系表示出来，再结合题目，给

出符合题目意思的式子，列完式子后，也可以在代回到原题中，看是否符合

【搭配练习】

如图，点M是AB的中点，点P在MB上分别以AP，PB为边，作正方形APCD和

正方形PBEF，设AB=4a，MP=b，正方形APCD与正方形PBEF的面积之差为S。

（1）用a，b的代数表示S。

（2）当a=4、b=1/2时，S的值是多少？当a=S，b=1/4时呢？

课后作业

A类作业：

一、填空题

1、（2a－b）（）＝b2－4a2．

2、（a－b）2＝（a＋b）2＋_____________．

3、20

3

2

×19

3

1

＝（）·（）＝________．

二、选择

1、若a≠b，下列各式中不能成立的是……………………………（）

（A）（a＋b）2＝（－a－b）2（B）（a＋b）（a－b）＝（b＋a）（b－a）

（C）（a－b）2

n＝（b－a）2

n（D）（a－b）3＝（b－a）3

2、下列各式中正确的是…………………………………………………（）

（A）（a＋4）（a－4）＝a2－4（B）（5x－1）（1－5x）＝25x2－1

（C）（－3x＋2）2＝4－12x＋9x2（D）（x－3）（x－9）＝x2－27

三、解答

AB

CD

EF

MP

第15页共16页

1、利用公式法计算

（1）(

1

3

a2－

1

4

b)(－

1

4

b－

1

3

a2)（2）(a－

1

2

)2(a2+

1

4

)2(a+

1

2

)2

（3）(－2a－3b)2（4）(a－3b+2c)2

（5）101×99（6）982

（7）899×901＋1（8）（

7

10

）2002·（0.49）1000

2、已知ｘ＋ｙ＝4，ｘｙ＝3，求：3ｘ2＋3ｙ2；（ｘ－ｙ）2

B类作业：

一、填空题

1、（－a＋1）（a＋1）（a2＋1）等于………………………………………………（）

（A）a4－1（B）a4＋1（C）a4＋2a2＋1（D）1－a4

2、若（x＋m）（x－8）中不含x的一次项，则m的值为………………………（）

（A）8（B）－8（C）0（D）8或－8

3、下列计算正确的是（）

A、9323323B、22

2baba

C、3322)2(babababaD、54512aaaa

4、化简得（）

A、2

813B、2

813C、1316D、13

2

1

16

二、解答题

1、计算

(1)(x+y－z)(x－y+z)－(x+y+z)(x－y－z)(2)[(x2+6x+9)÷(x+3)](x2-3x+9)

(3)(a2－4)(a2－2a+4)(a2+2a+4)(4)2164242aaaa

(5)53253222aaaa

2、设ａ－ｂ＝－2，求

ａ2＋ｂ2

2

－ａｂ的值。

3、化简求值[（x＋

2

1

y）2＋（x－

2

1

y）2]（2x2－

2

1

y2），其中x＝－3，y＝4

第16页共16页

C类作业：

一、计算

(1)(c－2b+3a)(2b+c－3a)(2)(a－b)(a+b)2－2ab(a2－b2)

(3)(2y－z)2[2y(z+2y)+z2]2(4)(a－b+c－d)(－a－b－c－d)

(5)5(m+n)(m－n)－2(m+n)2－3(m－n)2（6）（a2c－bc2）－(a－b+c)(a+b－c)

二、解答题

1、花农老万有4块正方形菜花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，30m，27m。现老万

将这4块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少㎡？

2、已知a＋b＝5，ab＝7，求

2

22ba

，a2－ab＋b2的值．

3、已知（a＋b）2＝10，（a－b）2＝2，求a2＋b2，ab的值．

4、已知a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，求证a＝b＝c．

5、已知x＋

x

1

＝2，求x2＋

2

1

x

的值．

6、已知（a－1）（b－2）－a（b－3）＝3，求代数式

2

22ba

－ab的值

7、已知a2＋6a＋b2－10b＋34＝0，求代数式（2a＋b）（3a－2b）＋4ab的值．