十字相乘

十字相乘法的运算技巧

金山初级中学庄士忠201508

十字相乘法，就是把一个二次三项式化为两个因式相乘的形式，是一元二

次方程解法之一。“十字相乘法”：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘

等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

对于某些首项系数是1的二次三项式2xPxq【2()xabxab】的因式

分解：即：一般地，∵2()()()xaxbxabxab，

∴2()()()xabxabxaxb．

这就是说，对于二次三项式2xPxq，若能找到两个数a、

b

，使

,

,

abp

abq











则就有22()()()xPxqxabxabxaxb．

（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个

．．．．．．．．

数的积，且其和等于一次项系数，

．．．．．．．．．．．．．．．

通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故

称十字相乘法。）

对于首项系数不是1的二次三项式：

十字相乘法相对来说难学一些,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们

带来很多方便。

一、十字相乘法的特点：

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数

项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，

而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：

①有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不适用于每一道题。

②十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

二、十字相乘法的应用举例：

例1.十字相乘法的图解及待定系数

已知二次三项式2x2-mx-20有一个因式为(x+4)，求m的值.

分析：用十字相乘法分解这个二次三项式有如下的图解：

8-5=3=-m

解：2x2-mx-20=(x+4)(2x-5)=2x2+3x-20

∴-m=3

m=-3

（由例1我们应该明白，“十字相乘”法，并非凭空而来，也没有什么

新东西——像不像？

只要懂(ax+b)(cx+d)，就懂“十字相乘”，这样，十字相乘中各数的意义，

你记得更清楚了吧？)

再如例2：把m²+4m-12分解因式

分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，

-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题

解：因为1-2

1╳6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）

请观察比较例题中的各题，你能发现把常数

q

分解成两个整数a、

b

之积时

的符号规律吗？

⑴若

q

＞

0

，则a、

b

同号．

当

p

＞

0

时a、

b

同为正，当

p

＜

0

时a、

b

同为负．

⑵若

q

＜

0

，则a、

b

异号．

当

p

＞

0

时a、

b

中的正数绝对值较大，当

p

＜

0

时a、

b

中的负数绝对值较大．

⑶分解二项项系数、常数项有多种可能，即使对于同一种分解，十字图也

有不同的写法，为了避免重或漏，故二次项系数的因数一经排定就不变，而用

常数项的因数作调整；

⑷用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎

样分解．

例3、因式分解与系数的关系

若多项式a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数

k可取的值有()

A.5个B.6个C.8个D.4个

分析：因为二次项系数为1，所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式，其中

mn=16，k=m+n，所以整数k可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m、n

为整数)

因为16=2×8，16=(-2)×(-8)

16=4×4，16=(-4)×(-4)

16=1×16，16=(-1)×(-16)

所以k=±10，±8，±16

答案：B

(是不是有一点即通的感觉？这一层窗户纸不厚，数学要的就是心细，胆大)

例4.分组分解后再用十字相乘

把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式

解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15

=2(x-2y)2-11(x-2y)+15

=[(x-2y)-3][2(x-2y)-5]

=(x-2y-3)(2x-4y-5)

说明：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项

一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三

项式，利用十字相乘法完成因式分解.

例5.换元法与十字相乘法

把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式

分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)

看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三

项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利

用十字相乘法进行因式分解.

解：(x2+x+1)(x2+x+2)-6

=[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6

=(x2+x)2+3(x2+x)-4

=(x2+x+4)(x2+x-1)

说明：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解

了，若能分解一定要继续分解，如摸底检测第3题答案应当是C.

再如、例6、把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式

分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式

解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3

=10x²-（27y+1）x-（28y²-25y+3）

4y-3

7y╳-1

=10x²-（27y+1）x-（4y-3）（7y-1）

2-（7y–1）

5╳4y-3

=[2x-（7y-1）][5x+（4y-3）]

=（2x-7y+1）（5x+4y-3）

说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y-1），

再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x-（4y-3）（7y-1）分解为：[2x-（7y-1）][5x

+（4y-3）]

解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3

2-7y

5╳4y

=（2x-7y）（5x+4y）-（x-25y）-3

2x-7y1

5x+4y╳-3

=[（2x-7y）+1][（5x+4y）-3]

=（2x-7y+1）（5x+4y-3）

说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x-7y）（5x

+4y）,再把（2x-7y）（5x+4y）-（x-25y）-3用十字相乘法分解为[（2x-7y）

+1][（5x+4y）-3].

(试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点，从各项

的次幂的次数及各项系数去分析)

例6.因式分解与十字相乘法

已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12

求：x2+y2的值

解：(x2+y2)(x2-1+y2)=12

(x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0

(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0

[(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0

∵x2+y2≥0

∴(x2+y2)+3≠0

∴(x2+y2)-4=0

∴x2+y2=4

说明：我们把(x2+y2)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”

的一个一元二次方程。虽然目前还没学二次方程的解法，但通过这个题，我们

可以发现，对二次三项式因式分解是解一元二次方程的方法之一.

三、强化练习

1.把下列各式分解因式

(1)x-x2+42

(2)

(3)a2n+a4n-2a6n

(4)(x-y)2+3(x2-y2)-4(x+y)2

(5)x2-xy-2y2-x-y

2.已知：x2+xy-2y2=7,求：整数x、y的值

答案与提示：1.(1)-(x-7)(x+6)(2)

(3)-a2n(an+1)(an-1)(2a2n+1)(4)-2y(5x+3y)

提示：可分别把(x-y)和(x+y)各看成一个“字母”，如设x-y=m，x+y=n，则

原式化为m2+3mn-4n2

(5)(x+y)(x-2y-1)

提示：可参考“疑难精讲例3”

2.

提示：将已知条件的左边分解因式得：

(x+2y)(x-y)=7

∵x、y都为整数

∴有